（第10题图）（第7题图）虹口区2015学年度第一学期期终教学质量监控测试高三数学 试卷 2016.1考生注意：1.本试卷共4页，23道试题，满分150分，考试时间120分钟.2.本考试分设试卷和答题纸. 作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分.一、填空题（本大题满分56分）本大题共14题，只要求在答题纸相应题号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．函数1()2x f x +=的反函数1()_________.f x -=2．设全集{},11,U R A x x ==->若集合则UA =______.3．若复数z 满足201520161zi i i=++（i 为虚数单位），则复数z=______. 4．在二项式81)x的展开式中，常数项的值为______.（结果用数字表示） 5．行列式12cos()tan 25cos cot()x x xx ππ+-的最大值为______.6. 在等差数列{}n a 中，1352469,15,a a a a a a ++=++= 则数列{}n a 的前10项的和等于_____.7．如图，已知双曲线C 的右焦点为F ，过它的右顶点A 作实轴的垂线，与其一条渐近线相交于点B ；若双曲线C 的 焦距为4，OFB ∆为等边三角形（O 为坐标原点，即双曲线 C 的中心），则双曲线C 的方程为_________________.8.已知数据128,,,x x x 的方差为16，则数据121,x +2821,,21x x ++的标准差为 .9.已知抛物线28x y =的弦AB 的中点的纵坐标为4 ，则AB 的最大值为__________.10．如图所示，半径2R =的球O 中有一内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与圆柱的侧面积之差等于___________.11. 锅中煮有肉馅、三鲜馅、菌菇馅的水饺各5个，这三种水饺的外形完全相同. 从中任意舀取4个水饺，则每种水饺都至少取到1个的概率为___________.（结果用最简分数表示）12. 设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,若12364,a a a =且2135215()(),n n S a a a a n N *-=++++∈则______.n a =13．在由正整数构成的无穷数列{}n a 中，对任意的1,,n n n N a a *+∈≤都有且对任意的,k N *∈数列{}n a 中恰有k k 个，则2016________.a =14. 若函数()()()2,1,3,1x a x f x x a x a x ⎧-≤⎪=⎨-->⎪⎩恰有两个零点，则实数a 的取值范围是___________.二、选择题（本大题共4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应题号上，将所选答案的代号涂黑，选对得 5分，否则一律零分.15. 设αβ、为两个不同平面，若直线lα在平面内，则l αββ⊥⊥“”是“”的 （ ）（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件 16 . 已知直线544x x ππ==和是函数()sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<图像的两条相邻的对称轴，则ϕ的值为（ ） （A ）4π （B ）3π （C ）2π（D ）34π17.已知a b 、均为单位向量，且0.a b ⋅=若435,c a c b -+-=则c a +的取值范围是(（第19题图）ABCP QA 1B 1C 1)（A）3,⎡⎣（B ）[]3,5 （C ）[]3,4 （D）5⎤⎦ 18．设函数22,0,(),0,x x f x log x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩若关于x 的方程()f x a =有四个不同的解1234,,,,x x x x且1234,x x x x <<<则3122341()x x x x x ++的取值范围是( )（A ）()3,-+∞ （B ）(),3-∞ （C ）[)3,3- （D ）(]3,3-三、解答题（本大题共5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸的规定区域内写出必要的步骤.19．(本题满分12分) 本题共2个小题，每小题6分.如图，在正三棱柱111ABC A B C - 中，已知它的底面边长为10， 高为20 .(1) 求正三棱柱111ABC A B C -的表面积与体积；(2) 若P Q 、分别是1BC CC 、的中点，求异面直线PQ AC 与所成角的大小（结果用反三角函数表示）.20．(本题满分14分) 本题共2个小题，每小题7分. 已知ABC ∆的面积为S ，且.AB AC S ⋅=（1） 求sin cos ,tan 2A A A ,的值；（2） 若,6,4B CA CB π=-=求ABC ∆的面积S .21．(本题满分14分) 本题共2个小题，第1小题6分， 第2小题8分. 对于函数1(),1f x x=-定义[]11()(),()()().n n f x f x f x f f x n N *+==∈已知偶函数()g x 的定义域为(,0)(0,),(1)0g -∞⋃+∞=；20150,1()().x x g x f x >≠=当且时，（1）求234(),(),(),f x f x f x 并求出函数()y g x =的解析式；(2) 若存在实数,()a b a b <使得函数[](),g x a b 在上的值域为[],mb ma ，求实数m 的取值范围.22. (本题满分16分) 本题共3个小题，第1小题6分，第2小题4分，第2小题6分.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且20,2().n n S S n na n N *=+=∈（1） 计算1234,,,,a a a a 并求数列{}n a 的通项公式；（2） 若数列{}n b 满足12335(21)23,n n n b b b n b a ++++-=⋅+求证：数列{}n b 是等比数列； （3）由数列{}n a 的项组成一个新数列{}n c ：1122334567,,,,c a c a a c a a a a ==+=+++1112212221,n n n n n c a a a a ---++-=++++. 设n T 为数列{}n c 的前n 项和，试求lim4nnn T →∞的值.23. (本题满分18分) 本题共3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第2小题8（第23题图）分.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左焦点为,F 短轴的两个端点分别为,A B 、且2,AB =ABF ∆为等边三角形 .(1) 求椭圆C 的方程；(2) 如图，点M 在椭圆C 上且位于第一象 限内，它关于坐标原点O 的对称点为N ； 过点 M 作x 轴的垂线，垂足为H ，直线NH 与椭圆C 交于另一点J ，若12HM HN ⋅=-，试求以线段NJ 为直径的圆的方程；（3）已知12l l 、是过点A 的两条互相垂直的直线，直线1l 与圆22:4O x y +=相交于P Q 、两点，直线2l 与椭圆C 交于另一点R ；求PQR ∆面积取最大值时，直线1l 的方程.虹口区2015学年度第一学期期终教学质量监控测试 高三数学 参考答案和评分标准 2016年1月一、填空题（本大题共14题,每题4分,满分56分）1．2log 1(0)x x -> 2．[]0,2 3. 2 4．285． 13 6. 80 7. 2213y x -= 8． 8 9. 12 10． 8π 11．509112. 14n -13．63 14．()1,12,3⎛⎤⋃+∞ ⎥⎝⎦二、选择题（本大题共4题，每题5分，满分20分）15. B 16. A 17. B 18. D 三、解答题（本大题共5题，满分74分）C 1B 1A 1QPCBA（第19题图）19．(本题满分12分) 本题共2个小题，每小题6分. 解：（1）1111122=23=210+31020600)ABC ABC A B C ABB A S S S cm ∆-+⨯⨯=+正三棱柱侧矩形 ……(3分)111231=1020)ABC ABC A B C V S AA cm -∆⋅⨯=正三棱柱……(6分)（2）连结11,,BA BC 则1//,BC PQ 又11//,A C AC故11BC A ∠等于异面直线PQ AC 与所成角. ……(8分)易得111110BC BA AC ===而，故222111111111cos 2BC A C BA BC A BC A C +-∠==⋅⋅于是异面直线PQ AC 与所成角的大小为arc ……(12分)20．(本题满分14分) 本题共2个小题，每小题7分. 解：（1）由AB AC S ⋅=得 1cos sin 2c b A c b A ⋅⋅=⋅⋅⋅tan 2,0,.2A A π⎛⎫⇒=∈ ⎪⎝⎭于是 ……(4分)进而求得4sin ,cos tan 2.3A A A ===- ……(7分)（2）66, 6.CA CB BA c -===由得即 ……(9分)6sin sin sin sin()b c c B b B C A B =⇒===+由正弦定理，有 (12))11sin 612.22S bc A =⋅=⋅=于是 ……(14分)21．(本题满分14分) 本题共2个小题，第1小题6分， 第2小题8分. 解：（1）因为()11()()1,1f x f x x x==≠-故 []()2111()()10,1,111f x ff x x x xx===-≠≠--[][]32431()()(0,1),11(1)1()()(0,1),(3)1f x ff x x x x xf x f f x x x x===≠≠--==≠≠-分故对任意的3,()()(2,3,4),n i i n N f x f x i +∈==有于是20153671221()()()1(0,1);f x f x f x x x x ⨯+===-≠≠201510,1()()1.x x g x f x x>≠==-故当时，1(1)0,0()1.g x g x x =>=-又故当时，由()g x 为偶函数，1100,()()11.x x g x g x x x<->=-=-=+-当时， 11,0,1()1110.x x g x xx x⎧+<⎪⎪==-⎨⎪->⎪⎩，因此. ……(6分) (2) 由于()y g x =的定义域为(,0)(0,)-∞⋃+∞又,,a b mb ma a b <<可知与同号，0m <且;进而[](),g x a b 在递减,且0.a b << ……(8分)函数()y g x =的图像，如图所示. 由题意，有1()1,1()1,g a ma a g b mb b ⎧=+=⎪⎪⎨⎪=+=⎪⎩……(10分)故,a b 是方程11m x x+=的两个不相等的负实数根，即方程210m x x --=在(),0-∞上有两个不相等的实根，于是140101010.4m a b m ab m m ⎧⎪∆=+>⎪⎪+=<⎨⎪⎪=->⎪⎩⇔-<< ……(12分)综合上述，得：实数m 的取值范围为1,0.4⎛⎫- ⎪⎝⎭……(14分) 注：若采用数形结合，得出直线y m x =与曲线11(0)y x x=+<有两个不同交点，并进行求解也可.22. (本题满分16分) 本题共3个小题，第1小题6分，第2小题4分，第2小题6分. 解：（1）当1n =时，由1121,S a +=得11;a =- 由2120,S a a =+=得21;a = 当3n =时，由33323233,S a a +=+=得33;a =当4n =时，由444242104,S a a +=+=得4 5.a =猜想：23().n a n n N *=-∈ ……(3分) 下面用数学归纳法证明：① 当2n =时， 21,a =结论显然成立；② 假设当2n k =≥时，2 3.k a k =-由条件知2,n n S na n =-故[]1111222(1)(1)()(1)1,k k k k k k k a S S k a k ka k k a ka ++++=-=+-+--=+--于是11(1)1(23)1(1)(21),2(1) 3.k k k k a ka k k k k a k ++-=+=-+=--=+-从而故数列{}n a 的通项公式为：23().n a n n N *=-∈ ……(6分)另解（1）：当1n =时，由1121,S a +=得11;a =- 由2120,S a a =+=得21;a =当3n =时，由33323233,S a a +=+=得3 3.a =当4n =时，由444242104,S a a +=+=得4 5.a = ……(2分) 当3n ≥时，由条件知2,n n S na n =-故()[]111222(1)(1)(1)1,n n n n n n n a S S na n n a n na n a ---=-=-----=---于是1111(2)(1)1,1221n n n n a a n a n a n n n n -----=⇒-=----- ……(4分) 112322()()()1122321111111111111()()()()()212233432211n n n n n a a a a a a aa n n n n n n n n n n ---=-+-++-+-----=+-+-+-++-+-=------从而故23(3).n a n n =-≥ 于是数列{}n a 的通项公式为：23().n a n n N *=-∈……(6分)证：（2）当1n =时， 11231,b a =+=当2n ≥时，由条件得[][]()()123112311111(21)35(23)(21)35(23)23232(23)2(25)2(8(1)2)n n n n n n n n n n n n b b b b n b n b b b b n b a a n n n -------=++++-+--++++-=⋅+-+=---=-分从而12.n n b -= 故数列{}n b 是以1为首项，2为公比的等比数列. ……(10分)解：（3）由题意，得1112212221111111(223)(221)(221)(227)(225)2(223)(225)(12)34224n n n n n n n n n n n n nnn c a a a a ---++------+=++++=⋅-+⋅-+⋅+++⋅-+⋅-⎡⎤⋅⋅-+⋅-⎣⎦==⋅-分22311223(444)(222)434(41)2(21)442344 (14)121n n n n n n n n T c c c +=+++=+++++++-⋅-=⋅-=-⋅+--故分从而 11lim lim 143 1.424nnn n n n T →∞→∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-⋅+=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦……(16分)注：在解答第（3）小题时，可直接求出n T .23. (本题满分18分) 本题共3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第2小题8分.解：（1）由题意，得22222,,,b c b b c a =⎧⎪=⎨⎪+=⎩ ……(2分)2,1,a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩解得 故椭圆C 的方程为22 1.4x y += ……(4分)（2）设00(,),M x y 则由条件，知000000,0,(,),(,0).x y N x y H x >>--且 从而000(0,),(,).HM y HN x y ==--于是由20000001(0,)(,),0,22HM HN y x y y y y ⋅=⋅--=-=->=及得 再由点M 在椭圆C 上，得220001,4x y x +==求得所以),(),0);M N H……(6分)进而求得直线NH的方程:40.x y-=由2240,1,4x yxy⎧-=⎪⎨+=⎪⎩J求得……(8分)进而NJ NJ=线段的中点坐标为因此以线段NJ为直径的圆的方程为：22153((.50x y+=……(10分)（3）当直线1l的斜率不存在时，直线2l与椭圆C相切于点A，不合题意；当直线1l的斜率为0时，可以求得PQRS∆=……(12分)当直线1l的斜率存在且不为0时，设其方程为1(0),y k x k=-≠则点O到直线1l的距离为d=从而由几何意义，得PQ==由于21,l l⊥故直线2l的方程为11,y xk=--可求得它与椭圆C的交点R的坐标为22284,;44k kk k⎛⎫---⎪++⎝⎭于是AR=12PQRS PQ AR∆⋅==故……(15分)u=令则232321313PQRuu uuS∆=≤++=当且仅当u k=>=即时，上式取等号.>故当k=时，()maxPQRS∆=此时直线1l的方程为：1.2y x=±-（也可写成220.y++=）……(18分)。