0 5 5
1 5 4 2 5
3
[( x 1) 1] 1
5
x 1
5
3 ． 若(
)n的展开式中各项系数之和为64，
则 展开式的常数项为( A ) A．－540 B．－162 C．162
D．540
4．(2010·上海春)在 项是________．
的二项展开式中，常数
答案：60
二、题型与方法
课堂互动讲练 考点二 二项式定理展开式的应用
利用二项展开式可以解决如整除、近似计算、不 等式证明、含有组合数的恒等式证明，以及二项式系 数性质的证明等问题．
例3
已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7. 求：(1)a1＋a2＋…＋a7； (2)a1＋a3＋a5＋a7； (3)a0＋a2＋a4＋a6； (4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|.
【规律小结】
1．根据二项式系数的性质，n为奇数时中间两项的二 项式系数最大，n为偶数时中间一项的二项式系数最大． 2．求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项不 同，求展开式中系数最大项的步骤是：先假定第r＋1项系 数最大，则它比相邻两项的系数都不小，列出不等式组并 求解此不等式组求得．
课堂互动讲练
右边的多项式叫做（a+b)n的二项展开式，
其中
C (r 0,1,2,, n)
r n
叫做二项式系数
特点：
（1）共n+1有项； （2）二项式系数是从n个不同元素中取出0，1，2， 0 1 n 3，…，n个元素的组合数，即 Cn , Cn ,, Cn . （3）a按降幂排列，b按升幂排列，每一项中a与b的 指数和为n。
考点三 二项式定理的灵活应用
例4
求 1 x

1 10 的展开式的常数项。 2 x

变式：（1）求（x2+x+1)13展开式中x5的系数；
（2）求（2x-1)6(3+x)5展开式中x3的系数.
考点四 整除或余数问题
例5
求91 除以 100 的余数
92
变式题
7777－7 被 19 除所得的余数是________．
变式: 若(2x＋ )4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4， 则(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2的值是( A ) A．1 B．－1 C．0 D．2
【规律小结】 对二项式展开式中系数、系数和问题，常用赋值法， 一般地，要使展开式中项的关系变为系数的关系，令 x＝0 得常数项，令x＝1可得所有项系数和，令x＝－1可得奇数 次项系数之和与偶数次项系数之和的差，而当二项展开式 中含负值项时，令x＝－1则可得各项系数绝对值之和．
n 2
1 1 当n为奇数时， f (r ) max f ( n2 ) f ( n2 ) Cn Cn （3）二项式系数和为
n 1 2
n 1 2
C C C C 2
0 n 1 n 2 n n n
n
奇数项二项式系数和等于偶数项二项式系数和等于
2n-1,即
0 2 4 1 3 5 Cn Cn Cn Cn Cn Cn 2n1
n(n 1) 2 (1 x) 1 nx x 2
n
一、知识梳理
1.二项式定理
a b
一般地，对于任意正整数n
n
C a C a b C a b C b , n N
0 n n n n n
1 n 1 1 n
r nr r n

这个公式所表示的定理叫做二项式定理，
一、知识梳理
1.二项式定理
a b
一般地，对于任意正整数n
n
C a C a b C a b C b , n N
0 n n n n n
1 n 1 1 n
r nr r n

这个公式所表示的定理叫做二项式定理，
右边的多项式叫做（a+b)n的二项展开式，
其中
C (r 0,1,2,, n)
n 2 2 n 的展开式的二项式系数和比 3 已知 （ 3 x 1 ) （ xx ) 例2 1 2n （2 x ) 的展开 的展开式的二项式系数和大992，求 x 式中： (1)二项式系数最大的项； (2)系数的绝对值最大的项．
变式:已知( )n(n∈N*)的展开式中第五项的系数与第 三项的系数的比是10∶1， (1)证明：展开式中没有常数项； (2)求展开式中含 的项； (3)求展开式中所有的有理项； (4)求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项．
考点一 通项公式的应用
通项公式中含有a，b，n，r，Tr＋15个元素，只要知 道了其中的4个元素，就可以求出第5个元素，在求展开式 中的指定项问题时，一般是利用通项公式，把问题转化为 解方程(或方程组)．这里必须注意隐含条件n，r均为非负 整数且r≤n.
项。
例1 已知在 ( x
3
1 23 x
) n的展开式中，第6项为常数
一、知识梳理
1.二项式定理
a b
一般地，对于任意正整数n
n
C a C a b C a b C b , n N
0 n n n n n
1 n 1 1 n
r nr r n

这个公式所表示的定理叫做二项式定理，
右边的多项式叫做（a+b)n的二项展开式，
其中
C (r 0,1,2,, n)
4.二项式系数的性质
（1）对称性：到首末距离相等的两项的二项式系数 r n r 相等，即 Cn Cn
（2）增减性即最大值 r n f (r) Cn 在[0, n ] 上是增函数 ; 在 [ 2 2 , n]上是减函数。
当n为偶数时， f (r ) max f ( n 2 ) Cn
r n
叫做二项式系数
特点：
（1）共n+1有项； （2）二项式系数是从n个不同元素中取出0，1，2， 0 1 n 3，…，n个元素的组合数，即 Cn , Cn ,, Cn . （3）a按降幂排列，b按升幂排列，每一项中a与b的 指数和为n。
2.通项公式
展开式的通项，用
r n
叫做二项式系数
特点：
（1）共n+1有项； （2）二项式系数是从n个不同元素中取出0，1，2， 0 1 n 3，…，n个元素的组合数，即 Cn , Cn ,, Cn . （3）a按降幂排列，b按升幂排列，每一项中a与b的 指数和为n。
一、知识梳理
1.二项式定理
a b
一般地，对于任意正整数n
1 ． 若 (x － 1)4＝ a0 ＋ a1x ＋ a2x2 ＋ a3x3 ＋ a4x4， 则a0＋a2＋a4的值为( B ) A． 9 B．8 C． 7 D． 6
2.计算并求值
(1) 1 2C 4C 2 C
1 n 2 n n
5 4
(2) ( x 1) 5( x 1) 10( x 1) 10( x 1)
(2)求二项展开式中的有理项，一般是根据通项公式 所得到的项，其所有的未知数的指数恰好都是整数的 项．解这种类型的问题必须合并通项公式中同一字母的指 数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来 求解．若求二项展开式中的整式项，则其通项公式中同一 字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项的方式一 致．
n 1 2 2 n n n n
很小且 n 很大时， x 2 , x3 ,....x n 等项的绝对值都很小，因此 在精确度允许的范围内可以忽略不计，因此可以用近 (1 x)n 1 nx，在使用这个公式时，要注意按 似计算公式： 问题对精确度的要求，来确定对展开式中各项的取 舍，若精确度要求较高，则可以使用更精确的公式：
51 求证： 51
1
能被7整除。
6 的近似值，使误差小于 求 0.001 例6 0.998
规律方法小结
（1）整除性问题，余数问题，主要根据二项式定理的 特点，进行添项或减项，凑成能整除的结构，展开后 观察前几项或后几项,再分析整除性或余数。这是解此 类问题的最常用技巧。余数要为正整数
（2）由 (1 x) 1 C n x C x ... C x ，当 x 的绝对值与1相比
3
n n
2
5( x 1)
0 n n
（ 1）
原式 C 1 C 1 2 C 1 2 C 2
2
(1 2) 3
n
1 n 1 n
2 n2 n
n n n
n
(2)原式
C ( x 1) C ( x 1) C ( x 1) 4 5 5 3 2 C5 ( x 1) C5 ( x 1)C5 C5
n
C a C a b C a b C b , n N
0 n n n n n
1 n 1 1 n
r nr r n

这个公式所表示的定理叫做二项式定理，
右边的多项式叫做（a+b)n的二项展开式，
其中
C (r 0,1,2,, n)
r n
叫做二项式系数
特点：
（1）共n+1有项； （2）二项式系数是从n个不同元素中取出0，1，2， 0 1 n 3，…，n个元素的组合数，即 Cn , Cn ,, Cn . （3）a按降幂排列，b按升幂排列，每一项中a与b的 指数和为n。
Tr 1
Tr 1 C a b 第 r 1 项
r nr r n
注意：
（1）表示第r+1项；
（2）通项公式中的a与b的位置不能换.
（3）要得到 C r a nr b r即在(a+b)n中，有r个因式取b， n 余下n-r个因式取a。