7-4[习题7-3] 一拉杆由两段沿n m -面胶合而成。

由于实用的原因，图中的α角限于060~0范围内。

作为“假定计算”，对胶合缝作强度计算时，可以把其上的正应力和切应力分别与相应的许用应力比较。

现设胶合缝的许用切应力][τ为许用拉应力][σ的4/3，且这一拉杆的强度由胶合缝强度控制。

为了使杆能承受最大的荷载F ，试问α角的值应取多大？ 解：AFx =σ；0=y σ；0=x τ ατασσσσσα2s i n 2c o s 22x yx yx --++=][22cos 12cos 22σαασα≤+=+=A F A F A F ][22cos 1σα≤+A F ，][cos 2σα≤AFασ2cos ][A F ≤，ασ2max,cos ][AF N = ατασστα2c o s 2s i n 2x yx +-=][3][2sin στατα=≤=F ，σ][5.1A F ≤，σ][5.1max,AF T =由切应力强度条件控制最大荷载。

由图中可以看出，当060=α时，杆能承受最大荷载，该荷载为：A F ][732.1max σ=7-6[习题7-7] 试用应力圆的几何关系求图示悬臂梁距离自由端为m 72.0的截面上，在顶面以下mm 40的一点处的最大及最小主应力，并求最大主应力与x 轴之间的夹角。

解：（1）求计算点的正应力与切应力MPa mm mm mm N bh My I My z 55.1016080401072.01012124363=⨯⨯⋅⨯⨯⨯===σMPa mm mm mm N bI QS z z 88.0801608012160)4080(10104333*-=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯-==τ （2）写出坐标面应力 X （10.55，-0.88）Y （0，0.88）(3) 作应力圆求最大与最小主应力，并求最大主应力与x 轴的夹角 作应力圆如图所示。

从图中按比例尺量得：MPa 66.101=σ MPa 06.03-=σ 0075.4=α7-7[习题7-8] 各单元体面上的应力如图所示。

试利用应力圆的几何关系求： （1）指定截面上的应力； （2）主应力的数值；（3）在单元体上绘出主平面的位置及主应力的方向。

[习题7-8（a ）]解：坐标面应力：X （20，0）；Y （-40，0）060=α。

根据以上数据作出如图所示的应力圆。

图中比例尺为cm 1代表MPa 10。

按比例尺量得斜面的应力为：MPa 250120-=σ， MPa 260120=τ；MPa 201=σ，MPa 403-=σ；000=α。

[习题7-8（b ）]解：坐标面应力：X （0，30）；Y （0，-30）030=α。

根据以上数据作出如图所示的应力圆。

图中比例尺为cm 1代表MPa 10。

按比例尺量得斜面的应力为：MPa 26060-=σ ，MPa 15060=τ；MPa 301=σ，MPa 303-=σ； 0045-=α。

[习题7-8（c ）]解：坐标面应力：X （-50，0）；Y （-50，0）030=α。

根据以上数据作出如图所示的应力圆。

图中比例尺为cm 1代表MPa 20。

按比例尺量得斜面的应力为：MPa 50060-=σ ，0060=τ；MPa 502-=σ，MPa 503-=σ。

单元体图 应力圆（O.Mohr 圆）主单元体图单元体图应力圆（O.Mohr 圆）主单元体图[习题7-8（d ）]解：坐标面应力：X （0，-50）；Y （-20，50）00=α。

根据以上数据作出如图所示的应力圆。

图中比例尺为cm 1代表MPa 20。

按比例尺量得斜面的应力为：MPa 40045=σ ，10045=τ；MPa 411=σ,MPa 02=σ，MPa 613-=σ；'003539=α。

[习题7-10] 已知平面应力状态下某点处的两个截面的的应力如图所示。

试利用应力圆求该点处的主应力值和主平面方位，并求出两截面间的夹角α值。

平面应力状态下的两斜面应力应力圆解：两斜面上的坐标面应力为：A （38，28），B （114，-48）由以上上两点作出的直线AB 是应力圆上的一条弦，单元体图应力圆（O.Mohr 圆）主单元体图单元体图 应力圆（O.Mohr 圆） 主单元体图如图所示。

作AB 的垂直平分线交水平坐标轴于C 点，则C 为应力圆的圆心。

设圆心坐标为C （0,x ） 则根据垂直平线上任一点到线段段两端的距离相等 性质，可列以下方程：2222)480()114()280()38(++-=-+-x x解以上方程得：86=x 。

即圆心坐标为C （86，0） 应力圆的半径：570.55)280()3886(22=-+-=r主应力为：MPa r x 57.14157.55861=+=+=σ MPa r x 43.3057.55862=-=-=σ 03=σ（2）主方向角（上斜面A 与中间主应力平面之间的夹角）（上斜面A 与最大主应力平面之间的夹角）（3）两截面间夹角：[习题7-14] 单元体各面上的应力如图所示。

试用应力圆的几何关系求主应力及最大切应力。

[习题7-15（a ）]解：坐标面应力：X （70，-40），Y （30，-40），Z （50，0）由XY 平面内应力值作a 、b 点，连接a 、b 交 轴得圆心C （50，0）应力圆半径：[习题7-15（b ）]解：坐标面应力：X （60，40），Y （50，0），Z （0，-40）由XZ 平面内应力作a 、b 点，连接a 、b 交 轴于C 点，OC =30，故应力圆圆心C （30，0）应力圆半径：单元体图应力圆单元体图应力圆[习题7-15（c ）]解：坐标面应力：X （-80，0），Y （0，-50），Z （0，50）由YZ 平面内应力值作a 、b 点，圆心为O ，半径为50，作应力圆得[习题7-19] D =120mm ，d =80mm 的空心圆轴，两端承受一对扭转力偶矩，如图所示。

在轴的中部表面A 点处，测得与其母线成方向的线应变为。

已知材料的弹性常数，，试求扭转力偶矩。

解：单元体图应力圆方向如图[习题7-20] 在受集中力偶e M 作用矩形截面简支梁中，测得中性层上 k 点处沿045方向的线应变为045ε。

已知材料的弹性常数ν,E 和梁的横截面及长度尺寸l d a h b ,,,,。

试求集中力偶矩e M 。

解：支座反力： l M R e A =（↑）；lM R eB = （↓） K 截面的弯矩与剪力： l aM a R M e A k ==；lM R Q eA k == K 点的正应力与切应力： 0=σ；AlM A Q ek 235.1=⋅=τ 故坐标面应力为：X （τ，0），Y （0，-τ）AlM e x y x yz 234)(212221==+-++=ττσσσσσ 02=σAlM e x y x yz 234)(212223-=-=+--+=ττσσσσσ ∞=--=yx xσστα22tan 00045=α （最大正应力1σ的方向与x 正向的夹角），故)(1311450νσσεε-==E)1(23)]23(23[(1045ννε+=--=EAl M Al M Al M E e e e004545)1(32)1(32εννε+=+=EbhlEAl M e[习题7-22] 已知图示单元体材料的弹性常数GPa E 200=，3.0=ν。

试求该单元体的形状改变能密度。

解：坐标面应力：X （70，-40），Y （30，40），Z （50，0） 在XY 面内，求出最大与最小应力：22m a x4)(212x y x yz τσσσσσ+-++= )(721.94)40(4)3070(212307022max MPa =-⨯+-++=σ 22min 4)(212x y x yz τσσσσσ+--+=)(279.5)40(4)3070(212307022max MPa =-⨯+--+=σ 故，)(721.941MPa =σ，MPa 502=σ，)(279.53MPa =σ。

单元体的形状改变能密度：])()()[(61213232221σσσσσσν-+-+-+=Ev d])721.94279.5()279.550()50721.94[(1020063.012223-+-+-⨯⨯+=3/99979.1201299979.0m m kN MPa ⋅== [习题7-25] 一简支钢板梁承受荷载如图a 所示，其截面尺寸见图b 。

已知钢材的许用应力为MPa 170][=σ，MPa 100][=τ 。

试校核梁内的最大正应力和最大切应力。

并按第四强度理论校核危险截面上的a 点的强度。

注：通常在计算a 点处的应力时，近似地按'a 点的位置计算。

解： 左支座为A ，右支座为B ，左集中力作用点为C ，右集中力作用点为D 。

支座反力：)(710)840550550(21kN R R B A =⨯++== （↑）=434331004.2)(2040746670800230121840240121m mm I z -⨯≈=⨯⨯-⨯⨯=（1）梁内最大正应力发生在跨中截面的上、下边缘)(87044021355047102max m kN M ⋅=⨯⨯-⨯-⨯=MPa mmm N I y M z 1791004.210420108704333max max max =⨯⨯⨯⋅⨯==--σ超过的5.3%，在工程上是允许的。

（2）梁内最大剪应力发生在支承截面的中性轴处（3）在集中力作用处偏外侧横截面上校核点a 的强度超过的3.53%，在工程上是允许的。

[习题7-27] 用Q235钢制成的实心圆截面杆，受轴向拉力F 及扭转力偶矩e M 共同作用，且Fd M e 101=。

今测得圆杆表面k 点处沿图示方向的线应变5301033.140-⨯=ε。

已知杆直径mm d 10=，材料的弹性常数GPa E 200=，3.0=ν。

试求荷载F 和e M 。

若其许用应力MPa 160][=σ，试按第四强度理论校核杆的强度。

解：计算F 和e M 的大小：e M 在k 点处产生的切应力为：2333max 5810161616d FFd d d M d T W T e P ππππττ-=⋅-=-==== F 在k 点处产生的正应力为：24dF A F πσ==即：X （24dFπ，258d F π-），Y （0，258d F π） 广义虎克定律：)(1000603030-+=νσσεE ατασσσσσα2s i n 2c o s 22x yx y x --++=)(10967.135)3415(60sin 5860cos 223202022300MPa F dF d F d F d F -⨯=+=++=ππππσ （F 以N 为单位，d 以mm 为单位，下同。