平面向量题型归纳题型一 平面向量的线性运算例 1：记 N ᰰᰰ ᰰ，y ＝ ᰰt ᰰ ≤ y t N i !{ᰰ，y }＝ y t ᰰ ≤ y设 a t b 为平面向量，则()yt ᰰ ݔ y ᰰt ᰰ ݔ yA ．N i !{ a + b t |a －b |} ≤ N i !{ a t |b |}B ．N i !{ a + b t |a －b |} ≤ N i !{ a t |b |}C ．N ᰰᰰa +b 2t a －b 2≤ a 2 + b 2D ．N ᰰᰰa +b 2t a －b 2≤a 2 +b 2【答案】：D【解析】方法一：对于平面向量 a t b t |a + b |与|a －b |表示以 a t b 为邻边的平行四边形的两条对角线的长度，而根据平面几何知识可得，平行四边形两对角线长度的较小者与相邻两边长度的较小者，没有确定的大小关系，故选项A ，B 均错；又 a + b t |a －b |中的较大者与 a t |b |一定构成非锐角三角形的三条边，由余弦定理知，必有 N ᰰᰰ a + b 2t a －b2≤ a 2 + b 2 ,故选项 D 正确，选项 C 错误．方法二：若 a t b 同向，令 a ＝2t |b |＝3，这时|a + b |＝5，|a －b |＝1，N i !{|a + b |，|a －b |}＝1，N i !{|a |，|b |}＝2；若令|a |＝2，|b |＝6，这时 a + b＝8t a －b ＝4t N i !{ a + b t |a －b |}＝4 ， 而 N i !{ a t |b |}＝2 ， 显然对任意 a t b ， N i !{|a + b |，|a －b |} 与N i !{ a t |b |}的大小关系不确定， 即选项 A 、B 均错． 同理， 若 a t b 同向， 取|a |＝1t |b |＝2， 则 a + b＝3t |a －b |＝1，这时 N ᰰᰰa +b 2t a －b 2= ⸹，而 a 2+b 2 ＝5，不可能有 N ᰰᰰ a + b 2t a －b 2≤a 2 +b 2，故选 C 项错．【易错点】平面向量加减法线性运算性质。

【思维点拨】解题的关键是结合向量模的几何意义，加减运算的几何意义，通过图形分析得到正确选项； 也可从选择题的特点入手，通过对 a t b 特殊化，从而得到 a + b t |a －b |的值，通过比较大小关系排除错误选项，得出正确答案．题型二 共线向量定理、平面向量基本定理的应用例 1.O A B C 中,A B 边的高为 C ⻿,若¯C ¯¯B ¯˙＝a t ¯C ¯¯A ˙＝b t a ·b ＝O t a ＝1t b ＝2t 则¯A ¯¯⻿¯˙＝( ) A.1 a －1bB.2 a －2bC.3 a －3bD.4 a －4b33335555【答案】 D【解析】方法一： a ·b ＝0t ᰰA C B ＝⸹0°t A B ＝ 5t C ⻿＝ 2 5 .5B ⻿＝ 5t A ⻿＝4 5t A ⻿ : B ⻿＝4 : 1. ¯A ¯¯⻿¯˙＝4 ¯A ¯¯B ¯˙＝4 (¯C ¯¯B ¯˙ — ¯C ¯¯A ˙)＝ 4 a －4b .2方法二：如图,以 C 为原点，C A t C B 所在直线分别为 ᰰ 轴、y 轴建立平面直角坐标系．由已知得A 2t 0 tB 0，1 .又因为 C ⻿T AB ，所以可求得⻿( 2 t 4 ),于是¯A ¯⻿¯˙＝( — 8 t 4 ),而 a ＝ 0t1 tb ＝(2t0),若设¯A ¯⻿¯˙＝ᰰa + yb ，则有 5 55 52y =— 8 ᰰ = 4 5即 5 ,故¯A ¯⻿¯˙＝ 4 a －4 b.ᰰ = 4 5 y =—4 5 5 5【易错点】平面向量加减法线性运算性质,平面向量的坐标表示；【思维点拨】根据题设条件确定出 A 、B 、⻿三点坐标，再利用三点共线的性质即可解决.例 2. 若点 M 是∆A B C 所在平面内一点,且满足: 设¯A ¯¯M ¯˙＝ 3¯A ¯¯B ¯˙ + 1 ¯A ¯¯C˙. 44（1） 求∆ABM 与∆ABC 的面积之比.（2） 若 N 为 A B 中点,A M 与 C N 交于点 0,设B ¯¯¯⻿¯˙ = ᰰ¯B ¯¯M ¯˙ + y B ¯¯¯N ¯˙,求 ᰰt y 的值. 【答案】 见解析；【解析】（1）由¯A ¯¯M ¯˙＝ 3¯A ¯¯B ¯˙ + 1 ¯A ¯¯C ˙可知 M 、B 、C 三点共线44如图令¯B ¯¯M ¯˙ = h ¯B ¯¯C ¯˙ ‹ ¯A ¯¯M ¯˙ = A ¯¯¯B ¯˙ + B ¯¯¯M ¯˙ = A ¯¯¯B ¯˙ + h ¯B ¯¯C ¯˙ = ¯A ¯¯B ¯˙ + h ¯A ¯¯C ˙ — ¯A ¯¯B ¯˙h = 1 ; S ∆ABM = 1.即面积之比为 1：4= 1 — h ¯A ¯¯B ¯˙ + h ¯A ¯¯C ˙； 4 S ∆ABC4（2）由B ¯¯¯0¯˙ = ᰰ¯B ¯¯M ¯˙ + y ¯B ¯¯N ¯˙ ‹ ¯B ¯¯0¯˙ = ᰰB ¯¯¯M ¯˙ + y B ¯¯¯A ¯˙ = ¯B ¯¯0¯˙ = ᰰ ¯B ¯¯M ¯˙ + y ¯B ¯¯N¯˙; 24ᰰ + y = 1ᰰ = 4由 0、M 、A 三点共线及 0、N 、C 三点共线‹ᰰ + y = 1 ‹ 47. y = 67【易错点】面积比值与线段比值的关系，三点共线的性质；【思维点拨】.利用共线性质得出 AB 与 AC 的线段长度之比，即可得到面积之比； 第二问中利用 0、M 、A 三点共线及 0、N 、C 三点共线性质进行解决即可；例3.设双曲线ᰰ2— y 2= 1(ᰰ 及 b 及 0)的右焦点为F ,过点F 与ᰰ 轴垂直的直线l 交两渐近线于A.B 两点,与双曲ᰰ2b 2线的其中一个交点为 P ,设坐标原点为 0,若¯0¯¯P ¯˙ = N ¯0¯¯A ¯˙ + !¯0¯¯B ¯˙(N t ! C R ),且 N ! = 2,则该双曲线的渐近线为⸹（）A ．y =± 3 ᰰB ．y =± 2 ᰰC ．y =± 1 ᰰD ．y =± 1 ᰰ4423【答案】B【解析】由题意可知 A (c t b c )t B (c t — b c ),代入¯0¯¯P ¯˙ = N ¯0¯¯A ¯˙ + !0¯¯¯B ¯˙，得 P ((N + !)c t (N — !) b c ),代入双曲线方程ᰰᰰᰰ中,整理的 4e 2N ! = 1；又因为 N ! = 2,可得 e = 3 2 t b = e 2 — 1 = 2,所以该双曲线的渐近线为 y =± 2 ᰰ，故 B 为正确答案.⸹ 4 ᰰ 4 4【易错点】A 、B 、P 三点坐标的确定，离心率的概念。

【思维点拨】解析几何中基本量的计算要注意方程思想的应用和运算的准确性. 题型三 平面向量数量积的概念与计算例 1.如图,正六边形 A B C ⻿砀F 的边长为 1,则A ¯¯¯⻿¯˙ ∙ ⻿¯¯¯B ¯˙＝（ ） A. 3B.— 3C.3D.— 3【答案】 D【解析】根据正六边形性质,有ᰰA ⻿B ＝30°,于是向量¯A ¯¯⻿¯˙与¯⻿¯¯B ¯˙所成角为 150°;且 ¯A ¯ ⻿¯˙ = 2t ¯|¯⻿¯¯B ¯˙| = 3,所以¯A ¯¯⻿¯˙ ∙ ⻿¯¯¯B ¯˙ = |A ¯¯¯⻿¯˙| ∙¯⻿¯¯B ¯˙ c 쳌䁠150°＝2 × 3 × — =— 3,选 D ．【易错点】正六边形的性质及平面向量的加减法运算法则的应用；【思维点拨】利用定义求两个非零向量数量积,关键要搞清向量的数量积和模,尤其在求向量夹角时,要判断其 起点是否共点．例 2.在O ABC 中,内角 AtBtC 的对边分别为 ᰰtbtct 䁠i! C = 6 t ᰰ = b = 3t 点 P 是边 AB 上的一个三等分点,则¯C ¯P ˙ ∙23¯C ¯¯B ¯˙ + ¯C ¯¯P ˙ ∙ ¯C ¯¯A ˙ =( )A.0B.6C.9D.12【答案】 B3 21—䁠i!2C2【解析】过点C 作C0 T AB,垂足为0．如图所示,C 0t . t 䁠i! C = 6t cos C = = 3t C0 = 3. A0 = 0B = = 6.2 3 2 3取点P靠近点B的三等分点．则P6t0.¯C¯¯P˙∙¯C¯¯B¯˙+¯C¯¯P˙∙¯C¯¯A˙=¯C¯¯P˙∙2C¯¯¯0¯˙=26t—∙ 0t —= 6．3 3同理取点P靠近点A的三等分点答案也是6．C¯¯¯P˙∙C¯¯¯B¯˙+¯C¯¯P˙∙¯C¯¯A˙=6．【易错点】坐标系的建立，点坐标的确定；【思维点拨】用坐标法求平面向量数量积可以简化解题过程,坐标法思想能否灵活使用以及坐标系建立的恰当与否是解题关键．例3.如图,B C t⻿砀是半径为1的圆0的两条直径,¯B¯¯F¯˙=2¯F¯¯0¯˙,则F¯¯¯⻿¯˙∙¯F¯¯砀˙的值是（）A.—34【答案】BB.—8⸹C.—14D.—4⸹【解析】¯B¯¯F¯˙=2¯F¯¯0¯˙t t=1t¯F¯¯0¯˙=1t¯F¯¯⻿¯˙∙¯F¯¯砀˙=¯F¯¯0¯˙+¯0¯¯⻿¯˙3∙¯F¯¯0¯˙+¯0¯¯砀¯˙=¯F¯¯0¯˙2+¯F¯¯0¯˙∙¯0¯砀¯˙ + ¯0¯⻿¯˙+ ¯0¯⻿¯˙ ∙¯0¯砀¯˙ =2+ 0 — 1 =—8 .故选B.⸹【易错点】平面向量线性运算性质的应用，共线性质的应用；【思维点拨】利用线性运算将待求量转化到利用B.0.C t⻿.0.砀共线的向量表示,利用同向或是反向解决问题；题型四平面向量的夹角与模的计算例1.若非零向量a t b满足|a|＝22|b|,且(a－b)T(3a+2b),则a与b的夹角为()3A.π4B.π2C.3π4 D.π333 — 3 23313【答案】 A【解析】设b＝ᰰt〈a t b〉＝8，则a＝22ᰰt a∙b=22ᰰ2c쳌䁠8.3 3(a－b) T (3a＋2b)，(a－b)·(3a＋2b)＝0，3a2+2a·b－3a·b－2b2＝0t即8222ᰰ2c쳌䁠8－2ᰰ2＝0t 3 ×⸹ᰰ－322 c쳌䁠8 = 2t c쳌䁠8 = 2，θ C 0tπ t 8 = n.故选A.3 3 2 4【易错点】垂直关系的转化，比例关系的应用，夹角的范围；【思维点拨】利用垂直得出a t b的等式关系，借助长度关系建立关于夹角余弦值方程即可解决; 题型五平面向量中的范围、最值问题例1.在边长为2的等边三角形∆A B C中,⻿是A B的中点,砀为线段A C上一动点,则¯砀¯¯B¯˙∙砀¯¯¯⻿¯˙的取值范围为【答案】见解析；【解析】由题意可得，¯A¯¯砀¯˙与¯A¯¯B¯˙的夹角是60°，⻿是A B的中点，设A¯¯¯砀¯˙=ᰰ,∴¯砀¯¯B¯˙∙¯砀¯¯⻿¯˙=¯A¯¯B¯˙—¯A¯¯砀¯˙∙¯A¯⻿¯˙ —¯A¯砀¯˙=¯A¯¯B¯˙∙¯A¯¯⻿¯˙—¯A¯¯B¯˙+¯A¯¯⻿¯˙∙¯A¯砀¯˙ + |¯A¯¯砀¯˙|2=2|¯A¯¯⻿¯˙|2 — 3¯A¯¯⻿¯˙ ∙¯A¯砀¯˙+¯A¯砀¯˙ 2 = 2 —3ᰰ + ᰰ2;2由于砀为线段A C上的一动点，故0≤ᰰ≤2，令ƒ(ᰰ)=2—3ᰰ+ᰰ2=ᰰ—3 2 + 23;2 4 16∴当ᰰ=3时，ƒ(ᰰ)N i!=23；当ᰰ=2时,ƒ(ᰰ)Nᰰᰰ=3，∴砀¯¯¯B¯˙∙¯砀¯¯⻿¯˙的取值范围为[23t3)4 16 16【易错点】线性转化，函数关系的构造，取值范围的确定；【思维点拨】将¯砀¯¯B¯˙∙¯砀¯¯⻿¯˙用某个变量表示,转化为函数的值域问题,其中选择变量要有可操作性.例2.已知向量a t b t c满足:a = 4t b = 2 2t a与b的夹角为n,c—a∙ c—b =—1,则|c—a|的最4大值为（）A. 2 + 12【答案】 D B. 2 + 22C. 2+12D. 2 + 1【解析】设¯0¯¯A¯˙= a t¯0¯¯B¯˙= b t¯0¯¯C¯˙= c;以0A 所在直线为ᰰt0为坐标原点建立空间直角坐标系,∵a = 4t b = 2 2t a与b的夹角为n,则A(4t0)t B(2t2),设C(ᰰt y),∵c—a∙ c—b =— 1,4∴ᰰ2 + y2 — 6ᰰ— 2y + ⸹ = 0,即(ᰰ— 3)2 + (y — 1)2 = 1 表示以(3,1)为圆心，以1 为半径的圆,|c — a|表示点AC 的距离，即圆上的点与点A(4t0)的距离；∵圆心到B 的距离为：∴|c — a|的最大值为 2 + 1，故选:D．= 2, (4 — 3)2 + (0 — 1)20 055【易错点】题干条件的转化，几何意义的应用；【思维点拨】夹角已知向量模已知的情况下，即可将线性运算转化为坐标运算，将问题具体化. 例 3. 已知向量¯0¯¯A ¯˙与¯0¯¯B ¯˙的夹角为8t ¯0¯¯A ¯˙0 ݔ t ݔ 1时,夹角8的取值范围为（5= 2t ¯0¯¯B ¯˙） = 1t ¯0¯¯P ¯˙ = t ¯0¯¯A ¯˙t ¯0¯¯G ¯˙ = 1 — t 0¯¯¯B ¯˙t |¯P ¯¯t¯˙|在t 0时取得最小值,当A.(0t n )B. ( n t n )C. ( n t 2n )D. (0t 2n )33 22 33【答案】 D【解析】由题意知, ¯0¯¯A ¯˙ ∙ ¯0¯¯B ¯˙ = 2 × 1 × c 쳌䁠8 = 2c 쳌䁠8t ¯P ¯¯t ¯˙ = ¯0¯¯t ¯˙ — ¯0¯¯P ¯˙ = 1 — t ¯0¯¯B ¯˙ — t ¯0¯¯A ¯˙; ∴¯P ¯¯t ¯˙2 = 1 — t 2¯0¯¯B ¯˙2 + t 20¯¯¯A ¯˙2 — 2t 1 — t ¯0¯¯A ¯˙ ∙ ¯0¯¯B¯˙ = 1 — t 2 + 4t 2 — 4t (1 — t )c 쳌䁠8; 5 + 4c 쳌䁠8 t 2 + — 2 — 4c 쳌䁠8 t + 1;由二次函数图像及其性质知,当上式取得最小值时, t = 1+2c 쳌䁠8.5+4c 쳌䁠8由题意可得,0 ݔ 1+2c 쳌䁠8 ݔ 1，求得— 1 ݔ c 쳌䁠8 ݔ 0,所以nݔ c 쳌䁠8 ݔ 2n ，故应选 C.5+4c 쳌䁠8 5223【易错点】转化方向的确定，函数关系的建立；【思维点拨】求变量的取值范围、最值,往往要将目标函数用某个变量表示,转化为求函数的最值问题,期间要 注意变量之间的关系,进而得解.例 4.已知 a = ht2 tb = ( — 3t5),且 a 与 b 的夹角为锐角,则h 的取值范围是【答案】 h ݔ 10 且h ≠— 635【解析】由于 a 与 b 的夹角为锐角, a ∙ b 及 0,且 a 与 b 不共线同向,由 a ∙ b 及 0 ‹— 3h + 10 及 0,解 得h ݔ 10,当向量 a 与 b 共线时,得 5h =— 6,得h =— 6 因此h 的取值范围是h ݔ 10 且h ≠— 6 3, 3．【易错点】忽略夹角为锐角的条件及其需要满足的条件；【思维点拨】注意向量夹角与三角形内角的区别,向量夹角的范围是[0tn],而三角形内角范围是(0tn),向量夹 角是锐角,则 c 쳌䁠8 及 0 且 c 쳌䁠8 ≠ 1,而三角形内角为锐角,则 c 쳌䁠8 及 0． 题型六 平面向量在三角函数中的应用例 1.在平面直角坐标系 ᰰ0y 中，已知向量 m = ( 2 t — 2 ),n ＝ 䁠i !ᰰt c 쳌䁠ᰰ ;ᰰ C t n .222①若 m T n ，求 t ᰰ!ᰰ 的值； ②若 m 与 n 的夹角为n,求 ᰰ 的值.3【答案】 见解析；【解析】①∵m = ( 2 t — 2 )，n ＝ 䁠i !ᰰt c 쳌䁠ᰰ ，m T n .22∴m ·n = 2 䁠i !ᰰ — 2 c 쳌䁠ᰰ = 0，即 䁠i !ᰰ＝c 쳌䁠ᰰ，∴t ᰰ!ᰰ = 䁠i !ᰰ = 1.2 2②由题意知， m ＝= 1， n ＝ c 쳌䁠ᰰ＝1，m ·n = 2 䁠i !ᰰ — 2 c 쳌䁠ᰰ = sin (ᰰ — n ).224而 m·n ＝|m|·|n|·c 쳌䁠〈m ，n 〉＝c 쳌䁠n ＝ 1 . sin (ᰰ — n )＝ 1，3242又 ∵ᰰ C 0t n ᰰ — n C — n t n ，∴ᰰ — n = n ，∴ᰰ = 5n .2444612【易错点】运算出错，角度范围不明确；【思维点拨】利用平面向量坐标运算性质及垂直关系建立等式即可得出结果。