第三章、函数的应用
一、函数图像的应用
物理规律，大都是运用函数图像，定性、定量进行研究，最后得出物理规律。

函数图像，在物理中，可以说是遍地开花。

它通过数形结合，直观、形象地反映物理过程。

加深人们对物理规律的理解，下面谈谈函数图像的应用。

分析实验数据得出物理规律
在物理实验中，先采取了控制变量法，测出两个物理量的数据，然后，进行数据分析：一种是计算法，另一种是图像法。

而后一种更被人们认可，因为有些实验数据，无法通过计算，得到两个量之间的关系。

只有图像法，以两个量分别为两条坐标轴，建立直角坐标，描点画出图像，就可以通过图像，定性或定量分析它们之间的关系，得出规律。

所以函数图像，在实验数据分析中，起决定作用。

运用函数图像解决物理问题
函数图像，不光是在实验数据分析中，起决定作用，而且在解决物理问题中，化难为易，化复杂为简单，起到事半功倍的作用。

例1、做匀变速直线运动的物体，在某一段时间内，经过中点时刻的速度跟经过中点位置的速度，比较谁大。

分析：假如先设初、未速度，再根据经过中点时刻的速度
v与
1
经过中点位置的速度
v分别跟初、未速度的关系，列方程，
2
然后，运用不等式求解，要大费周折，才能解决。

如果做出速度与时间的图像，一看就知道。

如下图两种情况，显然是中点时刻的速度小于中点位置的速度。

小结：先根据物理规律，做出函数图像，再根据图像性质，判断两个物理量之间的关系，或求出某个物理量。

运用物理规律判断函数图像
例3、矩形导线框abcd固定在匀强磁场中，磁感线的方向与导线框所在平面垂直，规定磁场的正方向垂直低面向里，磁感应强度B随时间变化的规律如图所示.若规定顺时针方向为感应电流I的正方向，下列各图中正确的是
分析：0—1s 。

磁感应强度变化为t B B 0=
根据法拉第电磁感应定律有
00SB t
t SB t B S t E =∆∆=∆∆=∆∆=φ R
SB i 0=(恒量)平行于t 轴，A 错。

电磁通量增大，感应电流电场与原磁场相反。

根据安培定则，感应电流为逆时针方向，应在i 轴负方向。

C 错。

1—3s 同理得感应电流大小为：
R
SB i 0=(恒量)平行于t 轴 1—2s 时，磁通量减小，感应电流磁场方向跟原磁场方向相同。

根据安培定则，感应电流为顺时针方向。

2—3s时，磁场方向改变指低外，磁通量增大，感应电流磁场方向距原磁场方向相反。

根据安培定则，感应电流为顺时针方向。

B错，D对。

正确答案为D。

小结：本类型题，主要是由物理规律，建立函数表达式，根据物理条件，确定函数定义域和值域，以及方向性，再确定图像的正确性。

在运用函数图像时，必须根据物理条件、物理规律，确定函数定义域和值域，以及方向性，把数学转化为物理，才能得到内化，达到新的高度。

二、函数性质的应用
定义域、值域、增减性、最大值、最小值、周期性等等，这些函数性质，如果在物理中运用适当，真是如鱼得水，妙处无穷。

可见正确地引导学生对于哪些物理问题、应该运用哪些对应的函数性质解决，既可以使学生加深对函数性质的理解，又能提高学生应用数学工具解决物理问题的能力。

一、运用定义域，值域求物理问题的取值范围
【例1】（88年高考题）初速度为零的离子经过电势差为U的电场加速后，从离子枪T中水平射出，经过一段路程后进入水平放置的两平行金属板MN和PQ之间。

离子所经
空间存在一磁感应强度为B的匀强磁场
（图1），不考虑重力作用。

离子的荷质
比m
q （q 、m 分别是离子的电量与质量）在什么范围内，离子才能打在金属板上？
分析：离子通过电场加速后进入磁场，在磁场力作用下，做匀速圆周运动发生偏转，假设离子从进入磁场到打在金属板上某一点的水平距离为x,只要建立一个q/m 跟x 的函数表达式，依据题意确定x 是定义域，再根据定义域值域，显然，q/m 得解。

解：当离子经过电场加速后有
mv²/2=qU （1）
在磁场中受到洛仑兹力作用，做匀速圆周运动得
R
mv Bvq 2
= (2) 当离子打在金属板上时，根据几何关系有： 2
222 ⎝⎛⎪⎭⎫-+=d R x R （3） 联立（1）、（2）、（3）解得
⎝
⎛⎪⎭⎫+=22222B d x Ud m q (4) (4)式就是q/m 跟x 的一个函数表达式。

依题意离子能打在金属板上，则x 的定义域为
d ≤x ≤2d （5）
由（4）、（5）解得的值域为 2
2253228932dB U m q dB U ≤≤ 小结：已知一个物理量的取值范围，确定另一个物理量的取值范
围，可利用函数的定义域，值域求解。

二、 运用增减性求物理问题的变量
【例2】(93年高考题)如图2，电子在电
势差1U 的加速电场中由静止开始运动，然后
射入电势差2U 的两块平行极板间的电场中，
入射方向跟极板平行，整个装置处在真空中，
重力可忽略，在满足电子能射出平行板区的条
件下，下述四种情况中，一定能使电子的偏转角θ变大的是（ ）
A 、1U 变大，2U 变大；
B 、1U 变小，2U 变大；
C 、1U 变大，2U 变小；
D 、1U 变小，2U 变小。

分析：当电子加速后，进入水平放置的两块平行极板间受到电场力作用发生偏转，只要建立一个θ跟1U 、2U 的函数表达式，通过讨
论函数的增减性，就可知道θ变大原因。

解：设两平行极板之间的距离为d,长度为L ，电子在1U 电场中加
速后速度为
e U mv 1202
1= 即m e U /210=ν
电子从进入到射出平行极板所用时间为
e U m L L t 202//==ν
加速度为a ，由
ma e d U =2，得a =md
e U 2 刚射出平行极板时，跟电场方向平行的速度大小为
e U m md
e LU at t 122/==ν 偏转角度为θ，有
d U LU tg t 1202==ννθ，即d
U LU arctg 122=θ 这是一个θ，跟1U 、2U 的函数表达式。

讨论：根据物理条件0°≤θ≤90°，
当1U 不变时，上式为增函数，故2U ↑，θ↑；
当2U 不变时，上式是减函数，则1U ↓，θ↑。

显然B 为正确答案。

小结：已知某一个（或n 个）物理量的变化，讨论另一个物理量的变化，可以运用函数的增减性求解。

三、 运用最大值、最小值求物理问题的极值
【例3】如图3所示，光滑斜面
与水平面夹角是α。

在斜面上放一个
质量为m 圆球，再用光滑平板A 挡
住。

现在缓慢地改变板A 与斜面的夹
角θ,当θ=____时，A 板对球的作用力
最小，最小力为____。

分析：如图3可知圆球受到三个力作用，重力mg ，斜面对它的支持力1N ，挡板对它的压力2N 。

以竖直方向为纵坐标轴，水平方向
为横坐标轴，原点在球心，建立直角坐标系。

分别将1N 、2N 分解在x 轴、y 轴上，根据平衡条件，确定2N 跟θ的函数表达式，球函数的
极值问题，就得其解。

解：如图3知
在x 轴上)(θαα+N =N sin sin 21（1）
在y 轴上)(θαα+N +=N cos cos 21mg （2）
由（1）、（2）得 ))((θ
αθαθααsin sin cos sin 2mg ctg mg =+-+=N 由于为mgsin α恒量，这是一个2N 跟θ的函数关系式。

根据物理
条件α<θ<180°，当θ=90°时，sin θ=1最大值，故2N 有最小值 2N =mgsin α。

本题答案应为θ=90°；2N =mgsin α。

小结：已知某一物理量的变化，引起另一个物理量取最大或最小值问题，可以运用函数最大值、最小值求解。

四、 运用周期性求物理问题的重复运动
【例4】如图4所示，两根长度都为L 的细线悬挂一小球A ，绳与水平方向夹角为α，使Ａ球垂直于纸面作
摆角小于5°的摆动，当它经过平衡位置瞬
间，有另一小球B,从A 球的正上方自由落
下，并击中A 球，则B 球距A 球的距离是
______。

分析：B 小球做自由落体运动，A 小球做单摆振动，只有A 小球
运动到平衡位置时，同时B 小球也下落到达此位置，才能击中。

由于A 小球振动到平衡位置是周期性出现的，故所用的可能时间为2
nT
（n=1，2，3…），与B 下落时间相等，再根据自由落体运动的位移公式求解。

解：A 小球摆长为αsin L
振动周期为g
L T απsin 2= 振动到平衡位置的时间是
g
L n nT t απsin 2==（n=1，2，3…） B 小球下落的距离为
απsin 2121222L n gt S ==（n=1，2，3…）
小结：关于振动或者波动问题，一般运用函数周期性分析。