成都树德中学（成都九中）2016年外地生自主招生考试数学试题
考试时间：120分钟，满分：150分
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）
1、已知a,b满足a2−2a−5=0,b2−2b−5=0,且a≠b,则b
a +a
b
+3的值是（）
（A）1
5(B)−1
5
（C）2
5
(D)−2
5
2、若关于x的不等式组{x−m<0
7−2x≤1的整数解共有4个，则关于x的一元二次方程x
2−8x+m=0的根的情况是（）
（A）有两个不相等的实数根（B）有两个相等的实数根
（C）没有实数根（D）有一正一负根
3、在边长为2的正方形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,P是BD上一动点,过P作EF∥AC,分别交正方形的两条边于点E,F.设BP=x,△BEF的面积为y,则能反映y与x之间关系的图象为( )
A. B. C. D.
4、如图在边长为2的正方形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,P是BD上一动点,过P作EF∥AC,分别交正方形的两条边于点E,F.设BP=x,△BEF的面积为y,则能反映y与x之间关系的图象为()所示，O1的半径为3，圆O2的半径为1，两圆外切于点P，从O1上的点A作圆O2的切线AB,B为切点，连AP并延长，与圆O2交于点C，则AB
AC
( )
A.1 2
B.√3
2
C.4
5
D.3
5
5、如果实数a,b,c满足：a+b−2√a−1−4√b−2=3√c−3−1
2
c−5,则a+b+c的值是（）
A.2
B.20
C.6
D.2√5
6、如图,一根木棒AB长为8斜靠在与地面OM垂直的墙壁ON上,与地面的倾斜角∠ABO=60°,若木棒沿直线NO下滑,且B端沿直线OM向右滑行,则木棒中点P也随之运动,已知A端下滑到A′时,AA′=4√3−4√2，则木棒中点P随之运动到P′所经过的路线长为（）
(A)π
3(B)16√3−24
13
(C)2(√3−1)
5
(D)2
7、
8、已知相互垂直的直线、已知相互垂直的直线L 1:y =k 1x +2−k 1与L 2:y =k 2x +2−3k 2交于点P ，O 为坐标原点，则op 的最大值是（ ）
A.√13
B.√3+2
C.4√2+9
D.2√2+1
9、若图所示，O,I 分别表示△ABC 的外心与内心，已知∠OIB=30°，则∠BAC=
A.30°
B.45°
C.60°
D.75°
10、若实数x 、y 满足关系式2xy−x−y=2,则x 2+y 2的最小值为( )
A. 3−√5
B. 3+√5
C. 8+4√3
D. 8-4√3
11、已知函数y=cosx,a,b,c 分别为△ABC 的内角A,B,C 所对的边，且a 2+b 2≤c 2,则下列不等式一定成立的是（ ）
（A ）cos(sinA)≤cos⁡(cosB) (B)cos⁡(sinA)≤cos⁡(sinB)
(C)cos (cosA )≤cos (sinB ) (D)cos⁡(cosA)≤cos⁡(cosB)
12、如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC 的顶点O 在坐标原点,顶点A. C 分别在x 轴、y 轴的正半轴上,且OA=2,OC=1,矩形对角线AC 、OB 相交于E,过点E 的直线与边OA 、BC 分别相交于点G 、H,以O 为圆心,OC 为半径的圆弧交OA 于D,若直线GH 与弧CD 所在的圆相切于矩形内一点F,则下列结论：①AG=CH;②GH=103;③直线GH 的函数关系式y=−34x+54;④梯形ABHG 的内部有一点P,当☉P 与HG 、GA 、AB 都相切时,☉P 的半径为12.其中正确的有( )
（A ） 1个 (B) 2个 (C) 3个 (D)4个
第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）
二、填空题：（共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置）
13、已知抛物线22)2(2
12++-+=x x b x y 向右平移2个单位后得到抛物线τ，τ经过点)0,4(A .设点)3,1(-C ，请在抛物线τ的对称轴上确定一点D ，使得CD AD -的值最大，则D 点的坐标为___________________.
14、端午节是我国的传统节日，人们有吃粽子的习惯。

某校数学兴趣小组调查了4位同学，他们的口味各有偏好，其中：小军只爱吃肉馅粽子，小丽只爱吃糖馅粽子，小童只爱吃豆沙馅粽子，小雨只爱吃枣馅粽子。

现在桌子上有四只外表和重量完全一样的肉馅、糖馅、豆沙馅，枣馅粽子个一只，让四个同学各选一只，则所有同学拿到的都是自己不喜欢的口味的粽子的概率是_____________。

15、设函数1y 和2y 是定义在同一个取值范围b x a ≤≤上的两个函数，当函数021=-y y 在b x a ≤≤上有两个不同的解时，则称函数1y 和2y 是在b x a ≤≤上的“关联函数”.若42
1+-=mx x y 和m x y +-=22在30≤≤x 上是“关联函数”，则m 的取值范围是________________.
16、ABC Rt ∆的两直角边AB ,BC 长分别为4,6，其内部一点O 与两边距离均为2，p 在以O 为圆心，1为半径的圆上运动，则222PC PB PA ++的最小值是_________________.
19、（本题满分12分）
如图，已知A. B 是线段MN 上的两点，4=MN ，1=MA ，1>MB .以A 为中心顺时针旋转点M ，以B 为中心逆时针旋转点N ，使M 、N 两点重合成一点C ，构成△ABC ，设AB =x .
(1)若△ABC 为直角三角形，求x 的值；
(2)探究：△ABC 的最大面积?
20、（本题满分12分）
新信息一：设ABC ∆的三边BC ，CA ，AB 长度分别为a ，b ，c .则A bc c b a cos 2222-+=，B ca a c b cos 22
22-+=，C ab b a c cos 2222-+=，我们称其为余弦定理，可见勾股定理是其特殊情况：
新信息二：
180=+βα，则βαcos cos -=，即两角互补，他们的余弦值互为相反数.
根据以上信息完成下列问题：
（1）已知平行四边形ABCD ，两对角线长为AC ,BD .求证：222222DA CD BC AB BD AC +++=+；
（2）设ABC ∆的BC 边上的中点为M ，推导其中线AM 的长度m 的公式（即用a ，b ，c 表示出m ）
（3）已知ABC ∆的两边4=b ，3=c ，且BC 边上的中线AM 的长度为3=m ，求BAC ∠cos .
移动时，直线MD与梯形另一边交点为N，设D点横坐标为m，当△MNC为钝角三角形时，求m的范围。

22、（本题满分12分） 已知函数bx x y +=2的图像与函数)6)(4(++=x x y 的图像关于直线2-=x 对称，将bx x y +=2的图像向上平移4个单位得到的图像为抛物线C .直线)0(>=k kx y 与抛物线C 交于两个不同的点A 、B ，与直线82:+-=x y l 交于点P ,分别过A 、B 、p 作x 轴的垂线，设垂足分别为1A ,1B ,1P .
(1) 求1
111
OB OP OA OP +的值；
(2) 求11BB AA +的取值范围；
(3)若存在两个不同的k 值，使m BB AA =+11，求m 的取值范围.。