解
x 0 1 , y0 1 ,
y x 1 2 xx 1 2 , yx12, 在点(1,1)处的曲率半径为
R
(1
y2
)
3 2
(122)23 125
y
2
2
曲率中心为
x0
y(1y2) y
12(122)4 2
y0
1 y2 y
1122 2
7 2
曲率中D(心 4, ： 7). 2
曲率圆的方程为
(x4)2(y7)2125 24
在M 点 处可用一个相应的圆来描述曲线的弯曲程度
曲率中心的坐标
设曲y 线 f(x )方 ,f(x )程 存为 在
f(x0)0,则曲线在点 M(x0, y0)处的曲率
中心 D(, )的坐标为
x0
y(1y2), y
y0
1 y2 y
,
式 y 与 中 y 是 y f(x )在 M 处 点的 .
求抛 yx2 物 在(1 线 ,点 1 )处的 例5 曲率半径、曲率中心和曲率圆方程 .
,
2
,
3,
2
因a为 b, 故在各象限中
dk
d
的符号依次为
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
Ⅳ
+
+
由此当 可得:2当 , 32时 0,,k时 取 ,k最 取小 km最 in 值 kab大 m2ax b值 a2
在有些实际问题中 , 若 |y|1 , 则可 k|y 取 |.
k 1, R5. 5
O
M
O
M
曲率圆 曲率半径 曲率中心 曲率半径曲1率
24-平面曲线的曲率
例1 求半径为 R 的圆上任意一点处的曲率 .
解 如图所示 , 在圆上任取一点 M , 则
︵
s||M M ||R
O
R
M
M
k
1
R
故
lim
s0 s
lim 1 s0R R
即圆上点的曲率处处相同：
半径越小的圆 , 弯曲得越厉害 .
二、曲率的计算公式
y
k
y
(1
y2
3
)2
dy dx
和
d2 y dx2
:
dd ddxx y b aa cssio nin ,s dd yb a cbco osddt,2ddx2y2x2((aabacccooosst,))dd2y2ab2bssiin1n3,
k
y
(1
y2
3
)2
ab
(a2sin2b2co2s)23
令d d k3 (a a2s (a b 2 i2 n b 2)b s 2cic o n 2)o s 2 3 s0, 0,
4
yyxx402在(点 14x(20),x 00) 处0,的 yx曲 0k(率 112x为 )(1xy0y2)1223 ,12
故y24x在点 (00, 处 ) 的曲k 率 1 . 为
三、参数方程下曲率的计算公式
若 x y x y(()), x(),y()二阶,则 可导
d y y() , dx x()
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yf(x)
M
证 如图所示 , 曲线在
点M处切线的斜率
ytan 故 arctyan
M
ddx 11y2
dy dx
1
y
y
2
O
d1yy2 dx
x 又 ds 1y2dx
从而
k d
ds
y (1y2)23
例2 求直y线 axb上任意一点. 处
解 y a , y 0 ,
k
y (1y2)23
0
(xR).
d d2xy 2y()x((x)( )y3 )()x()
将它们代入曲率计算公式中即可得：
k|y[(x ()(x)(2 )) (y y(())x 2)(2 3])|
例3
椭 x a c , y 圆 o b ss ( a i b n 0 ) 上 , 哪一点曲率最大 , 哪一点曲率最小 .
解
利用参数方程求导法求出
直线上任意一点处的曲率均为零 . 俗话说 , 直线不弯曲 .
例4 求抛 y2 物 4x在 线 (点 00,处 ) 的 . 曲
解 如果 y 2 用 x,会出现导数的分母ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ为零的情形 ,
但y24x与xy2 4
的图相形 同
,
而xy2与yx2的图形关于 yx
对称
4
4
, 故原问题可以转为求曲线
y
x2
在
点(0, 0)处的曲 . 率