1.2 极限的概念
一、观察当n 时下列数列的变化趋势，并判断它们是否收敛，若收敛指出其极限：
1
1.
x (1)
n
n n
3
答：收敛于0 （通过观察趋势可得）
2.x
n 1 ( 1)n
n
答：收敛于0 （因为数列1
n
和
(1)n
n
均收敛于零，由四则运算其和也应收敛于零）
3.x a n (a 1)
n
答：发散（通过观察趋势可得数列趋于无穷大，故发散）
4.x cos n
n
答：发散（cos n (1)n ，通过观察趋势，数列趋于两个不同的值1，从而发散）
5.x
3(1)
n
n
答：发散（通过观察趋势，数列趋于两个不同的值1
3
和3，从而发散）
6.
2
1
n
x
n n
3
答：收敛于0 （注意到
n n
2 1 2 1
n
，由于公比的绝对值均小于1，两个等比数列3 3 3
n
n n
2
1
和
3
3
均收敛于零，由四则运算其差也应收敛于零）
二、由函数图形判别下列函数极限是否存在，如存在，则写出其极限：lim cos
1.
x0
x
答：存在，极限为1
x
2.lim cos
x
答：不存在，因为函数值在1之间振荡3.lim ln x
x0
答：不存在，因为函数值趋于负无穷大
4.lim arctan x
x
答：不存在，因为lim arctan x , lim arctan x ，两者不等，故趋于无穷大的极限x 2 x 2
不存在（注：请同学们一定要熟悉y arctan x 的图形！）
lim a x 5.
x0 (a 0, a
1)
答：存在，极限为1
6.lim a x
x (a 0, a
1)
答：不存在。
若a 1，当x 时，函数值趋于正无穷大；若0 a 1，当x 时，函数值趋于正无穷大
lim f (x), f (x) 7.
x0
x 1, x 0
x 1, x 0
答：不存在，因为lim f (x) lim (x 1) 1, lim f (x) lim (x 1) 1，两者不等，故趋
x0 x0 x0 x 0
于零的极限不存在
1
8.lim
x x
答：存在，极限为0
三、考察函数f (x)
x
在点x 0 处的左右极限，并说明在x 0 处极限是否存在.
x
解：
x x lim f (x ) lim 1, lim f (x ) lim 1
x 0 x0 x0 x 0
x x
x) lim f (x)lim f (x) 不存在x x
0 0 x 0
四、设函数f (x ) x2 a, x
，若当x 0 时极限存在，求常数a 的值.
e , x 0
x
解：lim f (x) lim e x 1, lim f (x) lim (x2 a) a x0 x0 x0 x0
) 存在 lim f (x) lim f (x) a 1
x0 x0
五、思考并回答下列问题：
1. 如果数列x 收敛，数列
x 是否一定收
敛？n 2n 1
答：是，因为数列收敛的任意子数列也收敛
2. 如果数列x 发散，数列
x 是否一定发
散？n 2n 1
答：不一定，例如( 1)n x 收敛
x 是发散的，但 2 1
2 1 ( 1) n 1
n n
3. 如果数列lim
n x a
，数列
x 是否一定收敛？若收敛，求极限. n n 10
答：是，因为数列的前面有限项不影响数列的极限，lim x n10 a
n
4. 如果数列x 收敛，y 发散，问
x y 是收敛还是发
散？n n n n
答：发散，由数列的性质可得，两数列一个收敛一个发散，其和与差一定发散
5. 如果数列x ，y 均发散，问
x y 是否一定发
散？n n n n
答：不一定，可能收敛可能发散，如数列x (1)n1, y (1)n 都发散，
但数列
n n
x y 0收敛
n n
六、下列命题中正确的是（ C ）.
A. 若lim
n x a ，
lim
n
n
y b
，且a b ，则n
N ，有
n
x y
n n
B. 若lim
n x a ，则
lim
2n 1
n
x
a
n
C. 若lim f (x)
存在，则函数在x a的某去心邻域内有界
x a
D. 若lim ( ) lim ( )，而函数f (x) 在x a无定义，则lim f (x)
f x f x
不存在x a x a x a
解析：A 错误，x n y n不一定对任意n N成立。
由极限的保号性，正确的说法是“若
lim x a , lim y b 且a b ，则至少存在一个正整数N ，使得当n N 时，有
n n x y ”。
n n
n n
说明数列的极限与其前面有限项无关。
B 错误，例如x n
2 1 ( 1) x n 发
散
2 1 收敛于1，但( 1)
n n
C 正确，此命题说明有极限的函数具有局部有界性
一定存在。
说明函数的极限反映了自
D 错误，若lim f (x ) lim f (x)，则lim
f( x)
x a x a x a
变量无限趋近某点过程中函数值的变化规律，与在该点处是否有定义或取值多少无关。