解：热传导方程为： ，稳恒状态下， ，所以 ，即半球内的温
度分布满足Laplace方程。其解有如下的形式：
在球内 时， 应有界，所以
则：
边界条件为：
代入边界条件有：
又
为偶数时， ，所以
所以 只能为奇数。
故：
所以：
8.1-9在均匀电场 中，放一接地的导体球，球的半径为 ，求球外电势分布。
解：以球心为原点，以 方向为极轴方向，取球坐标系，此问题关于极轴是对称的，定解
两项系数。
解：设
式中
当 为偶数时， ，所以有
当 为奇数时，
利用递推公式 有：
＝
时， ，
（或者 ）
时， ，
时， ，
则 即 在点 收敛于 。
8.1-5计算积分 ,其中 为正整数。
解：（1）先计算一般的积分式
利用Rodrigues公式 ，有：
因为：
或：
所以：
故：
（经过 次分部积分得到）
（2）利用上式有：设 ，有：
解：电势分布满足Laplace方程 ，且分布与 无关，具有轴对称性，所以，在球坐
标系下，Laplace方程的表达式为：
边界条件为：
用分离变量法，令 ，代入方程可得：
所以：
在 时，当 时， 应有界，所以
则：
代入边界条件有：
所以：
令 ，则
所以：
因为：
所以： 时，
时，
时，
故：
8.1-8假设半径为 的半球的球面上保持一定温度 ，而半球的底面上保持 ，求稳恒状态下半球里的温度分布。
第八章习题答案
8.1-1证明递推公式：
（1）
（2）
（3）
证明：基本递推公式
①
②
（1）将①式对 求导后可得：
③
由③- ②可得 （目的：消去 ）
整理可得：
（2）将 乘以 得：
④
由③-④得 （目的：消去 ）
整理可得：
（3）由2×③- ×②可得：（目的：消去 ）
整理可得：
8.1-2利用 的生成函数证明：
， ，
证明：设 的生成函数为 ，有
当 时，有
把函数 在 的邻域内Talyor展开有：
所以：
设 ①
即：
所以： ，
由①式对 求导，有 ，考虑到
所以：
整理可得系数之间的关系为：
故：当 为奇数时，
即：
当 为偶数时，
所以：
当 时，
所以：
8.1-3求证：
证明：利用 的Rodrigues公式
（1）当 时，则 ，所以
（2）当 时，有：
所以：
（1）球内空间，要求 时 有界 所以
代入边界条件
令 ，则
所以：
利用上题结论：
当 时，
当 ，且 为奇数时， 为奇函数，所以
故 ，下求
所以，当 时
（2）球外空间，要求 时， 有界，故
代入边界条件有
同样，令 ，有：
当 时，
当 ， 为奇数时， 为奇函数
故
时，
时，
所以，当 时，
结论:当 时，
当 时，
8.1-7 设有一半径为 的金属球面，上、下球面间有微小间隙隔开，上半球面的电势为 ，下半球面电势为0,求球内电势分布。
所以：
对球内问题，有当 时， 应有界，所以有：
即：
代入边界条件有：
比较系数有： ， ，
所以：
所以： ，即
所以：
8.2-3 求解球内问题：
，其中 、 为已知常数。
解：
当 时有：
当 时有：
当 为奇数时， 为奇函数，
故
当 为偶数时，
所以:
结论：
8.1-6某单位球面上电势分布为 ，求单位球内外空间的电势分布。
解：在无电荷的空间中，电势分布满足Laplace方程 ，因为 与 无
关，所以电势分布具有轴对称性，Laplace方程在球坐标下的表达式为：
边界条件为：
用分离变量法，令 ，代入方程可得：
其中 ，下面求
将 展开，有：
上式微分 次后，各项均含有 的因子，故 。
下面求 ，同样，将 展开，有：
将上式微分 次，即：（注： ）
将 代入上式有：
① 为奇数，即 为偶数时， 含有因子 。
②当 为偶数，即 为奇数时， 常数项。
（代入 ）
，得证。
8.1-4将函数 按legendre多项式展开成无穷级数并算出前
④
由③-④得：
⑤
由⑤式乘以 得：
即
即对 也成立，所以原递推关系成立。
8.2-2 在半径为 的球面上电势分布为： ，求球内的电势分布。
解：在无电荷空间，电势满足Laplace方程 ，在球坐标系中的形式为：
令 ，代入上式且分离变量有：
方程（1）为Euler方程，其解为：
方程（2）为谐振动方程，其解为： 方程（3）为缔合勒让德方程，其解为：
问题为：
该定解问题的解为：
代入边界条件 ，有：
所以：
则：
代入第二个边界条件 ，有：
比较两边的系数有：
故：
8.1-10 求解下述定解问题。
解：设 ，代入原方程有：
分离变量有：
对 ，令 ，代入有：
令 ，则上式就是Legendre方程，为：
本征值为 ，本征函数为：
而方程 的解为：
或者：
所以原方程的解为：
代入边界条件 有：
而：
若 ，因为 ，
所以 ，则方程有零解，故 。
所以 ，此时代入 有，
代入初始条件：
8.2-1证明缔合勒让德函数的递推公式：
证明：因为有：
下面用数学归纳法证明
当 时，有 成立。
假设当 时，公式成立，
即有： ①
因为： ，将它代入①式有：
消去 得到：
②Hale Waihona Puke 对②式求导有：③又因为对 有下面的递推关系成立
上式对 求 次导数有：