2019 届安徽省皖南八校高三第三次联考数学（文）试题一、单选题1.已知集合，，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】求得集合，根据集合的交集运算，即可求解.【详解】由题意，集合，又由，所以，故选C.【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，其中解答中正确求解集合A，再利用集合的交集运算求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力.2.已知复数，则（）A．0 B．1 C．D．2【答案】D【解析】根据复数的运算法则，求得，再根据复数模的计算公式，即可求解。

【详解】由题意复数，则，所以，故选D。

【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数模的计算，其中解答中熟记复数的运算法则，合理准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题。

3.从某地区年龄在25～55 岁的人员中，随机抽出100 人，了解他们对今年两会的热点问题的看法，绘制出频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（）A.抽出的100 人中，年龄在40～45 岁的人数大约为20B.抽出的100 人中，年龄在35～45 岁的人数大约为30C.抽出的100 人中，年龄在40～50 岁的人数大约为40D.抽出的100 人中，年龄在35～50 岁的人数大约为50【答案】A【解析】根据频率分布直方图的性质，求得，再逐项求解选项，即可得到答案。

【详解】根据频率分布直方图的性质得，解得所以抽出的100 人中，年龄在40～45 岁的人数大约为人，所以A 正确；年龄在35～45 岁的人数大约为人，所以B 不正确；年龄在40～50 岁的人数大约为人，所以C 不正确；年龄在35～50 岁的人数大约为，所以D 不正确；故选A。

【点睛】本题主要考查了频率分布直方图的应用，其中解答中熟记频率分布直方图的性质，以及利用矩形的面积表示频率，合理计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题。

4.若，满足约束条件，则的最大值为（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【解析】作出约束条件所表示的平面区域，结合图象得到目标函数的最优解，即可求解目标函数的最大值，得到答案.【详解】由题意，作出约束条件所表示的平面区域，如图所示，目标函数，可化为直线，当经过点A 时，直线在y 轴上的截距最大，此时目标函数取得最大值，又由，解得，即，所以目标函数的的最大值为，故选D.【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题．5.已知，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】根据两角和的正切公式，求得，再由正切的倍角公式，即可求解，得到答案.【详解】由题意，根据两角和的正切公式，得，解得，又由正切的倍角公式，得，故选B.【点睛】本题主要考查了三角函数的化简求值问题，其中解答中熟练应用两角和的正切和正切的倍角公式，合理化简、运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.6.函数的大数图象为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由函数是奇函数，图象关于原点对称，排除C、D 项；再由当时，函数的值小于0，排除B，即可得到答案.【详解】由题知，函数满足，所以函数是奇函数，图象关于原点对称，排除C、D 项；又由当时，函数的值小于0，排除B，故选A.【点睛】本题主要考查了函数图象的识别，其中解答中熟练应用函数的奇偶性和函数的取值范围，利用排除法求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.7.七巧板是古代中国劳动人民发明的一种中国传统智力玩具，它由五块等腰直角三角形，一块正方形和一块平行四边形共七块板组成.清陆以湉《冷庐杂识》卷一中写道：近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余.体物肖形，随手变幻，盖游戏之具，足以排闷破寂，故世俗皆喜为之.如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】求出阴影部分的面积，根据面积比的几何概型，即可求解其相应的概率，得到答案.【详解】设正方形的边长为4，则正方形的面积为，此时阴影部分所对应的直角梯形的上底边长为，下底边长为，高为，所以阴影部分的面积为，根据几何概型，可得概率为，故选A.【点睛】本题主要考查了几何概型的概率的计算问题，解决此类问题的步骤：求出满足条件A的基本事件对应的“几何度量”，再求出总的基本事件对应的“几何度量”，然后根据求解，着重考查了分析问题和解答问题的能力.8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】根据三视图得到该几何体是圆柱中挖去了一个圆锥，其中圆柱的底面圆的半径为，母线长为，圆锥的底面圆的半径为，高为，再由体积公式求解，即可得到答案.【详解】由三视图知，此几何体是圆柱中挖去了一个圆锥，其中圆柱的底面圆的半径为，母线长为，圆锥的底面圆的半径为，高为，所以几何体的体积为：，故选D.【点睛】本题考查了几何体的三视图及体积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线，求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应公式求解.9.在正方体中，若点为正方形的中心，则异面直线与所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】建立空间直角坐标系，利用空间向量的夹角公式，即可求解.【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设，则，则向量，则向量与的夹角为,即异面直线与所成角的余弦值为，故选C.【点睛】本题主要考查了利用空间向量求解异面直线所成的角，其中解答中建立适当的空间直角坐标系，合理利用向量的夹角公式求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.10.已知，是椭圆：的两个焦点，以为直径的圆与直线相切，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由圆与直线相切，利用圆心到直线的距离等于半径和离心率的定义，即，整理，即可求解.【详解】由题意，以为直径的圆的方程为，其中圆心，半径为，又由圆与直线相切，则圆心到直线的距离为，又由，整理得，即，即，解的，又由，所以，故选D.【点睛】本题考查了椭圆的几何性质——离心率的求解，其中根据条件转化为圆锥曲线的离心率的方程是解答的关键．求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，然后转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得( 的取值范围)．11.已知函数，则满足的实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】根据函数的解析式，得出函数的单调性，把不等式，转化为相应的不等式组，即可求解.【详解】由题意，函数，可得当时，，当时，函数在单调递增，且，要使得，则，解得，即不等式的解集为，故选B.【点睛】本题主要考查了函数的单调性的应用，其中根据函数的解析式，得出函数单调性，合理利用函数的单调性，得出不等式组是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.12.已知函数，若对任意的，关于的方程总有两个不同的实数根，则的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】令，且，解得，根据且，结合图象，即可求解。

【详解】由题意，函数，令，且，即，解得，又因为，且，所以要使得总有两个不同实数根时，即函数与的图象由两个不同的交点，结合图象，可得，所以实数m 的取值范围是.【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质的综合应用，其中解答中熟练应用三角函数的性质，结合图象求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及分析问题和解答问题的能力，属于中档试题。

二、填空题13.若平面向量，，且，则．【答案】5【解析】由，则，可得所以，即可求解.【详解】由题意，平面向量，，且，则，所以.【点睛】本题主要考查了向量的数量积的运算，其中解答中熟记平面向量的数量积的运算公式，合理准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.14.已知是函数的一个极值点，则曲线在点处的切线斜率为．【答案】【解析】由是函数的一个极值点，求得，进而求得，根据导数的几何意义，即可得到答案.【详解】由题意，函数，则，又由是函数的一个极值点，所以，解得，即，所以，所以函数在点处切线的斜率为.【点睛】本题主要考查了利用函数的极值点求参数，以及导数的几何意义的应用，其中解答中熟记函数的极值点的定义，合理利用导数导数的几何意义求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.15.已知是双曲线上一点，、是左、右焦点，的三边长成等差数列，且，则双曲线的渐近线方程为．【答案】【解析】设，不妨设点P 位于第一象限，则由已知条件和双曲线的定义，列出发方程组，求得，进而求得，即可求得渐近线的方程.【详解】由题意，设，不妨设点P 位于第一象限，则由已知条件和双曲线的定义，可得且且，整理得，解得，又由，即，所以双曲线的渐近线的方程为.【点睛】本题主要考查了双曲线的几何性质的应用，其中解答中熟练应用双曲线的定义和几何性质，列出方程组求得的值是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题. 16.在中，角，，所对的边分别为，，，若，且，，则的面积是．【答案】【解析】由正弦定理化简得，进而得到，再由余弦定理得到关于的方程，求得的值，进而利用面积公式，即可求解。

【详解】由题意，可知，由正弦定理得，即，又由在中，,则，即，又由，则，所以，由余弦定理得，即，整理得，解得，所以的面积为.【点睛】本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，同角三角函数基本关系式，余弦定理在解三角形中的综合应用，其中解答中熟记三角恒等变换的公式，以及合理应用正弦定理、余弦定理求解是解答的关键，着重考查了转化思想与运算、求解能力，属于基础题．三、解答题17.各项均为整数的等差数列，其前项和为，已知，且，，成等比数列.（1）求的通项公式；（2）已知数列满足，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）设的公差为，利用等差数列的通项公式，求得，即可得出数列的通项公式；（2）由（1）得，再利用等比数列的求和公式，即可求解。

【详解】（1）设的公差为，由题意知.∵，∴，解得或.又各项为整数，∴.所以数列的通项公式.（2）由题意，，故为等比数列，首项为2，公比为4，则其前项和.【点睛】在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路,一是利用基本量,根据通项公式和求和公式，列出方程组,虽有一定量的运算,但思路简洁,目标明确；二是利用等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形. 在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.18.如图，在四棱锥中，平面，点为中点，底面为梯形，，，.（1）证明：平面；（2）若四棱锥的体积为4，求点到平面的距离.【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】（1）取中点，连接，，根据平行四边形的性质，证得，再利用线面平行的判定定理，即可证得平面.（2）设，利用四棱锥的体积，求得，又由平面知，点到平面的距离等于点到平面的距离,过作，证得平面，即可求得答案。