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2018上海高三数学二模---函数汇编

2018上海高三数学二模——函数汇编(2018宝山二模)10. 设奇函数()f x 定义为R ,且当0x >时,2()1m f x x x=+-(这里m 为正常数).若()2f x m ≤-对一切0x ≤成立,则m 的取值范围是 .答案:[)2,+∞(2018宝山二模)15.若函数()()f x x R ∈满足()1f x -+、()1f x +均为奇函数,则下列四个结论正确的是( ))(A ()f x -为奇函数 )(B ()f x -为偶函数)(C ()3f x +为奇函数 )(D ()3f x +为偶函数答案:C(2018宝山二模)19.(本题满分14分,第1小题满分6分,第2小题满分8分)某渔业公司最近开发的一种新型淡水养虾技术具有方法简便且经济效益好的特点,研究表明:用该技术进行淡水养虾时,在一定的条件下,每尾虾的平均生长速度为()g x (单位:千克/年)养殖密度为,0x x >(单位:尾/立方分米)。

当x 不超过4时,()g x 的值恒为2;当420x ≤≤,()g x 是x 的一次函数,且当x 达到20时,因养殖空间受限等原因,()g x 的值为0.(1)当020x <≤时,求函数()g x 的表达式。

(2)在(1)的条件下,求函数()()f x x g x =⋅的最大值。

答案:(1)()(][]()2,0,4,15,4,2082x g x x N x x *⎧∈⎪=∈⎨-+∈⎪⎩;(2)12.5千克/立方分米 (2018虹口二模5) 已知函数20()210x x x f x x -⎧-≥=⎨-<⎩,则11[(9)]f f ---= 【解析】120()log (1),0x f x x x -≤=-+>⎪⎩,1(9)3f --=,111[(9)](3)2f f f ----==- (2018虹口二模11) []x 是不超过x 的最大整数,则方程271(2)[2]044x x -⋅-=满足1x <的所有实数解是 【解析】当01x ≤<,[2]1x =,∴21(2)22x x =⇒=;当0x <,[2]0x =,21(2)4x =, ∴1x =-,∴满足条件的所有实数解为0.5x =或1x =-(2018虹口二模21)已知函数3()f x ax x a =+-(a ∈R ,x ∈R ),3()1x g x x =-(x ∈R ).(1)如果x =x 的不等式()0f x ≤的解,求实数a 的取值范围;(2)判断()g x 在(-和的单调性,并说明理由; (3)证明:函数()f x 存在零点q ,使得4732n a q q q q -=+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅成立的充要条件是a ≥【解析】(1)()023f a ≤⇒≥;(2)根据单调性定义分析,在(-上递减,在上递增; (3)“函数()f x 存在零点q ,使得4732n a q q q q -=+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅成立”说明473231n q a q q q q q-==+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅-成立,根据无穷等比数列相关性质,(1,1)q ∈-,结合第(2)问,31q a q =-在(-上递减,在上递增,∴min 3()1q a g q ≥==-,反之亦然.(2018杨浦二模1)函数lg 1y x =-的零点是 .答案: 10x =(2018杨浦二模17)(本题满分14分,第1小题满分7分,第2小题满分7分)共享单车给市民出行带来了诸多便利,某公司购买了一批单车投放到某地给市民使用. 据市场分析,每辆单车的营运累计利润y (单位:元)与营运天数()*x x N ∈满足21608002y x x =-+-. (1)要使营运累计利润高于800元,求营运天数的取值范围;(2)每辆单车营运多少天时,才能使每天的平均营运利润y x的值最大? 【解】 (1) 要使营运累计收入高于800元,令80080060212>-+-x x , …………………………………2分 解得8040<<x . …………………………………5分所以营运天数的取值范围为40到80天之间 .…………………………………7分(2)6080021+--=xx x y…………………………………9分 20604002=+-≤ 当且仅当18002x x=时等号成立,解得400x = …………………………12分 所以每辆单车营运400天时,才能使每天的平均营运利润最大,最大为20元每天 .…14分(2018杨浦二模21)(本题满分18分,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分)记函数()f x 的定义域为D . 如果存在实数a 、b 使得()()f a x f a x b -++=对任意满足a x D -∈且a x D +∈的x 恒成立,则称()f x 为ψ函数.(1)设函数1()1f x x=-,试判断()f x 是否为ψ函数,并说明理由; (2)设函数t x g x +=21)(,其中常数0≠t ,证明:)(x g 是ψ函数; (3)若)(x h 是定义在R 上的ψ函数,且函数)(x h 的图象关于直线x m =(m 为常数)对称,试判断)(x h 是否为周期函数?并证明你的结论.【解】(1)1()1f x x=-是ψ函数 . ……1分 理由如下:1()1f x x =-的定义域为{|0}x x ≠,只需证明存在实数a ,b 使得()()f a x f a x b -++=对任意x a ≠±恒成立.由()()f a x f a x b -++=,得112b a x a x +-=-+,即2()()a x a xb a x a x ++-+=-+. 所以22(2)()2b a x a +-=对任意x a ≠±恒成立. 即2,0.b a =-=从而存在0,2a b ==-,使()()f a x f a x b -++=对任意x a ≠±恒成立. 所以1()1f x x=-是ψ函数. …………4分 (2)记()g x 的定义域为D ,只需证明存在实数a ,b 使得当a x D -∈且a x D +∈时,()()g a x g a x b -++=恒成立,即1122a x a x b t t -++=++恒成立. 所以22(2)(2)a x a x a x a x t t b t t +-+-+++=++, ……5分化简得,22(1)(22)(2)2a x a x a bt b t t +--+=+-.所以10bt -=,22(2)20a b t t +-=.因为0t ≠,可得1b t=,2log ||a t =, 即存在实数a ,b 满足条件,从而1()2x g x t=+是ψ函数. …………10分 (3)函数)(x h 的图象关于直线x m =(m 为常数)对称,所以)()(x m h x m h +=- (1), ……………12分 又因为b x a h x a h =++-)()( (2), 所以当a m ≠时,)]2([)22(a m x m h a m x h -++=-+由(1 ) )]([)2()]2([x a a h x a h a m x m h -+=-=-+-=由(2) )()]([x h b x a a h b -=---= (3)所以)22(]22)22[()44(a m x h b a m a m x h a m x h -+-=-+-+=-+(取a m x t 22-+=由(3)得)再利用(3)式,)()]([)44(x h x h b b a m x h =--=-+.所以()f x 为周期函数,其一个周期为a m 44-. ……………15分当a m =时,即)()(x a h x a h +=-,又)()(x a h b x a h +-=-, 所以2)(b x a h =+为常数. 所以函数)(x h 为常数函数,2)()1(b x h x h ==+,)(x h 是一个周期函数. ……………17分 综上,函数)(x h 为周期函数。

……………18分(2018黄浦二模3)若函数2()82f x ax x =--是偶函数,则该函数的定义域是 .答案:[2,2]-(2018黄浦二模6)方程33log (325)log (41)0x x ⋅+-+=的解x = .答案:2(2018黄浦二模12)已知函数2()(02)f x ax bx c a b =++<<对任意R x ∈恒有()0f x ≥成立,则代数式(1)(0)(1)f f f --的最小值是 . 答案:3.(2018黄浦二模18)(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌,铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面(由扇形OAD 挖去扇形OBC 后构成的).已知10,(010)OA OB x x ==<<米米,线段BA CD 、线段与弧BC 、弧AD 的长度之和为30米,圆心角为θ弧度.(1)求θ关于x 的函数解析式;(2)记铭牌的截面面积为y ,试问x 取何值时,y 的值最大?并求出最大值.解 (1)根据题意,可算得弧BC x θ=⋅(m ),弧10AD θ=(m ).又30BA CD BC CD +++=弧弧,于是,10101030x x x θθ-+-+⋅+=,所以,210(010)10x x x θ+=<<+. (2) 依据题意,可知22111022OAD OBC y S S x θθ=-=⨯-扇扇 化简,得2550y x x =-++25225()24x =--+. 于是,当52x =(满足条件010x <<)时,max 2254y =(2m ). 答 所以当52x =米时铭牌的面积最大,且最大面积为2254平方米.(2018黄浦二模20)(本题满分16分)本题共有2个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分6分.已知函数22, 10,()=1, 0 1.x x f x x x --≤<⎧⎨-≤≤⎩ (1) 求函数()f x 的反函数1()f x -;(2)试问:函数()f x 的图像上是否存在关于坐标原点对称的点,若存在,求出这些点的坐标;若不存在,说明理由;(3)若方程()|()240f x f x ax +---=的三个实数根123x x x 、、满足: 123x x x <<,且32212()x x x x -=-,求实数a 的值.解 (1) 22, 10,()=1, 0 1.x x f x x x --≤<⎧⎨-≤≤⎩∴当10x -≤<时,()2,0()2f x x f x =-<≤且.由2y x =-,得12x y =-,互换x y 与,可得11()(02)2f x x x -=-<≤. 当01x ≤≤时,2()1,()0f x x f x =-≤≤且-1.由21y x =-,得x =x y 与,可得1()10)f x x -=-≤≤.11, 0<2,2() 10.x x f x x -⎧-≤⎪∴=-≤≤(2) 答 函数图像上存在两点关于原点对称.设点00000(,)(01)(,)A x y x B x y <≤--、是函数图像上关于原点对称的点,则00()()0f x f x +-=,即200120x x -+=,解得001(1,)x x =舍去,且满足01x <≤ .因此,函数图像上存在点1,2(12)A B -和关于原点对称.(3) 考察函数()y f x =与函数y =当1x -≤≤()f x ≥4240x ax ---=,解得 2+2x a =-,且由21+22a -≤-≤-,得02a ≤≤.当12x -<≤时,有()f x <240ax -=,化简得 22(4)40a x ax ++=,解得24=0+4a x x a =-,或(当02a ≤≤时,24024a a -<-<+). 于是,123224,,024a x x x a a =-=-=++. 由32212()x x x x -=-,得22442=2(+)+442a a a a a -++,解得32a -±=.因为312a -=<-,故a =02a <=<,满足条件.因此,所求实数a = (2018静安二模3)函数y =的定义域为 . 答案:{}1x x ≥-(2018静安二模16)已知函数3()10f x x x =++,实数123,,x x x 满足1223310,0,0x x x x x x +<+<+<,则123()()()f x f x f x ++的值( ).A .一定大于30B .一定小于30C .等于30D .大于30、小于30都有可能答案:B(2018静安二模21)(本题满分18分,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分)设函数()|27|1f x x ax =-++(a 为实数).(1)若=1a -,解不等式()0f x ≥;(2)若当01x x>-时,关于x 的不等式()1f x ≥成立,求a 的取值范围; (3)设21()1x g x a x +=--,若存在x 使不等式()()f x g x ≤成立,求a 的取值范围. 解:(1)由()0f x ≥得271x x -≥-,………………………1分 解不等式得8|63x x x ⎧⎫≤≥⎨⎬⎩⎭或 ………………………………4分 (利用图像求解也可)(2)由01x x>-解得01x <<. 由()1f x ≥得|27|0x ax -+≥,当01x <<时,该不等式即为(2)70a x -+≥; …………………………5分当=2a 时,符合题设条件;……………………6分下面讨论2a ≠的情形,当2a >时,符合题设要求;……………………7分当2a <时,72x a ≤-,由题意得712a≥-,解得25a >≥-; 综上讨论,得实数a 的取值范围为{}|5a a ≥- ………………………10分 (3)由21()=21(1)1x g x x a x a x +=-++--,…………………………12分代入()()f x g x ≤得|27|2|1|1x x a ---+≤,令()|27|2|1|1h x x x =---+, 则6,17()410,1274,2x h x x x x ⎧⎪≤⎪⎪=-+<≤⎨⎪⎪->⎪⎩, 74()()(1)62h h x h -=≤≤=, ∴min ()4h x =-…………………………15分若存在x 使不等式()()f x g x ≤成立,则min (),4h x a a ≤≥-即. (1)(2018闵行二模4)定义在R 上的函数()21x f x =-的反函数为1()y f x -=,则1(3)f -=【解析】1213(3)2x f --=⇒=(2018闵行二模10) 若函数2()log (1)a f x x ax =-+(0a >且1a ≠)没有最小值,则a 的取值范围是【解析】分类讨论,当01a <<时,没有最小值,当1a >时,即210x ax -+≤有解,∴02a ∆≥⇒≥,综上,(0,1)[2,)a ∈+∞(2018闵行二模16) 给出下列三个命题:命题1:存在奇函数()f x (1x D ∈)和偶函数()g x (2x D ∈),使得函数()()f xg x (12x D D ∈)是偶函数;命题2:存在函数()f x 、()g x 及区间D ,使得()f x 、()g x 在D 上均是增函数,但()()f x g x 在D 上是减函数;命题3:存在函数()f x 、()g x (定义域均为D ),使得()f x 、()g x 在0x x =(0x D ∈)处均取到最大值,但()()f x g x 在0x x =处取到最小值;那么真命题的个数是( )A. 0B. 1C. 2D. 3【解析】命题1:()()0f x g x ==,x ∈R ;命题2:()()f x g x x ==,(,0)x ∈-∞; 命题3:2()()f x g x x ==-,x ∈R ;均为真命题,选D(2018闵行二模19)某公司利用APP 线上、实体店线下销售产品A ,产品A 在上市20天内全部售完,据统计,线上日销售量()f t 、线下日销售量()g t (单位:件)与上市时间t (*t N ∈)天的关系满足:10110()102001020t t f t t t ≤≤⎧=⎨-+<≤⎩,2()20g t t t =-+(120t ≤≤),产品A 每件的 销售利润为40115()201520t h t t ≤≤⎧=⎨<≤⎩(单位:元)(日销售量=线上日销售量+线下日销售量).(1)设该公司产品A 的日销售利润为()F t ,写出()F t 的函数解析式;(2)产品A 上市的哪几天给该公司带来的日销售利润不低于5000元?【解析】(1)22240(30),110()40(10200),101520(10200),1520t t t F t t t t t t t ⎧-+≤≤⎪=-++<≤⎨⎪-++<≤⎩(2)()5000515F t t ≥⇒≤≤,第5天到第15天(2018青浦二模10)已知()f x 是定义在[2,2]-上的奇函数,当(0,2]x ∈时,()21x f x =-,函数2()2g x x x m =-+. 如果对于任意的1[2,2]x ∈-,总存在2[2,2]x ∈-,使得12()()f x g x ≤,则实数m 的取值范围是 . 答案: 5m ≥-(2018青浦二模15)已知函数()f x 是R 上的偶函数,对于任意x ∈R 都有(6)()(3)f x f x f +=+成立,当[]12,0,3x x ∈,且12x x ≠时,都有1212()()0f x f x x x ->-.给出以下三个命题: ①直线6x =-是函数()f x 图像的一条对称轴;②函数()f x 在区间[]9,6--上为增函数;③函数()f x 在区间[]9,9-上有五个零点.问:以上命题中正确的个数有( ).(A )0个 (B )1个 (C )2个 (D )3个答案:B(2018青浦二模20)(本题满分16分)本题共3小题,第(1)小题4分,第(2)小题6分,第(3)小题6分. 设函数()2()5f x ax a x=-+∈R . (1)求函数的零点;(2)当3a =时,求证:()f x 在区间(),1-∞-上单调递减;(3)若对任意的正实数a ,总存在[]01,2x ∈,使得0()f x m ≥,求实数m 的取值范围.解:(1)①当0a =时,函数的零点为25x =-; ②当2508a a ≥-≠且时,函数的零点是52x a ±=;③当258a <-时,函数无零点; (2)当3a =时,2()3+5f x x x =-,令2()3+5g x x x=- 任取12,(,1)x x ∈-∞-,且12x x <, 则()211212121212()2322()()3535x x x x g x g x x x x x x x -+⎛⎫-=-+--+= ⎪⎝⎭因为12x x <,12,(,1)x x ∈-∞-,所以210x x ->,121x x >,从而()211212()230x x x x x x -+>即1212()()0()()g x g x g x g x ->⇒>故()g x 在区间(),1-∞-上的单调递减当(),1x ∈-∞-时,()()6,g x ∈+∞22()3+5=3+5()f x x x g x x x∴=--= 即当3a =时,()f x 在区间(),1-∞-上单调递减;(3)对任意的正实数a ,存在[]01,2x ∈使得0()f x m ≥,即0max ()f x m ≥,当()0,x ∈+∞时,25,02()+5255,2ax x x f x ax x ax x xa ⎧-+<<⎪⎪=-=⎨⎪-+-≥⎪⎩ 即()f x在区间50,2a ⎛+ ⎝⎭上单调递减,在区间⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增;所以{}{}0max ()max (1),(2)max 7,62f x f f a a ==--, 又由于0a >,{}8max 7,623a a --≥,所以83m ≤.(2018崇明二模9)设()f x 是定义在R 上以2为周期的偶函数,当[0,1]x ∈时,2()log (1)f x x =+,则函数()f x 在[1,2]上的解析式是 .答案: 2()log (3)f x x =-(2018崇明二模20)(本题满分16分,本题共有3个小题,第(1)小题满分4分,第(2)小题满分5分,第(3)小题满分7分.)已知函数2(),21x xaf x x R +=∈+. (1)证明:当1a >时,函数()y f x =是减函数;(2)根据a 的不同取值,讨论函数()y f x =的奇偶性,并说明理由;(3)当2a =,且b c <时,证明:对任意[(),()]d f c f b ∈,存在唯一的0x R ∈,使得0()f x d =,且0[,]x b c ∈.20. 解:(1)证明:任取12,x x R ∈,设12x x <,则211212(1)(22)()()(21)(21)x x xx a f x f x ---=++因为12x x <,所以2122x x>,又1a >所以12()()0f x f x ->,即12()()f x f x >……3分所以当1a >时,函数()y f x =是减函数 ……4分 (2)当1a =时,()1f x =,所以()()f x f x -=,所以函数()y f x =是偶函数 ……1分当1a =-时,()2121x x f x -=+2112()()2121x xx x f x f x -----===-++所以函数()y f x =是奇函数 ……3分 当1a ≠且1a ≠-时,2(1)3a f +=,21(1)3a f +-= 因为(1)(1)f f -≠且(1)(1)f f -≠-所以函数()y f x =是非奇非偶函数 ……5分(3)证明:由(1)知,当2a =时函数()y f x =是减函数, 所以函数()y f x =在[,]b c 上的值域为[(),()]f c f b ,因为[(),()]d f c f b ∈,所以存在0x R ∈,使得0()f x d =. ……2分 假设存在110,x R x x ∈≠使得1()f x d =,若10x x >,则10()()f x f x <,若10x x <,则10()()f x f x >,与10()()f x f x d ==矛盾,故0x 是唯一的 ……5分 假设0[,]x b c ∉,即0x b <或0x c >,则0()()f x f b >或0()()f x f c < 所以[(),()]d f c f b ∉,与[(),()]d f c f b ∈矛盾,故0[,]x b c ∈……7分(2018奉贤二模9)给出下列函数:①1y x x=+;②x x y +=2;③2x y =;④23y x =;⑤x y tan =;⑥()sin arccos y x =;⑦(lg lg 2y x =-.从这7个函数中任取两个函数,则其中一个是奇函数另一个是偶函数的概率是 . 【参考答案】:37(2018奉贤二模18)已知函数()1212-+=x x k x f ,0≠k ,R k ∈. (1)讨论函数()x f 的奇偶性,并说明理由;(2)已知()x f 在(]0,∞-上单调递减,求实数k 的取值范围.【参考答案】:(1)函数定义域为R …………………………………………………1分 01)0(≠=kf ()x f ∴不是奇函数……………………………………………………………………2分()1221-+⋅=-xxk x f ,令()()()02211=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⇒=--x x k x f x f 恒成立, 所以当1=k 时,函数()x f 为偶函数;……………………………………………4分 当1≠k 时,函数()x f 是非奇非偶函数。

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