k1 k3 0 k1 k2 0 k k 0 2 3
线性代数
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§3.3 向量组的线性相关性
k1 k3 0 k1 k2 0 k k 0 2 3
1 0 1
系数行列式 D 1 1 0 2 0 0 1 1 克莱默 只有零解 k1 k2 k3 0 法则 a1 a2 , a2 a3 , a3 a1也线性无关.
行列式法
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§3.3 向量组的线性相关性
0 1 2
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§3.3 向量组的线性相关性
例4 标准单位向量组 : T T T e1 1,0,,0 , e2 0,1,,0 ,, en 0,0,,1
讨论其线性相关性 .
解：A (e1 , e2 ,, en ) En
第三章 线性方程组与向量组的 线性相关性
§3.3 向量组的线性相关性
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§3.3
向量组的线性相关性
一.定义
设组A : a1 , a2 ,, am , 如果存在一组不全为零 的 数k1 , k2 ,, km使， k1a1 k2a2 km am 0 则称组A 线性相关，否则称它线性无关．
a1 j a1 j a a 2j 2j a j bj a nj a sj
则（1）如果 a1 , a2 ,am 线性相关，则 b1 , b2 ,bm 也线性相关。 （2）如果 b1 , b2 ,bm 线性无关，则 a1 , a2 ,am 也线性无关。
R( E ) n .
即R( E )等于向量组中向量个数 ，此向量组 是线性无关的 .
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§3.3 向量组的线性相关性
Th3 组 A：a1 ,, am 线性相关, 则 组 B : a1 ,, am , am1 也线性相关
反之, 组B 线性无关, 则组A也线性无关 . A是B的 B : a1 ,, am , am 1 ,, as 部分组： A : a1 ,, am
几何意义 : 是两向量共线； 三个向量相关的几何意 义是三向量共面 . (4)n个n维标准单位向量组 e1 , e2 ,, en线性无关 k1e1 k2e2 knen 0 k1 kn 0 ( k1 , k2 ,, kn )T (0,0,,0)T
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§3.3 向量组的线性相关性
充分性
a1 , a2 ,, am 中有一个向量（比如a1 ）能 设
a1 k2a2 km am
由其余向量线性表示.
故
( 1)a1 k2a2 km am 0
1, k2 ,, km 这 m个数不全为0，
故 a1 , a2 ,, am 线性相关.
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§3.3 向量组的线性相关性
Th2 组A : a1 , a2 ,, am线性相关 A (a1 , a2 ,, am ) 的秩小于向量个数m 即R( A) m 组A : a1 , a2 ,, am线性无关 R( A) m .
存在不全为零的数 k1 ,, km ,0 向量组B : a1 ,, am , am 1线性相关.
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§3.3 向量组的线性相关性
Th4 设组A : a1 , a2 ,, am线性无关 ,而组B : a1 ,, am , b
则有不全为0的数 k1 , k 2 ,, k m , 使 k1a1 k2a2 km am 0.
不妨设 k1 0,则有
km k2 k3 a1 a2 a3 am . k1 k1 k1 即 a1 能由其余向量线性表示.
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0 1 2
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§3.3 向量组的线性相关性
推导: 设 a1 ,, am 线性相关，
存在不全为零的数 k1 ,, km , 使 k1a1 k2a2 km am 0
即k1a1 k2a2 km am 0am1 0
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§3.3 向量组的线性相关性
B : , ,..., 能由向量组A : a , a ,..., a cor1.设向量组
1 2 n
1
2
m
线性表示，如果向量组 B 线性无关，则 m n .
秩法
cor n维n个向量组 a1 ,, an线性相关 a1 , ,, an 0
行列式法
线性无关 a1 , ,, an 0
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2 1 0 例3 讨论a1 1 ，a2 2 ，a3 1 线性相关性 0 1 2 2 1 0 1 2 1 秩法 解：法１ A (a1 , a2 , a3 ) 1 2 1 ~ 2 1 0 0 1 2 0 1 2 1 1 2 1 1 2 阶梯形矩阵 ~ 0 3 2 ~ 0 1 2 R( A) 3 0 1 0 0 4 2 a1 , a2 , a3线性无关 2 1 0 法２ a1 , a2 , a3 1 2 1 4 0 a1 , a2 , a3线性无关
线性相关, 则 b 必能由组A线性表示, 且表示式 是唯一的.
证: 因A组线性无关，有 R( A) m;
又因B组线性相关，有 R( B ) m 1.
而R( A) R( B )
所以m R( B) m 1，即有R( B) m. 由R( A) R( B) m, 知方程组Ax b 有唯一解，
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§3.3 向量组的线性相关性
二.线性相关性的判定
Th1 组a1 , a2 ,, am ( m 2)线性相关 其中至少 有一个向量可由其余 m 1向量线性表示 a , a , , a 证明: 必要性 设 1 2 m 线性相关，
m n时成立, 将式（1）代入（2）， k k 就可得到齐次方程组
11 12
k k
21
m1
k k
22
m2
k x k x k x
1n 2n mn
1
2
n
0
有非零解，从而向量组 线性相关.
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§3.3 向量组的线性相关性
2 1 0 例1 讨论a1 1 ，a2 2 ，a3 1 线性相关性 0 1 2 解：设一组数 k1 , k2 , k3 , 使k1a1 k2a2 k3a3 0 2 1 0 0 k1 1 k2 2 k3 1 0 0 1 2 0 2 1 0 2k1 k2 0 k1 2k2 k3 0 系数行列式 D 1 2 1 4 0 k 2k 0 0 1 2 2 3 a1 , a2 , a3线性无关 . 只有零解 k1 k2 k3 0
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§3.3 向量组的线性相关性
例2 已知向量组a1 , a2 , a3 线性无关 , 证明a1 a2 , a2 a3 , a3 a1也线性无关. 证：设一组数k1 , k2 , k3使 k （ （ （ 1 a1 a2 ) k 2 a2 a3 ) k 3 a3 a1 ) 0 亦即 （ k1 k3 )a1 (k1 k2 )a2 (k2 k3 )a3 0, a1，a2，a3线性无关，有
即向量b能由向量组A线性表示, 且表示式唯一 .
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§3.3 向量组的线性相关性
Th5 n 维向量组 a1 , a2 ,am 同时去掉相应的n s 个
分向量后得到
s
维向量组 b1 , b2 ,bm , 其中
j 1,2 m ,
线性代数
3a1 a2 0 0b1 0b2 0
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§3.3 向量组的线性相关性
*
(1) 单独一个零向量线性相关, 1 0 0 单独一个非零向量线性无关 0a 0
(2)含零向量的向量组是线性相关 . 0a1 1 0 0am 0 ( 3) a1 , a2线性相关 分量对应成比例
线性无关 只有当k1 km 0时, 才有 k1a1 km am 0 成立 .
1 3 a1 , a2 2 6 1 2 b1 , b2 2 1
m n
k1 n k2n (1) k mn
要证存在不全为零的数 x1 , x 2 ,..., xn 使