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2016-2017年高三一模数学(理)试题及答案

开始结束输出是否,0S S k ==?2>S kS S 2-=2+=k k k高中部2017届高三第一次模拟数学试题(理科)考试时间:120分钟 试卷满分:150分第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,满分60分. 1.已知集合2{|160}A x x =-<,{5,0,1}B =-,则 A.AB =∅ B .B A ⊆C .{0,1}A B =D .A B ⊆2.复数ii -1)1(2+等于A .i +1B .i --1C .i -1D .i +-13.某程序框图如图所示,若该程序运行后输出k 的值是6, 则输入的整数0S 的可能值为A.5B.6C.8D.154.已知直线1sin cos :=+θθy x l ,且l OP ⊥于P ,O 为坐标原点, 则点P 的轨迹方程为A .122=+y xB .122=-y xC .1=+y xD .1=-y x5.函数x e x f xln )(=在点))1(,1(f 处的切线方程是A.)1(2-=x e yB.1-=ex yC.)1(-=x e yD.e x y -= 6.“等式)2sin()sin(βγα=+成立”是“γβα、、成等差数列”的 A .充分而不必要条件 B .必要而不充分条件C .充分必要条件D .既不充分又不必要条件7.在各项均为正数的等比数列{}n a中,21=a ,542,2,a a a +成等差数列,n S 是数列{}n a 的前n 项的和,则=-410S SA.1008B.2016C.2032D.4032 8.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积是 A .90 B .92 C .98 D .104 9.半径为4的球面上有D C B A 、、、四点,AD AC AB 、、两两互相垂直,则ADB ACD ABC ∆∆∆、、面积之和的最大值为A .8B .16C .32 D.6410.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若0,0109<>S S ,则993322122,2,2aa a a ,中最大的是A .12a B .552a C .662a D .992a11.已知函数)()(()(321x x x x x x x f ---=)(其中321x x x <<),)12s i n (3)(++=x x x g ,且函数)(x f 的两个极值点为)(,βαβα<.设2,23221xx x x +=+=μλ,则A .)()()()(μβλαg g g g <<<B .)()()()(μβαλg g g g <<<C .)()()()(βμαλg g g g <<<D .)()()()(βμλαg g g g <<<12.设双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的右焦点为F ,过点F 作x 轴的垂线交两渐近线于点B A ,两点,且与双曲线在第一象限的交点为P ,设O 为坐标原点,若)R OB OA OP ∈+=μλμλ,(,8522=+μλ,则双曲线的离心率为( )A .332B .553C .223 D .89第Ⅱ卷(非选择题共90分)二.填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.若n S 是数列{}n a 的前n 项的和,且762++-=n n S n ,则数列{}n a 的最大项的值为___________.14.设221(32)=⎰-a x x dx ,则二项式261()-ax x展开式中的第4项为___________.15. 已知正方形ABCD 的边长为2,点E 为AB 的中点.以A 为圆心,AE 为半径,作弧交AD 于点F ,若P 为劣弧EF 上的动点,则PC PD 的最小值为___________.16.已知函数xx a x f 22)(1+=+在]3,21[-上单调递增,则实数a 的取值范围_________.三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本题满分12分)已知函数))(12(sin 2)62sin(3)(2R x x x x f ∈-+-=ππ(I )求函数)(x f 的最小正周期;(Ⅱ)求使函数)(x f 取得最大值的x 的集合.18.(本小题满分12分)如图,在四棱锥ABCD P -中,底面ABCD 是菱形,︒=∠60DAB ,,1,==⊥AD PD ABCD PD 平面 点,E F 分别为AB 和PD 中点.(Ⅰ)求证:直线PEC AF 平面//; (Ⅱ)求PC 与平面PAB 所成角的正弦值.19.(本小题满分12分)某网站用“10分制”调查一社区人们的治安满意度.现从调查人群中随机抽取16名,以下茎叶图记录了他们的治安满意度分数(以小数点前的一位数字为茎,小数点后的一位数字为叶).(I )若治安满意度不低于9.5分,则称该人的治安满意度为“极安全”,求从这16人中随机选取3人,至多有1人是“极安全”的概率; (II )以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据,若从该社区(人数很多)任选3人,记X 表示抽到“极安全”的人数,求X 的分布列及数学期望.20.(本小题满分12分)如图,已知直线1:+=my x l 过椭圆1:2222=+by a x C 的右焦点F ,抛物线:y x 342=的焦点为椭圆C 的上顶点,且直线l 交椭圆C 于B A 、两点,点B F A 、、在直线4=x g :上的射影依次为点E K D 、、.FE BDCAP(Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)若直线l 交y 轴于点M ,且BF MB AF MA 21λλ==,,当m 变化时,探求21λλ+的值是否为定值?若是,求出21λλ+的值,否则,说明理由.21.(本小题满分12分)设x m =和x n =是函数21()ln (2)2f x x x a x =+-+的两个极值点,其中 m n <,a R ∈.(Ⅰ) 求()()f m f n +的取值范围; (Ⅱ) 若12a e e≥+-,求()()f n f m -的最大值.22.(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲 如图所示,已知⊙O 的半径长为4,两条弦BD AC ,相交于点E ,若34=BD ,DE BE >,E为AC 的中点,AE AB 2=.(Ⅰ) 求证:AC 平分BCD ∠; (Ⅱ)求ADB ∠的度数.23.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程已知曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧==θθsin 3cos 2y x (其中θ为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线2C 的极坐标方程为01sin cos =+-θρθρ.(Ⅰ) 分别写出曲线1C 与曲线2C 的普通方程;(Ⅱ)若曲线1C 与曲线2C 交于B A ,两点,求线段AB 的长.24.(本小题满分10分) 选修4-5:不等式选讲 已知函数|12|)(-=x x f . (Ⅰ)求不等式2)(<x f 的解集;(Ⅱ)若函数)1()()(-+=x f x f x g 的最小值为a ,且)0,0(>>=+n m a n m ,求nn m m 1222+++的最小值. .ABCDEO高中部第三次模拟数学(理科)答案一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,满分60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.1.C2.D3.C4.A5.C6.B7.B8.D9.C 10.B 11.D 12.A 二.填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.12 14.31280-x 15.525- 16.[﹣1,1]三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(Ⅰ) f(x)=3sin(2x -π6)+1-cos2(x -π12)= 2[32sin2(x -π12)-12 cos2(x -π12)]+1 =2sin[2(x -π12)-π6]+1= 2sin(2x -π3) +1∴ T=2π2=π(Ⅱ)当f(x)取最大值时, sin(2x -π3)=1,有 2x -π3 =2k π+π2即x=k π+ 5π12(k ∈Z)∴所求x 的集合为{x ∈R|x= k π+ 5π12 , (k ∈Z)}.18.解:(Ⅰ)证明:作FM ∥CD 交PC 于M . ∵点F 为PD 中点,∴CD FM 21=. …………2分 ∵21=k ,∴FM AB AE ==21, ∴AEMF 为平行四边形,∴AF ∥EM , ……4分 ∵AF PEC EM PEC ⊄⊂平面,平面, ∴直线AF //平面PEC . ……………6分MFEBACDP(Ⅱ)60DAB ∠=,DE DC ∴⊥.如图所示,建立坐标系,则P (0,0,1),C (0,1,0),E (32,0,0),A (32,12-,0),31(,,0)22B ,∴31,,122AP ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭,()0,1,0AB =. …8分设平面PAB 的一个法向量为(),,n x y z =.∵0n AB ⋅=,0n AP ⋅=,∴⎪⎩⎪⎨⎧==++-02123y z y x ,取1x =,则32z =, ∴平面PAB 的一个法向量为3(1,0,)2n =. …………………………10分 设向量n PC θ与所成角为,∵(0,1,1)PC =-,∴3422cos 14724n PC n PCθ-⋅===-⨯, ∴P C 平面PAB 所成角的正弦值为4214..…………………………12分19.FEBACDyz x P20.解:(Ⅰ)易知椭圆右焦点F(1,0),∴c=1,抛物线的焦点坐标,∴∴b2=3 ∴a2=b2+c2=4∴椭圆C的方程(Ⅱ)易知m≠0,且l与y轴交于,设直线l交椭圆于A(x1,y1),B(x2,y2)由∴△=(6m)2+36(3m2+4)=144(m2+1)>0∴又由∴同理∴∵∴所以,当m变化时,λ1+λ2的值为定值;(Ⅲ)证明:由(Ⅱ)知A(x1,y1),B(x2,y2),∴D(4,y1),E(4,y2)方法1)∵当时,==∴点在直线l AE上,同理可证,点也在直线l BD上;∴当m变化时,AE与BD相交于定点方法2)∵=∴k EN =k AN ∴A 、N 、E 三点共线, 同理可得B 、N 、D 也三点共线; ∴当m 变化时,AE 与BD 相交于定点.解:函数()f x 的定义域为(0,)+∞,21(2)1()(2)x a x f x x a x x-++'=+-+=.依题意,方程2(2)10x a x -++=有两个不等的正根m ,n (其中m n <).故2(2)40020a a a ⎧+->⇒>⎨+>⎩, 并且 2,1m n a mn +=+=.所以,221()()ln ()(2)()2f m f n mn m n a m n +=++-++2211[()2](2)()(2)1322m n mn a m n a =+--++=-+-<- 故()()f m f n +的取值范围是(,3)-∞-(Ⅱ)解:当12a e e≥+-时,21(2)2a e e +≥++.若设(1)nt t m =>,则222()11(2)()22m n a m n t e mn t e ++=+==++≥++.于是有 111()(1)0t e t e t e t e te +≥+⇒--≥⇒≥222211()()ln ()(2)()ln ()()()22n n f n f m n m a n m n m n m n m m m -=+--+-=+--+-2222111ln ()ln ()ln ()22211ln ()2n n n m n n m n m m m mn m m n t t t-=--=-=--=-- 构造函数11()ln ()2g t t t t =--(其中t e ≥),则222111(1)()(1)022t g t t t t-'=-+=-<. 所以()g t 在[,)e +∞上单调递减,1()()122e g t g e e≤=-+.故()()f n f m -的最大值是1122e e-+22.(本小题满分10分)解:(1)由E 为AC 的中点,AE AB 2=得AB ACAE AB ==2 又CAB BAE ∠=∠ ABE ∆∴∽ACB ∆ ACB ABE ∠=∠∴ 又ABE ACD ∠=∠ ACB ACD ∠=∠∴故AC 平分BCD ∠………………5分(2)连接OA ,由点A 是弧BAD 的中点,则BD OA ⊥,设垂足为点F ,则点F 为弦BD 的中点,32=BF 连接OB ,则2)32(42222=-=-=BF OB OF ,224=-=-=OF OA AF ,60,2142cos =∠===∠∴AOB OB OF AOB 3021=∠=∠∴AOB ADB ………………10分.AB CDE OF23.(本小题满分10分)解:(1)曲线1C 134:22=+y x ,………………2分 曲线2C :01=+-y x ………………4分(2)联立⎪⎩⎪⎨⎧=+=+-1340122y x y x ,得08872=-+x x , 设),(),,(2211y x B y x A ,则78,782121-=-=+x x x x 于是7244)(2112122121=-+⋅=-+=x x x x x x AB . 故线段AB 的长为724.………………10分 24.(本小题满分10分) 解:(1)由2)(<x f 知2|12|<-x ,于是2122<-<-x ,解得2321<<-x ,故不等式2)(<x f 的解集为⎪⎭⎫ ⎝⎛-23,21;……………………3分 (2)由条件得2|)32(12||32||12|)(=---≥-+-=x x x x x g ,当且仅当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈23,21x 时,其最小值2=a ,即2=+n m …………………6分又()()223212*********+≥⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=+n m m n n m n m n m ,…………8分 所以n n m m 1222+++()22321212++≥+++=n m n m 2227+=, 故nn m m 1222+++的最小值为2227+,此时222,224-=-=n m .……10分 12分。

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