弧的平均弯曲程度为

N
.
如 果 极 限lim 存 在, s 0 s
s
M0
s M
s
则称 lim 为曲线 在M处的曲率 . s 0 s
记作
lim
Δs 0
d . s ds
2.曲率的计算 1) 光滑曲线 为
2 t y 2 t 0. 若x(t )和y(t )二阶可导且 x
则曲线在点M的曲率为
x x(t ), t . y y(t );
Байду номын сангаас

y x y x

2 x y
3 2 2

3、曲率圆与曲率半径
定义 设曲线 y f ( x ) 在点
M ( x , y ) 处的曲率为k ( k 0). 在点 M 处的曲线的法线上 , 在凹的一侧取一点D, 使 DM
第八节 平面曲线的曲率 曲率的概念 曲率的计算 曲率圆与曲率半径
1.曲率的定义
曲线的弯曲程度：与切线的转角成正比 与曲线的弧长成反比
1
M2
M1
2
S 2
M3
M
S1
N
M
S1
S 2 N

弧段弯曲程度
转角相同弧段越
越大转角越大
短弯曲程度越大
M处的切向量与 N 处的切向量的夹角 , 绕过的弧长为 s。
y
D 1 k
M
y f (x)
o 1 . 以 D 为圆心, 为半径 k 作圆(如图), 称此圆为曲线在点M 处的曲率圆.
x
D 曲率中心,
曲率半径.
注意: 1.曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的 曲率互为倒数. 1 1 即 ,k . k 2.曲线上一点处的曲率半径越大,曲线在该点 处的曲率越小(曲线越平坦);曲率半径越小,曲 率越大(曲线越弯曲).