“皖南八校”2019届高三第三次联考 数学（理科） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.若复数的实部与虚部相等，则实数的值为（ ）

A. B. C. 5 D. 2

【答案】B 【解析】 【分析】 直接由复数代数形式的乘法运算化简复数z，结合已知条件即可求出a的值． 【详解】∵复数的实部与虚部相等， ∴，∴. 故选B. 【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．

2.已知集合，，则（ ）

A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 解不等式得集合A、B，根据交集的定义写出A∩B． 【详解】或，，则. 故选A. 【点睛】本题考查了交集的概念及运算，属于基础题．

3.从某地区年龄在25～55岁的人员中，随机抽出100人，了解他们对今年两会的热点问题的看法，绘制出频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 抽出的100人中，年龄在40～45岁的人数大约为20

B. 抽出的100人中，年龄在35～45岁的人数大约为30

C. 抽出的100人中，年龄在40～50岁的人数大约为40

D. 抽出的100人中，年龄在35～50岁的人数大约为50

【答案】A 【解析】 【分析】 根据频率分布直方图的性质，求得，再逐项求解选项，即可得到答案。 【详解】根据频率分布直方图的性质得，解得 所以抽出的100人中，年龄在40～45岁的人数大约为人，所以A正确； 年龄在35～45岁的人数大约为人，所以B不正确； 年龄在40～50岁的人数大约为人，所以C不正确； 年龄在35～50岁的人数大约为，所以D不正确； 故选A。 【点睛】本题主要考查了频率分布直方图的应用，其中解答中熟记频率分布直方图的性质，以及利用矩形的面积表示频率，合理计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题。

4.若，，则（ ）

A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 将两等式两边分别平方相加，结合同角的平方关系和两角差的正弦公式，化简整理，即可得到所求值． 【详解】，① ，② ①2+②2，可得（sin2α+cos2α）+（sin2β+cos2β）-2（sinαcosβ-cosαsinβ），

即为2-2sin（α-β），即有sin（α-β）， 故选：D． 【点睛】本题考查三角函数的求值，注意运用平方法和三角函数的恒等变换公式，考查了化简整理的运算能力，属于基础题．

5.函数的大数图象为（ ）

A. B.

C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 由函数是奇函数，图象关于原点对称，排除C、D项；再由当时，函数的值小于0，排除B，即可得到答案.

【详解】由题知，函数满足，所以函数是奇函数，图象关于原点对称，排除C、D项； 又由当时，函数的值小于0，排除B，故选A. 【点睛】本题主要考查了函数图象的识别，其中解答中熟练应用函数的奇偶性和函数的取值范围，利用排除法求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题. 6.七巧板是古代中国劳动人民发明的一种中国传统智力玩具，它由五块等腰直角三角形，一块正方形和一块

平行四边形共七块板组成.清陆以湉《冷庐杂识》卷一中写道：近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余.体物肖形，随手变幻，盖游戏之具，足以排闷破寂，故世俗皆喜为之.如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率为（ ）

A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 求出阴影部分的面积，根据面积比的几何概型，即可求解其相应的概率，得到答案. 【详解】设正方形的边长为4，则正方形的面积为， 此时阴影部分所对应的直角梯形的上底边长为，下底边长为，高为， 所以阴影部分的面积为， 根据几何概型，可得概率为，故选A. 【点睛】本题主要考查了几何概型的概率的计算问题，解决此类问题的步骤：求出满足条件A的基本事件对应的“几何度量”，再求出总的基本事件对应的“几何度量”，然后根据求解，着重考查了分析问题和解答问题的能力.

7.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据三视图得到该几何体是圆柱中挖去了一个圆锥，其中圆柱的底面圆的半径为，母线长为，圆锥的底面圆的半径为，高为，再由体积公式求解，即可得到答案. 【详解】由三视图知，此几何体是圆柱中挖去了一个圆锥，其中圆柱的底面圆的半径为，母线长为，圆锥的底面圆的半径为，高为， 所以几何体的体积为： ，故选D. 【点睛】本题考查了几何体的三视图及体积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线，求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应公式求解.

8.已知，满足约束条件，若目标函数的最小值为-5，则的最大值为（ ）

A. 2 B. 3

C. 4 D. 5

【答案】D 【解析】 【分析】 由目标函数z＝3x+y的最小值为`-5，可以画出满足条件的可行域，结合目标函数的解析式形式，分析取得最优解的点的坐标，得到参数的取值，然后求出目标函数的最大值即可． 【详解】画出x，y满足的可行域如下图：

z＝3x+y变形为y=-3x+z，其中z表示直线的截距，

可得在直线与直线＝0的交点A处，使目标函数z＝3x+y取得最小值-5，当过点B时，目标函数z＝3x+y取得最大值， 故由 ， 解得 x＝-2，y＝1， 代入＝0得a=1， 由⇒B（3，-4） 当过点B（3，-4）时，目标函数z＝3x+y取得最大值，最大值为5． 故选：D． 【点睛】本题考查了含参数的线性规划问题，当约束条件中含有参数时，可以先大致画出几个不等式对应的平面区域，分析取得最优解是哪两条直线的交点，再代入求解，本题属于中档题．

9.已知是椭圆：的右焦点，为椭圆上一点，，则的最大值为（ ）

A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 设椭圆的左焦点为F′，则有|PF|+|PF′|＝，而所求|PA|+|PF|＝+|PA|﹣|PF′|，作出图形，根据图形即可看出||PA|﹣|PF′||≤|AF′|，从而求出|PA|+|PF|的最大值． 【详解】如图，设椭圆的左焦点为F′，则|PF|+|PF′|＝； 又F′（﹣1，0），|AF′|， ∴|PA|+|PF|＝+|PA|﹣|PF′|，根据图形可以看出||PA|﹣|PF′||≤|AF′|， ∴当P在线段AF′的延长线上时，|PA|﹣|PF′|最大，为|AF′|， ∴|PA|+|PF|的最大值为， 故选：D．

【点睛】本题考查椭圆的标准方程以及椭圆的定义的应用，涉及三角形两边之差小于第三边的几何知识，考查了数形结合思想，属于中档题．

10.三棱锥的四个顶点都在球的球面上，是边长为3的正三角形.若球的表面积为，则三

棱锥体积的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据是正三角形，可得面积及外接圆的半径，利用垂径定理可得，可求得三棱锥高的最大值，进而求得体积的最大值. 【详解】由题意得的面积为， 又设的外心为， 则，由，得， ∵面∴. ∴球心O在棱锥内部时，棱锥的体积最大． 此时三棱锥高的最大值为， ∴三棱锥体积最大值为. 故选A.

【点睛】本题考查了有关球的组合体问题，考查了垂径定理的应用，考查了空间想象能力，属于中档题. 11.已知函数，若对任意的，关于的方程总有两个不同

的实数根，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 令，且，解得，根据且，结合图象，即可求解。 【详解】由题意，函数，令，且， 即 ，解得， 又因为，且， 所以要使得总有两个不同实数根时， 即函数与的图象由两个不同的交点， 结合图象，可得， 所以实数m的取值范围是.

【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质的综合应用，其中解答中熟练应用三角函数的性质，结合图象求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及分析问题和解答问题的能力，属于中档试题 。

12.已知函数，当时，的取值范围为，则实数

的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 求导分析函数在时的单调性、极值，可得时，满足题意，再在时，求解的x的范围，综合可得结果. 【详解】当时，， 令，则；，则， ∴函数在单调递增，在单调递减. ∴函数在处取得极大值为， ∴时，的取值范围为， ∴ 又当时，令，则，即，