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大学物理第3章刚体的定轴转动精品文档36页
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讨论 当不计滑轮质量和摩擦力矩时:
m = 0, Mf = 0 ,
【例6】长为 l、质量为 m 的匀质细杆,绕细杆一端轴 转动,求转动惯量 J。
【解】J x2dm
l x2 m dx 1 ml 2
0l
3
x o x dx
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计算转动惯量J 的三条有用的定理
(1)叠加定理: 对同一转轴 J 有可叠加性
J Ji
(2)平行轴定理:
JAJc md2
所以 Jc 总是最小的。
这章学习方法: 对比法(对比质点力学) 刚体-----形状与大小都不变的物体(理想模型)
刚体是一个特殊的质点系 -----质点之间的距离与相对位置都保持不变
§3.1 刚体定轴转动的描述
3.1.1 刚体的运动
1. 平动 2. 转动
定轴转动 定点转动(有瞬时轴)
1
3.1.2 刚体的角量描述
刚体作定轴转动时, 刚体上各质点都作圆周运动。 各质点运动的线量一般不同,但角量完全相同。
mR
轴上的摩擦力矩为 Mf(设绳轻,且 不伸长,与滑轮无相对滑动)。
求:物体的加速度及绳中张力。
m1
m2 【解】分别对m1, m2, m分析
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因绳不伸长,有 a1= a2= a
因绳轻,有 T1T1,T2T2
对m1有 T1- m1g - = m1 a ----(1) 对 m2有 m2g - T2= m2 a ----(2)
JC
JA
dm C
平行
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(3)垂直轴定理:(对薄平板刚体) z
r2d m x 2 y 2d m
xi
Jz JxJy
x
O
ri
Δ
m
i
yi
y
【例7】求对薄圆盘的一条直径的转动惯量
Jz
1 2
mR2
Jx
Jy
Jz
1 2
m R2
Jx
Jy
1 4
m R2
z
x0r y y x
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【例8】 计算钟摆的转动惯量(已知:摆锤质量为m, 半径为r,摆杆质量也为m,长度为2r)。
1.角坐标
OP与极轴之间的夹角称 为角坐标(或角位置)
角坐标为标量,但可有正负。
o
P
x
在定轴转动过程中,角坐标是时间的函数: =(t),称为转动方程。
2
2.角位移
角坐标的增量 称为刚体的角位移
3.角速度 平均角速度 ω
t
角速度 lim d
t0 t d t
角速度方向:满足右手定则,沿 刚体转动方向右旋大拇量
J (miri2)
刚体的转动惯量与刚体的形状、大小、质 量的分布以及转轴的位置有关。
对于质量连续分布的刚体
J r2dm r2dV
V
V
J r2dm r2dS (面质量分布)
S
S
J r2dm r2dl (线质量分布)
L
L
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【例2】半径为 R 质量为 M 的圆环,绕垂直于圆环平 面的质心轴转动,求转动惯量J。
对所有质元求和,得到
F ir i tf ir t iΔ i a ir i t m ( Δ ir i 2 ) m
左边第一项表示合外力矩,记作M。
左边第二项表示内力矩之和,等于零。
(miri2)只与刚体的质量和质量相对转轴的分布
有关,称为刚体对轴的转动惯量,记作J。 则上式可简写成
MJ 刚体定轴转动定律
at
dv dt
r d r
dt
an
v2 r
( r )2
r
r2
p
s
p
o
rx
5
§3.2 刚体定轴转动定律
3.2.1 刚体定轴转动定律 1.力对转轴的矩 力对固定点的矩 M rF
力对固定轴的矩
把力分解为平行于转轴的分 量和垂直于转轴的分量。
平行转轴的力不产生转动效 果,对轴的矩为零。
MrF
ω
3
4.角加速度
平均角加速度
t
角加速度
lim d
t0 t d t
d 2 dt2
角速度和角加速度都是矢量,但对于定轴转动的刚 体,角速度和角加速度的方向只有两个,我们用正 负表示角速度和角加速度的方向。
4
5.角量与线量的关系
路程与角位移的关系 sr
线速度与角速度的关系 vr
圆周运动时加速度与角量的关系
【解】 dm2πrdr
J r2dm 2πr3dr
J2π Rr3dr 0
πR4
1mR2
22
o r dr R
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【例5】长为 l、质量为 m 的匀质细杆,绕与杆垂直的 质心轴转动,求转动惯量 J。
【解】建立坐标系,分割质量元
J x2dm
l2 l 2
x2
ml dx
1 ml 2 12
x o x dx
【解】 摆杆转动惯量:
J1
1m2r2
3
4m2r 3
摆锤转动惯量:
O r
J2J Cm2 d 2 1m 2 r m 3 r21 2m 92 r
JJ1J24 3m2 r1 2m 92 r6 6m 52r
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3.2.3 刚体定轴转动定律的应用
【例8】已知:两物体 m1、m2(m2 m1 ) 滑轮 m、R, 可看成质量均匀的圆盘,
【解】分割质量元,环上各质元到轴的距离相等。
M
J
R2dm R2
M
dm
MR2
0
0
【例3】在无质轻杆的 b 处 3b 处各系质量为 2m 和 m 的质点,可绕 O轴转动,求质点系的转动惯量J。
2
【解】 J miri2 2m2bm(3b)2 11mb2 i 1
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【例4】一质量为m,半径为R的均匀圆盘,求对通过 盘中心并与盘面垂直的轴的转动惯量。
M
O r
F
d
Pr
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【例1】一匀质细杆,长为 l 质量为 m ,在摩擦系数
为 的水平桌面上转动,求摩擦力的力矩 M阻。
【解】杆上各质元均受摩擦力作用,各质元所受的 摩擦阻力矩不同。
细杆的质量密度 m
l
质元质量 dmdx
质元受阻力矩
o
xl dm m dx
x
dM阻dmgx
细杆受的阻力矩
M阻
dM阻
N
M
T1
f
R T 2
mg
对滑轮 m 由转动方程
T 2RT 1RM f J1 2m2 R---(3)
T a1
1
再从运动学关系上有
m1g
aat R ---- (4)
联立四式解得:
T2 a2
m2g
18
a
m2
m1
g
Mf R
m1
m2
1 2
m
T1 m1ga2m2m1m 2m m21gm 2m1R Mf
T2 m2ga2m1mm 12m m22gm 2m2R Mf
l 0
gxdx
1 2
gl 2
1 2
m gl
7
2. 刚体定轴转动定律 考虑刚体上某一质元 ,其受力如图所示。对质元应 用牛顿第二定律:
F ifi m iai 法向分力的力矩为零,对切向力有
FitfitΔm iait
F ir tifir ti m iair ti
8
F ir tifir ti m iair ti