§8.5多元复合函数微分法复习：一元复合函数的求导法则设)]([x f y ϕ=是由)(u f y =和)(x u ϕ=复合而成，则)()(x u f dxdudu dy dx dy ϕ'⋅'=⋅=。

8.5.1全导数定理1 若函数)(x u ϕ=及)(x v ψ=都在点x 可导，函数)v ,u (f z =在对应点)v ,u ( 处可微，则复合函数)](),([x x f z ψϕ=在点x 可导，且xd vd v z x d u d u z dx z d ⋅∂∂+⋅∂∂=（全导数公式）。

① 证明：给x 以增量x ∆，则u 、v 得相应的增量u ∆、v ∆， 从而)v ,u (f z =有全增量) ,() ,(v u f v v u u f z -∆+∆+=∆， ∵)v ,u (f z =在)v ,u (处可微，∴)(ρ+∆∂∂+∆∂∂=∆o v vz u u z z ，其中22)()(v u ∆+∆=ρ。

∵)(x u ϕ=、)(x v ψ=都在点x 可导， ∴)(x u ϕ=、)(x v ψ=都在点x 必连续，即当0→∆x 时，0→∆u ，0→∆v ，从而0lim 0=ρ→∆x 。

∵xo x v v z x u u z x z ∆ρ+∆∆∂∂+∆∆∂∂=∆∆)(， 而x o o x x ∆ρ⋅ρρ=ρρ→∆→∆)(lim )(lim00])()([lim )(lim 2200x vx u o x x ∆∆+∆∆±⋅ρρ=→∆→∆0])()([022=+±⋅=dxdvdx du ， ∴ x o x v v z x u u z x z x x x x ∆ρ+∆∆∂∂+∆∆∂∂=∆∆→∆→∆→∆→∆)(lim )(lim )(lim lim 0000，即xd vd v z x d u d u z dx z d ⋅∂∂+⋅∂∂=。

全导数公式可形象地表示为 ，“按线相乘，分线相加”。

可把定理1推广到复合函数的中间变量多于两个的情形。

例如：),,(w v u f z =，而)( ,)( ),(x w w x v v x u u ===，则 )](),(),([x w x v x u f z =， dxdww z dx dv v z dx du u z dx dz ∂∂+∂∂+∂∂=。

例1．已知x uv z arctan +=，而x e u =，x v cos =，求dxdz 。

解法1：x zdx dv v z dx du u z dx dz ∂∂+∂∂+∂∂=211)sin (xx u ve x ++-+= 211)sin (cos xx x e x ++-=。

解法2： x x e z x arctan cos +=，211)sin (cos xx x e dx dz x ++-=。

定理1还可以推广到中间变量不是一元函数而是多元函数的情况。

8.5.2复合函数的微分法 一、复合函数的微分法定理2 设)v ,u (f z =，而),( ),,(y x v y x u ψ=ϕ=。

若),( ),,(y x v y x u ψ=ϕ=在点),(y x 处偏导数都存在，而)v ,u (f z =在相应点),(v u 可微，则复合函数)],(,),([y x y x f z ψϕ=在点),(y x 处存在偏导数，且 xvv z x u u z x z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂，yvv z y u u z y z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂。

uvzxy x yu vz xx类似地，)w ,v ,u (f z =，而),(),,(),,(y x t t y x v v y x u u ===， 则)],(,),(,),([y x t y x v y x u f z =，x t t z x vv z x u u z x z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂，yt t z y v v z y u u z y z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂。

在复合函数的求导过程中，如果出现某一函数的中间变量是一元函数，则涉及它的偏导数的记号应改为一元函数的导数记号。

例如：设)v ,u (f z =，)(),(x v y x u ψ=ϕ=和，则)](),,([x y x f z ψϕ=，x d vd v z x u u z x z ⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂，yuu z y z ∂∂⋅∂∂=∂∂。

如果),,, (y x u f z =，),(y x u ϕ=，则],,, ),([y x y x f z ϕ=xfx u u f x z ∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂ yfy u u f y z ∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂注意：这里x z ∂∂与x f ∂∂是不同的，xz ∂∂是把复合函数],,, ),([y x y x f z ϕ=中的y 看作 不变而对x 的偏导数，xf∂∂是把),,(y x u f 中的y u ,看作不变而对x 的偏导数。

yz ∂∂与y f∂∂也有类似的区别。

例2．设v e z usin =，而xy u 2=，y x v +=2，uvtzxy xy y x uvx xzyuvzxy x ux xzyy求xz ∂∂，y z ∂∂。

解：xv v z x u u z x z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂ )cos sin (22cos 2sin v x v y e x v e y v e u u u +=⋅+⋅= )]cos()sin([2222y x x y x y e xy +++=；yvv z y u u z y z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂ )cos sin 2(cos 2sin v v x e v e x v e u u u +=+⋅= )]cos()sin(2[222y x y x x e xy +++=。

例3.设)(u xF xy z +=，而xyu =，)(u F 为可导函数，证明：xy z y z y x z x +=∂∂+∂∂。

证明：)()()()(u F x yu F y x u u F x u F y x z '-+=∂∂'++=∂∂，)()(u F x yuu F x x y z '+=∂∂'+=∂∂， xy z u F y xy u F y u xF xy yzy x z x +='++'-+=∂∂+∂∂)()()(。

例4．设222),,(z y xe z y xf u ++==，y x z sin 2=，求x u ∂∂和yu ∂∂。

解：xz z f x f x u ∂∂⋅∂∂+∂∂=∂∂ y x ze xe zy xz y x sin 222222222⋅+=++++)sin 21(2)sin 21(222sin 2422222y x xe y z xe yx y xzy x+=+=++++.x yuzxyyzz f y f y u ∂∂⋅∂∂+∂∂=∂∂ y x ze ye z y xz y x cos 222222222⋅+=++++)cos sin (2)cos (24sin 22422222y y x y ey zx y e yx y x z y x +=+=++++.例5．设) ,(2xy y x f z -=，f 有二阶连续偏导数，求x z ∂∂，22xz ∂∂，y x z∂∂∂2。

解：设y x u -=，2xy v =，则) v ,(u f z =v u v u f y f xvf x u f x z 2+=∂∂+∂∂=∂∂， x f y x f f y f x x zv u v u ∂∂+∂∂=+∂∂=∂∂2222)()(2xvf x u f y x v f x u f vv vu uv uu ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=)(222vv vu uv uu f y f y f y f +++=vv uv uu f y f y f 422++=。

v v u v u yf y f y y f f y f y y x z 2)(222+∂∂+∂∂=+∂∂=∂∂∂ v vv vu uv uuyf yvf y u f y y v f y u f 2][2+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂= v vv vu uv uu yf xy f f y xy f f 2]2)1([22+⋅+-+⋅+-= v vv uv uu yf f xy f y xy f 22)2(32++-+-=。

例6．设) ,(xyz z y x f w ++=，f 具有二阶连续偏导数，求xw∂∂及z x w ∂∂∂2。

解: 以1、2分别表示z y x ++、xyz两个中间变量，函数的复合关系图如右： x f2 y zx yz1 uvu fxyxyuvv fxyxyuvfx yxy21yzf f xw+=∂∂， zf yz yf z f yzf f z z x w ∂∂++∂∂=+∂∂=∂∂∂221212)(，1211111xyf f z vv f z u u f z f +=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂，2221222xyf f zvv f z u u f z f +=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂， 故22221212112zf xy yzf yf xyf f zx w++++=∂∂∂22221211)(yf zf xy f z x y f ++++=. 例7．设),(3x y xy f x z =，f 具有连续的二阶偏导数，求y z ∂∂，22yz ∂∂，y x z∂∂∂2。

解：2214213)1(f x f x xf x f x y z +=⋅+⋅=∂∂，221231152221212114222)1()1(xf f x f x x f x f x x f x f x y z++=⋅+⋅+⋅+⋅=∂∂，)]([4212114132xyf y f x f x y x z -⋅+⋅+=∂∂∂ )]([22222122x y f y f x xf -⋅+⋅++ 2211421324yf yf x xf f x -++=。

二、全微分形式不变性设) ,(v u f z =可微， （1）若v u ,是自变量，则dv vzdu u z dz ∂∂+∂∂=。

（2）若v u ,是中间变量，即) ,(v u f z =，),(y x u ϕ=，),(y x v ψ=， 则复合函数)] ,(), ,([y x y x f z ψϕ=的全微分为 dy y z dx x z dz ∂∂+∂∂=dy yvv z y u u z dx x v v z x u u z )()(∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂= x1fzxy z1 2)()(dy y v dx x v v z dy y u dx x u u z ∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂∂∂=dv vz du u z ∂∂+∂∂=。