极 限 的 概 念（4月27日）
教学目的：理解数列和函数极限的概念；
教学重点：会判断一些简单数列和函数的极限；
教学难点：数列和函数极限的理解
教学过程：
一、实例引入：
例：战国时代哲学家庄周所著的《庄子·天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。
”也就是说一根长为一尺的木棒，每天截去一半，这样的过程可以无限制地进行下去。
（1）求第n 天剩余的木棒长度n a (尺)，并分析变化趋势；（2）求前n 天截下的木棒的总长度n b (尺)，并分析变化趋势。
观察以上两个数列都具有这样的特点：当项数n 无限增大时，数列的项n a 无限趋近于某个常数A （即A a n -无限趋近于0）。
n a 无限趋近于常数A ，意指“n a 可以任意地靠近A ，希望它有多近就有多近，只要n 充分大，就能达到我们所希望的那么近。
”即“动点n a 到A 的距离A a n -可以任意小。
二、新课讲授
1、数列极限的定义：
一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列}{n a 的项n a 无限趋近于．．．．．
某个常数A （即A a n -无限趋近于0）
，那么就说数列}{n a 的极限是A ，记作 A a n n =∞
→lim 注：①上式读作“当n 趋向于无穷大时，n a 的极限等于A ”。
“n →∞”表示“n 趋向于无穷大”，即n 无限增大的意思。
A a n n =∞
→lim 有时也记作当n →∞时，n a →A ②引例中的两个数列的极限可分别表示为_____________________，____________________ ③思考：是否所有的无穷数列都有极限？
例1：判断下列数列是否有极限，若有，写出极限；若没有，说明理由
（1）1，
21，31，…，n 1，… ；（2）21，32，43，…，1
+n n ，…；
（3）－2，－2，－2，…，－2，…；（4）－0.1，0.01，－0.001，…，n )1.0(-，…；
（5）－1,1，－1，…，n )1(-，…；
注：几个重要极限：
（1）01lim =∞→n
n （2）C C n =∞→lim （C 是常数） （3）无穷等比数列}{n q （1<q ）的极限是0，即 ：)1(0lim <=∞→q q n
n
2、当∞→x 时函数的极限
（1） 画出函数x
y 1=的图像，观察当自变量x 取正值且无限增大时，函数值的变化情况：函数值无限趋近于0，这时就说，当x 趋向于正无穷大时，的极限是0，记作：01lim =+∞→x
x 一般地，当自变量x 取正值且无限增大时，如果函数 )(x f y =的值无限趋近于一个常数A ，就说当x 函数)(x f y =的极限是A ，记作：A x f x =+∞
→)(lim 也可以记作，当x +∞→时，A x f →)(
（2）从图中还可以看出，当自变量x 取负值而x 无限增大时，函数x
y 1=
的值无限趋近于0，这时就说，当x 趋向于负无穷大时，函数x y 1=的极限是0，记作：01lim =-∞→x x 一般地，当自变量x 取负值而x 无限增大时，如果函数)(x f y =的值无限趋近于一个常数A ，就说当x 趋向于负无穷大时，函数)(x f y =的极限是A ，记作：A x f x =-∞
→)(lim
也可以记作，当x -∞→时，A x f →)(
（3）从上面的讨论可以知道，当自变量x 的绝对值无限增大时，函数x
y 1=
的值都无限趋近于0，这时就说，当x 趋向于无穷大时，函数x y 1=的极限是0，记作01lim =∞→x x 一般地，当自变量x 的绝对值无限增大时，如果函数)(x f y =的值无限趋近于一个常数A ，就说当x 趋向于无穷大时，函数)(x f y =的极限是A ，记作：A x f x =∞
→)(lim 也可以记作，当x ∞→时，A x f →)(
特例：对于函数C x f =)(（C 是常数），当自变量x 的绝对值无限增大时，函数C x f =)(的值保持不变，所以当x 趋向于无穷大时，函数C x f =)(的极限就是C ，即
C C x =∞
→lim 例2：判断下列函数的极限：
（1）x x )21(lim +∞→ （2）x
x 10lim -∞
→ （3）21lim x
x ∞→ （4）4lim ∞→x
三、课堂小结
1、数列的极限
2、当x ∞→时函数的极限
四、练习与作业
1、判断下列数列是否有极限，若有，写出极限
（1）1，41，91， (21)
，… ；（2）7，7，7，…，7，…； （3） ,2
)1(,,81,41,21n n
---； （4）2，4，6，8，…，2n ，…；
（5）0.1，0.01，0.001，…，n 10
1，…；
P
M
N
A B C D （6）0，,32,21--…，11-n
，…； （7）,41,31,21-…，11)1(1+-+n n ，…； （8）,51,59,54…，5
2
n ，…； （9）－2, 0，－2，…，1)1(--n ,…，
2、判断下列函数的极限：
（1）x x 4.0lim +∞→ （2）x
x 2.1lim -∞→ （3）)1lim(-∞
→x （4）41lim
x x ∞→ （5）x x )101(lim +∞→ （6）x x )4
5(lim -∞→ （7）11lim 2+∞→x x （8）5lim ∞→x 补充：3、如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，M 、N 分别是AB 、PC 的中点。
（1）求证：MN ⊥AB ； （2）若平面PCD 与平面ABCD 所成的二面角为θ，
能否确定θ，使得MN 是异面直线AB 与PC 的公垂线？
若可以确定，试求θ的值；若不能，说明理由。