s t
s(t
t) t
s(t)
平均速度反映了物体运动时的快慢程度,但要精确 地描述非匀速直线运动,就要知道物体在每一时刻运动 的快慢程度,物体在t到t+Δt这 段时间内，当Δt→0时的平均速度的极限；
v(t) lim s lim s(t t) s(t)
解 : (1)s 5(2 t)2 6 (5 22 6) 20t 5(t)2 ,
故平均速度为：s 20 5t. t
当t 1时, s 25. t
引入:
一、切线问题：
（1）对于简单的曲线，如圆和圆锥曲线，它们 的切线是如何定义的？
（2）与曲线只有一个交点的直线是否一定是曲 线的切线？
（3）曲线的切线与直线是否只有一个交点？
二、最值问题：
求函数y=x3-2x-1，x∈[-1，1]的最大值和最小值。
第三章 导数 3.1.1曲线的切线
一.曲线的切线
例2:已知曲线 y 2x2 2 上一点P(1,2),用斜率的定义求
过点P的切线的倾斜角和切线方程.
解: KP
lim y ,而y x0 x
f (1 x)
f (1)
2(1 x)2 2 2,
lim y lim 2(1 x)2 2 2 lim
4x 2(x)2
x x0
x0
x
x0 x[ 2(1 x)2 2 2]
t0 t t0
t
例3:
物体作自由落体运动,运动方程为：s
1 2
gt 2
g=10m/s2 ，位移单位是m，时间单位是s，.
求：(1) 物体在时间区间[2,2.1]上的平均速度；
(2) 物体在时间区间[2,2.01]上的平均速度；
(3) 物体在t=2(s)时的瞬时速度.
解:
__ s
1
v 2g g(t)
lim
4 2x
4
1.
x0 2(1 x)2 2 2 2 1 2 2
K P tan 1, 45 ,即过P点切线的倾斜角
等 于45.
故过点P的切线方程为:y-2=1•(x-1),即y=x+1.
练习:求曲线
y
1 x3
上一点P(1,-1)处的切线方程.
答案:y=3x-4.
练习:如图,已知曲线 y 1 x3上一点P(2, 8 ) , 求:
t
2
(1)将 Δt=0.1代入上式，得: __
v 2.05g 20.5m / s.
(2)将 Δt=0.01代入上式，得: __ v 2.005g 20.05m / s.
(3)当t 0,2 t 2,
O s(2)
s(2+t) s
__
从而平均速度v 的极限为：
__
s
v lim v lim 2g 20m / s.
t0 +Δt 的位置是s(t0+ Δ t)=OA1,则从t0 到 t0 +Δt 这段 时间内,物体的位移是:
s OA1 OA0 s(t0 t) s(t0 )
在时间段( t0+t)－ t0 = t 内，物体的平均速度为:
__
v
s(t0
t )
s(t0 )
s
(t0 t ) t0
t
一般地，设物体的运动规律是s＝s(t)，则物 体在t到t+Δt这段时间内的平均速度为
t 0
t0 t
s
即物体在时刻t0=2(s)的瞬时速度等于20(m/s).
当时间间隔Δt 逐渐变小时,平均速度就越接近
t0=2(s) 时的瞬时速度v=20(m/s).
练习:某质点沿直线运动,运动规律是s=5t2+6,求: (1)-2≤t≤2+Δt这段时间内的平均速度,这里Δt取值 范围为1; (2)t=2时刻的瞬时速度.
（（33））曲曲线线的的切切线线,与并曲不线一是定否与只曲有线一只个有交一点个吗交？点,可 以有多个,甚至可以无穷多个.
例1:求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程.
解 : k lim f (x0 x) f (x0 )
x0
x
(1 x)2 1 (1 1)
lim
x0
x
y = x 2+1
yQ
y
2x (x)2
lim
2.
x0
x
P M
x
1j
x
因此,切线方程为y-2=2(x-1), 即y=2x.
-1 O 1
求曲线上一点的切线的斜率一般可以分为 三步：
（1）求⊿y；
(2)求 y 并整理； x
(3)求 lim y ； x0 x
求曲线在某点处的切线方程：先利用切线的斜率， 然后利用点斜式求切线方程.
即: k切线
tan
lim
x0
y x
lim
x0
f
( x0
x) x
f
(x0 )
这个概念:①提供了求曲线上某点切线的斜率的一 种方法;②切线斜率的本质——函数平均变化率的极限.
注：（1）切线是割线的极限位置，切线的斜率是一个 极限
（2）若割线在P点有极限位置，则在此点有切线, 且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;
M x
请看当点Q沿着曲线逐渐向点P接近时，割线PQ 绕着点P逐渐转动的情况.
y
y=f(x)
割
线 Q
T 切线
P
o
x
我们发现,当点Q沿着曲线无限接近点P,即Δx→0时, 若割线PQ有一个极限位置PT.则我们把直线PT称为曲 线在点P处的切线.
设切线的倾斜角为α,那么当Δx→0时,割线PQ的 斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率.
3 x0
y |x2
22
4.
-2 -1 O -1
-2
x 12
即点P处的切线的斜率等于4.
(2)在点P处的切线方程是y-8/3=4(x-2),即12x-3y-16=0.
二、瞬时速度：
已知物体作变速直线运动,其运动方程为s＝s(t)(ｓ
表示位移,t表示时间),求物体在t0时刻的速度．
如图设该物体在时刻t0的位置是ｓ(t0)＝OA0,在时刻
如图，曲线C是函数y=f(x)的图象，P(x0,y0)是 曲线C上的任意一点，Q(x0+Δx,y0+Δy)为P邻近 一点，PQ为C的割线，
PM//x轴,QM//y轴，
y
y=f(x)
β为PQ的倾斜角.
Q
则 : MP x, MQ y,
y tan .
x 表明：y 就是割线的斜率.
x
Pβ Δx
O
Δy
3
3
(1)点P处的切线的斜率;
(2)点P处的切线方程.
解 ：(1) y 1 x3 , y lim y lim
1 3
(x
x)3
1 3
x3
4
y y 1 x3 3
3
x x0
x0
x
3
1 3x2x 3x(x)2 (x)3 lim
P
2
3 x0
x
1
1 lim[3x2 3xx (x)2 ] x2 .