一个 m 元函数
( x1 ,, xn ) 处均可导, 且 u f (v1 ,, vm ) 在
对应点 (v1 ,, vm ) 可微, 则复合函数
一个 n 元函数
u f (1 ( x1 ,, xn ), , m ( x1 ,, xn ))
在点 ( x1 ,, xn ) 处可导, 且
z z u z f u f y u y y u y y
微积分
例
设 z e sinv , u x 2 y 2 , v x y ,
u
z z , . 求 x y
z z u z v x u x v x
微积分
例
设 z f ( x 2 y 2 , cos xy) , x r cos ,
z 。 y r sin , 其中 f C , 求 r
1
解
令u x y , v cos xy ,
2 2
z
u v
x
y
r

则 z f (u , v ) ,
z z u x z u y z v x z v y r u x r u y r v x r v y r
z z 求 , . x y
u
z
v w
x
y
微积分
将 y 看成常数
z u z v z w z x u x v x w x
将 x 看成常数
z z u z v z w y u y v y w y
分别将 x , y 看成常数, 按全导数公式求导, 而在 具体运算时, 实质上又是求多元函数的偏导数.
微积分
多元复合函数微分法
一. 全 导 数
多元函数经复合运算后, 一般仍 是多元函数, 但也可能成为一元函数.
按前面关于多元函数的讨论方法, 复
合函数求导法则的研究可从复合后成
为一元函数的情况开始.
这就是全导数问题.
微积分
例
解
dz 设 z x y , x a sin t , y b cos t , 求 . dt
o(|| v ||) 0 ？ x
由一元函数书导数定义 ，取x 0 的极限：
微积分
由 vi i ( x) 可导，所以连续，从而 x 0 时
vi 0 , 即有 || v || 0 , 于是
o(|| v ||) o(|| v ||) || v || lim lim x 0 x 0 || v || x x
xy ) 3
x y
微积分
例
z 设 z f (x y , e ), 求 。 x
2 2 xy
解
z
1
x
y
2
z y
自 己 做
z ( x 2 y 2 ) (e xy ) f1 f 2 x x x
2 x f1 ye f 2
xy
z xy 2 y f1 x e f 2 y
微积分
定理(全导数公式)
设函数 u f (v1 ,, vm ) , vi i ( x) ( i 1,, m) 可复合为
u f (1 ( x ),, m ( x )) .
若 i ( x) 在点x 处可微 , 函数 f (v1 ,, vm ) 在相应于 x 的点
(v1 ,, vm ) 处可微, 则复合函数 u f (1 ( x),, m ( x)) 在点x 处
y
x
y
x
yx
x
y 1
x ln x cos x
y
sin x
sin x cos x ln x x
微积分
例
设以下函数满足定理的条件,
写出二元和三元函数的全导数公式:
z f ( x , y ) , x x ( t ) , y y( t ) ;
u f ( x , y , z ) , x x ( t ) , y y( t ) , z z ( t ) ;
m u vi u x j i 1 vi x j
( j 1, 2,, n)
微积分
例
设 z f (u , x , y) , u u( x, y) 满足 定理的条件, 则有 z f (u( x, y) , x , y)
z
u x
y
x
y
z z u z f u f x u x x u x x
z z ( y cos x sin ) sin xy 2( x cos y sin ) u v
微积分
例
设函数 z f ( x, u, v ) ,v ( x, y, u) , z z u g( x, y ) 均可微, 求 , . x y
为什么取 绝对值 ?
o(||v ||) lim lim || v || 0 || v || x 0
v i i 1 x
m
2
0.
|| v || v v
2 1 2 m
定理获证
微积分
例
设 zx
sin x
dz ,求 dx
解
令 z x , y sinx ,则 d z z z d y z d x x y d x
参考书
[1]赵树嫄. 微积分. 中国人民出版社 [2]同济大学. 高等数学. 高等教育出版社
微积分
第八章 多元函数
• • • • • • • • • 空间解析几何简介 多元函数的概念 二元函数的极限与连续 偏导数 全微分 复合函数的微分法 隐函数的微分法 二元函数的极值 二重积分
微积分
8-6 复合函数的 微分法
u f ( x , y , z ) , y y( x ) , z z ( x ) .
请同学自己写
微积分
开始对答案
z f ( x , y ) , x x ( t ) , y y( t ) ;
dz z dx z d y dt x dt y dt
z
x
y
t
u f ( x , y , z ) , x x ( t ) , y y( t ) , z z ( t ) ;
z
u v
x
y
解
e u sinv 2 x 2 y e u cosv (1)
e
x2 y2
( 2 x y sin(x y) cos(x y) )
2
微积分
例
设 z F ( x, y) 0 e d t ( x 0 , y 0 )
t 3
xy
z z , . 求 x y
m u vi u x j i 1 vi x j
( j 1, 2,, n)
微积分
定理
m 个 n 元函数
设 vi i ( x1 ,, xn ) (i 1, 2, , m) 在点
一个 m 元函数
在 ( x1 ,, xn ) 处均可导, 且 u f (v1 ,, vm ) : 该定理可视为全导数定理的推广
z
u v
x
y
解
e u sinv 2 xy2 e u cosv 1
e
x2 y2
( 2 xy sin(x y) cos(x y) )
2
微积分
例
设 z e sinv , u x 2 y 2 , v x y ,
u
z z , . 求 x y
z z u z v y u y v y
du u d x u d y udz u dt x dt y dt z dt
x
y
z
t
微积分
u f ( x , y , z ) , y y( x ) , z z ( x ) .
du u u d y u dz dx x ydx z dx
解
x u v

g
x
y
z f f g x x u x
z
x
y
f g v x u x
u
x
y
g
微积分
例
设函数 z f ( x, u, v) , v ( x, y, u) ,
微积分
从上面的作法可以看出, 将复合的多元函 数中其余的变量看成常数, 对某一个变量运用
全导数公式求导, 在具体求导过程中实质上是 求函数偏导数.
你能由此得出多元复合函数 的求导法则吗 ?
微积分
定理
m 个 n 元函数
设 vi i ( x1 ,, xn ) (i 1, 2, , m) 在点
( i 1 , , m )
由
u f (v1 ,, vm ) 的可微性有
u u vi o(||v ||) i 1 v i
m
从而
u m u vi o(||v ||) x i 1 v i x x
u du x dx
v i d vi x dx
可导 , 且
du u d v i . d x i 1 v i d x
m
微积分
全导数公式图示
v1 v2
u
+
vi

x
ห้องสมุดไป่ตู้
vm

d u m u d vi d x i 1 vi d x
现在证明定理
微积分
证
给 x 以增量x，相应地有
vi i ( x x) i ( x)
2 2
d z z d x z d y d t x d t y d t