解决与三角形相关的取值范围问题例1：在锐角ABC V 中，2A B =，则c b的取值范围是例2：若ABC V 的三边,,a b c 成等比数列，,,a b c 所对的角依次为,,A B C ，则sin cos B B +的取值范围是例3：在ABC V 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且cos ,cos ,cos a C b B c A 成等差数列。

（1）求B 的大小。

（2）若5b =，求ABC V 周长的取值范围。

例4：在ABC V 中，22223a b c ab +=+，若ABC V ，则ABC V 的面积的最大值为例5：（2008，江苏）满足2,AB AC ==的ABC V 的面积的最大值是例6：已知角,,A B C 是ABC V 三个内角，,,a b c 是各角的对边，向量(1cos(),cos )2A B m A B -=-+u r ，5(,cos )82A B n -=r ，且98m n ⋅=u r r（1）求tan tan A B ⋅的值。

（2）求222sin ab Ca b c+-的最大值。

通过以上例题，我们发现与三角形相关的取值范围问题常常结合正弦定理、余弦定理、面积公式、数列、三角函数、基本不等式、二次函数、向量等知识综合考查。

这一类问题有利于考查学生对知识的综合运用能力，是高考命题的热点。

理顺这些基本知识以及技巧和方法可以提高我们解题的能力。

希望本文能对同学们复习备考有所帮助。

巩固练习1．在ABC V 中，2,1a c ==，则C ∠的取值范围为2．若钝角三角形的三内角的度数成等差数列，且最大边长与最小边长的比值为m ，则m 的取值范围是3．在 Rt ABC V 中，2C π=，且,,A B C 所对的边,,a b c 满足a b xc +=，则实数x 的取值范围为4．在锐角ABC V 中，2A B =，1AC =，则BC 的取值范围是 5．在锐角ABC V 中，三个内角,,A B C 成等差数列，记cos cos M A C =，则M 的取值范围是6．已知锐角三角形的边长分别为1,3,a ，则a 的取值范围是 7．已知ABC V 外接圆的半径为6，若面积22()ABC S a b c =--V 且4sin sin 3B C +=，则sin A = ，ABC S V 的最大值为8．在ABC V 中，(sin ,cos ),(cos ,sin )m A C n B A ==u r r，且sin sin m n B C ⋅=+u r r（1）求证：ABC V 为直角三角形（2）若ABC V 外接圆的半径为1，求ABC V 的周长的取值范围9．在ABC V 中,,A B C 所对的边分别为,,a b c A =（1）若222a c b mbc -=-，求实数m 的值（2）若a =ABC V 面积的最大值。

解决与三角形相关的取值范围问题例1：在锐角ABC V 中，2A B =，则c b的取值范围是 解析：由0222A B C A B πππ<=<<=--<且0得64B ππ<<，所以2sin sin 3sin 2cos cos 2sin 4cos 1sin sin sin c C B B B B B B b B B B+====-，又cos ,22B ∈所以24cos 1(1,2)cB b=-∈ 点评：①本题易错在求B 的范围上，容易忽视“ABC V 是锐角三角形”这个条件。

②本题涉及三角形边角之间的关系，考察边角互化，化多元为一元，体现了解题的通性通法。

例2：若ABC V 的三边,,a b c 成等比数列，,,a b c 所对的角依次为,,A B C ，则sin cos B B +的取值范围是 解析：由题设知2b ac=，又余弦定理知2222221cos 2222a cb ac ac ac ac B ac ac ac +-+--==≥=所以03B π<≤，又7sin cos )44412B B B B ππππ+=+<+<且所以)4B π+∈即sin cos B B +的取值范围是。

点评：本题将数列、基本不等式、三角函数、解三角形等知识结合起来，有利于提高学生解题的综合能力。

例3：在ABC V 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且cos ,cos ,cos a C b B c A 成等差数列。

（1）求B 的大小。

（2）若5b =，求ABC V 周长的取值范围。

解析：（1）由题意知cos cos 2cos a C c A b B +=，由正弦定理得sin cos sin cos 2sin cos A C C A B B += 所以sin()2sin cos A C B B +=，于是1cos ,23B B π==（2）由正弦定理sin sin sin a b c A B C ===，所以 255sin()510sin()36a b c A C A A A ππ++=++=+-+=++又由02A π<<得2663A πππ<+<，所以 510sin()(10,15]6a b c A π++=++∈。

点评：对三角函数式的处理常常借助于同角三角函数间关系、诱导公式以及恒等变换式等实施变形，达到化简、求值域的目的。

例4：在ABC V 中，22223a b c ab +=+，若ABC V 的外接圆半径为2，则ABC V 的面积的最大值为解析：又22223a b c ab +=+及余弦定理得2221cos 23a b c C ab +-==，所以sin 3C =， 又由于2sin 4c R C ==，所以2222cos c a b ab C =+-即2221623ab a b ab +=+≥所以12ab ≤，又由于1sin 23S ab C ab ==≤，故当且仅当a b ==时，ABC V 的面积取最大值点评：先利用余弦定理求cos A 的大小，再利用面积公式结合基本不等式，求面积的最大值，要注意正弦定理与余弦定理的综合应用。

例5：（2008，江苏）满足2,AB AC ==的ABC V 的面积的最大值是 解析：设BC x =，则AC =，根据面积公式得1sin 2ABC S AB BC B =⋅=V ①由余弦定理得22224cos 24AB BC AC x B AB BC x+--===⋅代入①式得ABCS ==V22x x +>+>且，所以22x <<，故当x =ABC S V 取得最大值。

点评：本题结合函数的知识，以学生熟悉的三角形为载体，考察了面积公式、余弦定理等知识，是一道考察解三角形的好题。

例6：已知角,,A B C 是ABC V 三个内角，,,a b c 是各角的对边，向量(1cos(),cos )2A B m A B -=-+u r ，5(,cos )82A Bn -=r ，且98m n ⋅=u r r（1）求tan tan A B ⋅的值。

（2）求222sin ab Ca b c +-的最大值。

解析：由(1cos(),cos )2A B m A B -=-+u r ，5(,cos )82A Bn -=r ，且98m n ⋅=u r r 得259[1cos()]cos 828A B A B --++=，所以4cos()5cos()A B A B -=+， 即cos cos 9sin sin A B A B =，所以1tan tan 9A B ⋅=（2）由余弦定理得222sin sin 1tan 2cos 2ab C ab C C a b c ab C ==+-，而tan tan 993tan()(tan tan )1tan tan 884A B A B A B A B ++==+≥⋅=-即tan()A B +有最小值34，又tan tan()C A B =-+，所以tan C 有最大值34-（当且仅当1tan tan 3A B ==时取等号）所以222sin ab C a b c +-的最大值为38-通过以上例题，我们发现与三角形相关的取值范围问题常常结合正弦定理、余弦定理、面积公式、数列、三角函数、基本不等式、二次函数、向量等知识综合考查。

这一类问题有利于考查学生对知识的综合运用能力，是高考命题的热点。

理顺这些基本知识以及技巧和方法可以提高我们解题的能力。

希望本文能对同学们复习备考有所帮助。

巩固练习1．在ABC V 中，2,1a c ==，则C ∠的取值范围为2．若钝角三角形的三内角的度数成等差数列，且最大边长与最小边长的比值为m ，则m 的取值范围是3．在 Rt ABC V 中，2C π=，且,,A B C 所对的边,,a b c 满足a b xc +=，则实数x 的取值范围为4．在锐角ABC V 中，2A B =，1AC =，则BC 的取值范围是 5．在锐角ABC V 中，三个内角,,A B C 成等差数列，记cos cos M A C =，则M 的取值范围是6．已知锐角三角形的边长分别为1,3,a ，则a 的取值范围是 7．已知ABC V 外接圆的半径为6，若面积22()ABC S a b c =--V 且4sin sin 3B C +=，则sin A = ，ABC S V 的最大值为8．在ABC V 中，(sin ,cos ),(cos ,sin )m A C n B A ==u r r，且sin sin m n B C ⋅=+u r r（1）求证：ABC V 为直角三角形（2）若ABC V 外接圆的半径为1，求ABC V 的周长的取值范围9．在ABC V 中,,A B C 所对的边分别为,,a b c A =（1）若222a c b mbc -=-，求实数m 的值 （2）若a =ABC V 面积的最大值。

参考答案1．11sin sin ,(0,]226C A C π=≤∈2．(2,)+∞ 3．4．同例1知64B ππ<<，由正弦定理sin sin 22cos sin sin AC A BBC B B B===∈ 5．易知2,33B A C ππ=+=，则2cos cos cos cos()3M A C A A π==-21cos 111cos cos 2sin(2)24264A A A A A A π+=-+=-=-- 由于203A π<<，所以72666A πππ-<-<，故1111sin(2)(,]26424M A π=--∈-6.设1,3,a 所对的角分别为,,A B C ，由三角形三边关系有13,1331a a a +>+>+>且，故24a <<，易知B A >，要保证ABC V 为锐角三角形，只需cos 0,cos 0B C >>，即222222131********a a a +-+->>⋅⋅⋅⋅且，解得a <<7．由22()ABC S abc =--V ，得222sin (2)2Aa b c bc =++- 由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，故有sin 22cos 2AA -=，易得A 为锐角，且22sin 42sin 4cos 4A A A -+=，即217sin 8sin 0A A -=，故有8sin 17A =， 则42(sin sin )12163b c R B C +=+=⋅=21sin 4256sin ()642221717ABC A b c S bc A +=≤=⋅=V （当且仅当8b c ==时取等号）即ABC S V 的最大值为256178．（1）由(sin ,cos ),(cos ,sin )m A C n B A ==u r r，且sin sin m n B C ⋅=+u r r得sin cos sin cos sin sin A B A C B C +=+， 由正弦定理得cos cos a B a C b c +=+，由余弦定理得22222222a c b a b c a a b c ac ab+-+-⋅+⋅=+ 整理得222()()0b c a b c +--=又由于0b c +>，故222a b c =+，即ABC V 是直角三角形 （或者：由sin cos sin cos sin sin A B A C B C +=+得，sin cos sin cos sin()sin()A B A C A C A B +=+++化简得cos (sin sin )0A B C +=，由于sin sin 0B C +>，故cos 0A =， 即ABC V 是直角三角形）（2）设ABC V 内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c由于ABC V 外接圆的半径为1，2A π=，所以2sin 2a R A ==，所以2(sin cos )2(sin cos ))4b c R B B B B B π+=+=+=+又02B π<<，故3444B πππ<+<，因而)4B π+∈故42a b c <++≤+即ABC V 的周长的取值范围为(4,2+9．（1A =22sin 3cos A A = 即(2cos 1)(cos 2)0A A -+=，解得1cos 2A =由222a cb mbc -=-得22222b c a mbc +-= 即1cos 22m A ==，所以1m =（2）由（1）知1cos 2A =，则sin 2A =， 又222122b c a bc +-=，所以22222bc b c a bc a =+-≥-，即2bc a ≤，故211sin 2224ABC S bc A a =≤⋅=V。