精品文档 ---------------------------------------------------- 习题 3-1. 如图，一质点在几个力作用下沿半径为R=20m的圆周运动，其中有一恒力F=0.6iN，求质点从A开始沿逆时针方向经3/4圆周到达B的过程中，力F所做的功。

解：ji2020ABrrr 由做功的定义可知：JW12)2020(6.0••jiirF

3-2. 质量为m=0.5kg的质点，在xOy坐标平面内运动，其运动方程为x=5t2,y=0.5(SI),从t=2s到t=4s这段时间内，外力对质点的功为多少？

ijiji60)5.020()5.080(24rrr 22//10ddtddtia vr 105mmiiFa 由做功的定义可知：560300WJ••iiFr

3-3.劲度系数为k的轻巧弹簧竖直放置，下端悬一小球，球的质量为m，开始时弹簧为原长而小球恰好与地接触。今将弹簧上端缓慢提起，直到小球能脱离地面为止，求此过程中外力的功。 根据小球是被缓慢提起的，刚脱离地面时所受的力为F=mg，mgxk

可得此时弹簧的伸长量为：kmgx

由做功的定义可知：kgmkxkxdxWkmgx22122020 3-4.如图，一质量为m的质点，在半径为R的半球形容器中，由静止开始自边缘上的A点滑下，到达最低点B时，它对容器的正压力数值为N，求质点自A滑到B的过程中，摩擦力对其做的功。

分析：Wf直接求解显然有困难，所以使用动能定理，那就要知道它的末速度的情况。 精品文档 ---------------------------------------------------- 解：求在B点的速度： N-G=Rvm2 可得：RGNmv)(21212

由动能定理：RmgNmgRRGNWmvWmgRff)3(21)(210212 3-5.一弹簧并不遵守胡克定律，其弹力与形变的关系为iF)4.388.52(2xx，其中F和x单位分别为N和m．

（1）计算当将弹簧由m522.01x拉伸至m34.12x过程中，外力所做之功； （2）此弹力是否为保守力? 解： （1）由做功的定义可知：

JxxxxdxxxdWxx2.69)(6.12)(4.26)4.388.52(31322122234.1522.021•xF

（2）由计算结果可知，做功与起点和终点的位置有关，与其他因素无关，所以该弹力为保守力。

3-6. 一质量为m的物体，在力)(2jiFbtat的作用下，由静止开始运动，求在任一时刻t此力所做功的功率为多少。 解：要求功率就必须知道力和速度的情况，由题意：

)3121(1)(1322jijibtatmdtbtatmtmFv 所以功率为： )3121(1)3121(1)(5232322tbtambtatmbtatN••jijiVF 精品文档 ---------------------------------------------------- 3-7. 一质点在三维力场中运动．已知力场的势能函数为 czbxyaxE2p.

（1）求作用力F； （2）当质点由原点运动到3x、3y、3z位置的过程中，试任选一路径，

计算上述力所做的功。其中pE的单位为J，zyx、、的单位为m，F的单位为N.

解：（1）由作用力和势能的关系：

kjiFcbxbyaxrczbxyaxrEP)2()(2

（2）取一个比较简单的积分路径：kjirdzdydx，则积分可得： )(])2[(kjikjidrFdzdydxcbxbyaxW•• =9a-9b-3c

3-8. 轻弹簧AB的上端A固定，下端B悬挂质量为m的重物。已知弹簧原长为0l，劲度系数为k，重物在O点达到平衡，此时弹

簧伸长了0x，如图所示。取x轴向下为正，且坐标原点位于：弹簧原长位置O；力的平衡位置O。若取原点为重力势能和弹性势能的势能零点，试分别计算重物在任一位置P时系统的总势能。 解：（1）取弹簧原长位置O为重力势能和弹性势能的势能零点，则重物在任

一位置P（坐标设为x）时系统的总势能：2P21Exkxmg （2）取力的平衡位置O为重力势能和弹性势能的势能零点，则重物在任一精品文档 ---------------------------------------------------- 位置P（坐标设为x）时系统的总势能：02020P2121Ekxmgkxxxkmgx而）（ 所以22020P212121Ekxkxxxkmgx）（ 3-9. 在密度为1的液面上方，悬挂一根长为l，密度为2的均匀棒AB，棒的B端刚和液面接触如图所示，今剪断细绳，设细棒只在浮力和重

力作用下运动，在1212的条件下，求细棒下落过程中

的最大速度maxv，以及细棒能进入液体的最大深度H。 解：分析可知，棒下落的最大速度是受合力为零的时候，所以：

hsglsg12 ，则lh12。

在下落过程中，利用功能原理：2221012hslvsglhgsydy

所以：2max1vgl 进入液体的最大深度H为细棒运动的速度为零时： 210

Hsglhgsydy 所以1122lH•

3-10. 若在近似圆形轨道上运行的卫星受到尘埃的微弱空气阻力f的作用，设阻力与速度的大小成正比，比例系数k为常数，即kvf，试求质量为m的精品文档 ---------------------------------------------------- 卫星，开始在离地心Rr40（R为地球半径）陨落到地面所需的时间。 解：根据题意，假设在离地心Rr40处质点的速度为v1，地面上的速度为

v2。提供卫星运动的力为万有引力：202rMmGrvm，所以2012Rrvv 在这个过程中阻力的作用时间可通过动量定理求出： mdvkvdtfdt

通过分离变量取积分，可

得：2121lnln2vvvmmmtdtdvkvkvk

3-11. 一链条放置在光滑桌面上，用手揿住一端，另一端有四分之一长度由桌边下垂，设链条长为L，质量为m，试问将链条全部拉上桌面要做多少功？ 解：直接考虑垂下的链条的质心位置变化，来求做功，则： 1114832PWEmglmgl

3-12. 起重机用钢丝绳吊运质量为m的物体时以速率0v匀速下降，当起重机突然刹车时，因物体仍有惯性运动使钢丝绳有微小伸长。设钢丝绳劲度系数为k，求它伸长多少?所受拉力多大?(不计钢丝绳本身质量) 解：当起重机忽然刹车时，物体的动能将转换为钢

丝绳的弹性势能：由2202121kxmv，可得：

0vkmx 精品文档 ---------------------------------------------------- 分析物体的受力，可得到绳子的拉力为： 0vmkmgkxmgT

3-13. 在光滑水平面上，平放一轻弹簧，弹簧一端固定，另一端连一物体A、A边上再放一物体B，它们质量分别为Am和Bm，弹簧劲度系数为k，原长为

l．用力推B，使弹簧压缩0x，然后释放。求：

（1）当A与B开始分离时，它们的位置和速度； （2）分离之后．A还能往前移动多远? 解：（1）当A和B开始分离时，两者具有相同的速度，根据能量守恒，可得

到：20221)(21kxvmmBA，所以：0xmmkvBA;xl （2）分离之后，A的动能又将逐渐的转化为弹性势能，所以： 22212

1kxvmA ，则： 0AAABmxxmm

3-14. 已知地球对一个质量为m的质点的引力为rF3ermGm（ee,Rm为地球的质量和半径)。 （1）若选取无穷远处势能为零，计算地面处的势能； （2）若选取地面处势能为零，计算无穷远处的势能．比较两种情况下的势能差． 解：（1）取无穷远处势能为零，计算地面处的势能为：

ee211bearPeRr

EfdrGmmdrGmmrR•

（2）若选取地面处势能为零，计算无穷远处的势能为： 精品文档 ---------------------------------------------------- ee211ebaRrerEfdrGmmdrGmmrR

•

两种情况下势能差是完全一样的。 3-15. 试证明在离地球表面高度为eRhh处，质量为m的质点所具有的引力势能近似可表示为mgh. 解：由万有引力的势能函数值，在离地球表面高度为eRhh处，质量为m的质点所具有的引力势能为：

)()()()()(20200hRmghRRMmGhRhRMmGhRMmGeeeeee

如果以地面作为零电势处，则质点所具有的引力势能近似可表示为mgh. 思考题3 3-1. 求证：一对内力做功与参考系的选择无关。 证明：对于系统里的两个质点而言，一对内力做功可表示为：

A=2211rdfrdf•• 由于外力的存在，质点1.2的运动情况是不同的。

2121,ffrdrd

上式可写为：A=)(212211rdrdfrdfrdf••• 也就是内力的功与两个质点的相对位移有关，与参考系的选择无关。

3-2. 叙述质点和质点组动能变化定理，写出它们的表达式，指出定理的成立条件。

质点的动能变化定理：物体受外力F作用下，从A运动B，其运动状态变化，