2. 试解方程：()0,044>=+a a z44424400000,0,1,2,3,,,,i k iiz a a e z aek ae z i i ππππωωωωω+=-=====--若令则1．计算：（1）iii i 524321-+-+ （2）y =（3）求复数212⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭的实部u 和虚部v 、模r 与幅角θ(1) 原式=()()()123425310810529162525255i i i i i i +⋅+-⋅+-++=+=-+--（2） 332()102052(0,1,2,3,4)k i e k ππ+==原式(3)2223221cos sin cos sin ,3333212u v 1,2k ,k 0,1,2,223i i i e r ππππππθπ⎛⎫==+=+==- ⎪⎝⎭⎝⎭=-===+=±±L原式所以：，3．试证下列函数在z 平面上解析,并分别求其导数.(1)()()y i y y ie y y y x e x x sin cos sin cos ++-3.()()()()()()()()cos sin ,cos sin ,cos sin cos ,sin sin cos ,cos sin sin sin ,cos sin cos ,,,x x x x x x x x u e x y y y v e y y x y ue x y y y e y x ue x y y y y y ve y y x y e y y x ve y y y x y yu v u v x y y x u v z f z u iv z u f z =-=+∂=-+∂∂=---∂∂=++∂∂=-+∂∂∂∂∂==-∂∂∂∂=+∂'=∂证明：所以：。

由于在平面上可微所以在平面上解析。

()()()cos sin cos cos sin sin .x x x x vi e x y y y e y i e y y x y e y x x∂+=-++++∂由下列条件求解析函数()iv u z f += (),1,22i i f xy y x u +-=+-=解：()()()()()()()222222222212,2,212,2,,,2112,22111,0,1,1,,221112.222u v x y v xy y x x y v u v y x y x x x x x c x y x f z x y xy i xy y x c f i i x y c c f z x y xy i xy x y ϕϕϕϕ∂∂==+∴=++∂∂∂∂∂''=+=-=-+∴=-=-+∂∂∂⎛⎫=-+++-+ ⎪⎝⎭=-+==+==⎛⎫=-++-++ ⎪⎝⎭而即所以由知带入上式，则则解析函数2. ()21,3,,.ii i i i i e ++试求()()(((()()()2(2)Ln 144(2)4ln32Ln32ln32ln1222Ln 21cos sin ,0,1,2,3cos(ln 3)sin(ln 3),0,1,2,i i k k i ii i k i i k i i k i k i k i i i i i eeeei k e e e e i k i e eeππππππππππππ⎛⎫⎛⎫+ ⎪⎪-+++⎝⎭⎝⎭-++-+-⎛⎫⎛⎫++-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭+====+=±±====+=±±===L L 解：()222,0,1,2,cos1sin1.k i i k e e e e i π⎛⎫ ⎪⎝⎭+=±±=⋅=+L3. 计算 2,:122c dzc z z z =++⎰()2222220110,1,1,11,220,022z z z z i z i z c z z z c z z ++=++=+==-+=≤++≠=++解：时，而在内，故在内解析，故原式 1.计算221(1),21c z z dz c z z -+=-⎰： ()2221(2),21cz z dz c z z -+=-⎰：（1）212(21)=4 z i z z i ππ==-+解：原式 （2）2112(21)=2(41)6z z i z z i z i πππ=='=-+-=解：原式. 计算2sin()114,(1):1,(2):1,(3): 2.122c z dz c z c z c z z π+=-==-⎰其中1sin (1)sin 442.11c z z z z i i z z πππ=-⎡⎤-⎢⎥===⎢⎥+-⎢⎥⎣⎦⎰解：(1)原式1sin (1)sin 442.112c z z z z i i z z πππ=⎡⎤+⎢⎥===⎢⎥-+⎢⎥⎣⎦⎰(2)原式 12(3):2,1,11,.c z z z c c ===-以分别以为中心，为半径，做圆1222sinsin44.1122c c z zdz dz i i i z z ππ=+=+=--⎰⎰原式 3、将下列函数按()1-z 的幂级数展开，并指明收敛范围。

2z z + ()()()11001211211121121,12233331311,313,3nnn n n n z z z z z z z z ∞∞++==--⎛⎫=-=-⋅⋅=-=+- ⎪-++-⎝⎭---<-<-<-∑∑解：其中，即此为级数的收敛范围。

1. 把()()z z z f -=11展开成在下列区域收敛的罗朗（或泰勒）级数(1) ,11<+z (2) ,211<+<z (3).21>+z (1)；,11<+z()()()()().112121211211121111111110100∑∑∑∞=+∞=∞=+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-=+-⋅++--=-+=-=n nn n nn nz z z z z z z z z z f 解：(2)；,211<+<z()()()().21112121111121112111111111111010100∑∑∑∑∞=+∞=+∞=∞=+++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++=+-⋅++-⋅+=-+=-=n n n n n n n n n z z z z z z z z z z z z z f 解：(7).21>+z()()()().12111211111112111111111111111010100∑∑∑∑∞=+∞=+∞=∞=+-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛++=+-⋅+-++-⋅+=-+=-=n n n n n n nn nz z z z z z z z z z z z z z z f 解：2、计算积分 11sin z dz z z =⎰Ñ解：()zz z f sin 1=的奇点为),2,1,0(Λ±±==n n z π 在01==z z 内只有一个奇点200200020001011sin sin 0()1Re ()limlim ()sin sin sin cos cos cos sin lim lim sin 2sin cos lim 02cos 12Re ()0sin lim lim z z z z z z z z z z zz z z z z f z d d z s f z z dz z z dz z z z z z z z z z z zzz dz i s f z z z π→→→→=→→→==⋅==∴=⎡⎤=⋅=⎢⎥⎣⎦--+=====⎰Q Ñ 为的二阶极点 ＝3．求解定解问题2(0,0)(0,)0,(,)0(0)(,0)sin ,(,0)sin(0)tt xx t u a u x l t u t u l t t x xu x u x x l l lππ-<<>==≥==≤≤=0 解：122221222211(,)()sin()()sin 0()()0()cos sin (,)cos sin sin (,0)sin sin 1,0n n n n n n n n n nn n n n n n x u x t T t ln a n x T t T t l l n a n at n atT t T t T t A B l l l n at n at n x u x t A B l l l n x xu x A A A l l πππππππππππ∞=∞=∞==⎛⎫''+= ⎪⎝⎭''+==+⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦=⋅=⇒==∑∑∑ 1111(1)(,0)sin sin 1,0(1)(,)(cos sin )sinn t n n n n n a n x x a lu x B B B B n l l l l a at l at xu x t l a l lπππππππππ∞=∞=≠=⋅=⇒=⇒==≠∴=+∑∑ 1．试用分离变量法求解定解问题(0,0)(0,),(,)0(0)(,0)0,(,0)0(0)tt xx t u u x l t u t E u l t t u x u x x l -<<>==≥==≤≤=0 其中E 为已知常数。

解(,)(,)(,)(,)(1)(0,)(0,)(0,)(0,)0(1,)(1,)(1,)0(1,)0(,0)(,0)(,0)0(,0)(1)(,0)(,0)(,0tt tt tt tt xx xx xx xxt t t v x t u x t w x t w x t x E v u w u v u w u v t u t w t E u t v t u t w t u t v x u x w x u x x E v x u x w x =+=-=+==+==+=⇒==+=⇒==+=⇒=--=+　　, (0)()0(1)()0)0(,0)0(0,)0,(1,)0(,0)(1)(,0)0(,)()()(,)()()(,)()()0102t tt xxt xx tt X T t X T t u x u u u t u t u x x E u x u x t X x T t u x t X x T t u x t X x T t T X T X X T T XX X T T X λλλ===⇒=====-=''''===''''''''='''' ＝＝－＋＝ （）＋＝ （）｛12121212(0)0,(1)0310()(0)00 X(1)000()02)0()X X x C c e X C C C C e C C X x X x Ax Bλλ===+=⇒=⇒+====+ （））＜ ＋＝ ＝ ＝0B A B =+=　0)(X 0B A =⇒x ＝＝222220()(0)0(1)0()0,0sin 0(1,2,3,)()sin 0()cos sin (,)(cos sin )sin 1,2,3,n n n n n n n X x A B X A X B X x B n n n X x B xT a n T T t C n at D n atu x t C n at D n at n x n λπλππππππππ>=+====≠≠====''+==+=+=L L ＝ (）11(,)(cos sin )sin (,0)sin 00n n n t n n n u x t C n at D n at n xu x n aD n x D πππππ∞=∞==+==⇒=∑∑ 1(,0)sin (1)n n u x C n x x E π∞===-∑1101100102222(1)sin (1)cos 22(1)cos cos 222sin n E C x E n xdx x d n x n E E x n n xdx n n E E E n x n n n πππππππππππ=-=--=--+=-+=-⎰⎰⎰112(,)()cos sin 2(,)()cos sin (1)n n Eu x t n at n x n Ev x t n at n x x E n ππππππ∞=∞==-=-+-∑∑　2．求解定解问题20(0,0)(0,)0,(,)0(0)(,0)(0)t xx u a u x l t u t u l t t u xu x x l l=<<>==≥=≤≤ 解：22212(,)()()(,)()()(,)()()0(1)0(2)(0,)(0)()0(0)0,()0(3)(,)()()01)0,()(0xx t u x t X x T t u x t X x T t u x t X x T t T X T X a X T a T XX X T a T u t X T t X X l u l t X l T t X x C C e X λλλλ'''===''''''===-''='+===⎧==⎨==⎩<=+ ＋ 12121212112121212222)00()000()02)0()0()003)0()sin (0)0,()0()0,0,sin 0(1,2,3,)C C X l C C e C C X x X x C x C C C C X x C C X x C C X C X l C X x C n n n λλππλ=⇒+==⇒+=≡==+=⎫⇒=≡⎬+=⎭>=+====≠≠====L ＝＝ , 2222222222222211()sin ()()0()(,)sin(,0)sin n a tl n n n n n a tl n n n n ln xX x C l n aT t T t T t A e ln xu x t A el u n x u x A xl l ππππππ-∞-=∞=='+=====∑∑ 22220020000001100002210122sin cos 22cos cos 222(1)sin (1)2(,)(1)sinl l n l l n l n n a tn l n u u n x l n xA x dx xd l l l l n l u u n x n x x dx n l l n l lu u u n x n n l n un x u x t en lππππππππππππππ++∞-+===-⋅=-+=-+=-=-⎰⎰⎰∑3．有一两端无界的枢轴，其初始温度为1(1)(,0)0(1)x u x x ⎧<⎪=⎨≥⎪⎩ 试求在枢轴上的温度分布为222sin (,)(cos )a t u x t x e d μμμμπμ∞-=⎰解：定解问题为21(1)(,0)()0(1)t xx u a u x u x x x ϕ=⎧<⎪==⎨≥⎪⎩ 设 (,)()i x u x t T t e d μμμ∞-∞=⎰2222222211()()()()0()(,)C()1(1)(,0)()0(1)11()(,0)22112()i xa t a t i x i i i i T t a T t e T t a T t T t Ce u x t e e d x u x x x C u x e d e d e e i μμμμμμμμμμξμξμμμμμμϕμξξπππμ∞-∞-∞--∞∞---∞--'⎡⎤+⎣⎦'+==∴=⎧<⎪==⎨≥⎪⎩==⎡=⋅-⎣-⎰⎰⎰⎰ 利用初始条件 得　222201sin 1sin 2sin (,)(cos )a t i x a t u x t e e d x e d μμμμπμμμμμμπμπμ∞∞---∞⎤=⋅⎦∴==⎰⎰4. 复数231i -的三角形式为3,3sin 3cos πππi e i --5．复数5cos 5sin ππi +的三角形式为103,103sin 103cos πππi e i +，其指数形式为6. 复数的实部u =，虚部v =，模r =，幅角θ=.1,2u v ==，1,2(0,1,2,)3r k k πθπ==+=±±L7. 复数22i +-的实部=u ，虚部=v ，模=r ，幅角=θ . 2,2=-=v u ， ),2,1,0(243,2Λ±±=+==k k r ππθ8. 014=--i z 的解为3,2,1,0(,24284==+k ez k ik ππ9、数c x ie x e z f y y ++=cos sin )(10．试证下列函数在z 平面上解析,并分别求其导数.y ie y e z f xx cos sin )(-=证明： y e y x u x sin ),(=， y e y x v xcos ),(-=y e yuy e xux x cos ,sin =∂∂=∂∂， y e yvy e xvx x sin ,cos =∂∂-=∂∂ 平面上解析在平面上可微在平面上连续在z z f z y x v y x u z yv x v y u x u x v y u y v x u )(),(),,(,,,,∴∴∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂-=∂∂∂∂=∂∂∴Θ z x x x ie y y i ie y ie y e xvi x u z f -=+-=-=∂∂+∂∂=')cos sin (cos sin )(4 6. 积分⎰==13cos z zdz z7. 积分=⎰badz z z 2cos )sin (sin 2122a b -积分=⎰10sin zdz z 9．积分=⎰202sin πdz z z10.计算232|2:|,1=-+⎰i z c dz z e c izπe 1 4. 幂级数n n n z ∑∞=121的收敛半径幂级数∑∞=-1)1(n nn z 的收敛半径为幂级数121nz n n =∞∑的收敛半径为幂级数n n n z ∑∞=131的收敛半径为8. 函数zz f -=11)(在2|1|<+z 上展成)1(+z 的泰勒级数为 n n n z )1(2101∑∞=++9．把f z z z ()()()=--123展为展为z 的泰勒级数，并给出收敛半径。