解三角形求取值范围问题类型1：正弦定理+外接圆半径+三角函数1.在ABC ∆中，若3sin 4B =，10b =，则边长c 的取值范围是（ ） A. 15(,)2+∞ B. (10,)+∞ C. 40(0,]3 D. (0,10)2．在△ABC 中，C=，AB=3，则△ABC 的周长为（ ） A ．B ．C ．D ．3．在△ABC 中，，则△ABC 的周长为（ ）A ．B ．C ．D ．4．在ABC ∆中，c b a ,,分别为内角C B A ,,所对的边，若3=a ，3π=A ，则c b +的最大值为（ ）A ．4B ． 33 C. 32 D ．25．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知3a =，tan 21tan A cB b+=，则b c +的最大值为___6____．6．在锐角△ABC 中， a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，且 3a ＝2c sin A . (1)确定角C 的大小；(2)若c ＝3，求△ABC 周长的取值范围． 解：(1)已知a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，由 3a ＝2c sin A ，得 3sin A ＝2sin C sin A ，又sin A ≠0，则sin C ＝32， ∴C ＝π3或C ＝2π3，∵△ABC 为锐角三角形，∴C ＝2π3舍去，∴C ＝π3. (2)∵c ＝3，sin C ＝32，∴由正弦定理得：a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝332＝2，即a ＝2sin A ，b ＝2sin B ，又A ＋B ＝π－C ＝2π3，即B ＝2π3－A ，∴a ＋b ＋c ＝2(sin A ＋sin B )＋ 3＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin A ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－A ＋ 3＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin A ＋sin 2π3cos A －cos 2π3sin A ＋ 3＝3sin A ＋3cos A ＋ 3＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫sin A cos π6＋cos A sin π6＋3＝23·si n ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π6＋3， ∵△ABC 是锐角三角形，∴π6＜A ＜π2，∴32＜sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π6≤1，则△ABC 周长的取值范围是(3＋3，3 3 ]．7. 在锐角△ABC 中，a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 的对边，且c=2，∠C=60°，求a +b 的取值范围． 解：由正弦定理知，则a=，b=，而C=60°，所以a+b==4sin （A+30°） 因为锐角△ABC ，C=60°，则30°＜A ＜90°，所以a+b ∈（2，4]∴a+b 的取值范围为（2，4]．8.已知角A 、B 、C 为△ABC 的三个内角，其对边分别为a 、b 、c ，若a 2＝b 2＋c 2+bc ，且a ＝23．（Ⅰ）若△ABC 的面积S ＝3，求b ＋c 的值； （Ⅱ）求b ＋c 的取值范围． 【解析】 （1）∵a 2＝b 2＋c 2+bc ，∴2221cos 22b c a A bc +-==-，即cosA ＝－12，又∵A ∈(0，π)，∴A ＝2π3. 又由S △ABC ＝12bcsinA ＝3，所以bc ＝4，由余弦定理得：12=a 2＝b 2＋c 2－2bc·cos 2π3＝b 2＋c 2＋bc ，∴16＝(b ＋c)2，故b ＋c ＝4. （2）由正弦定理得：b sinB ＝c sinC ＝a sinA ＝23sin 2π3＝4，又B ＋C ＝π－A ＝π3，∴b ＋c ＝4sinB ＋4sinC ＝4sinB ＋4sin(π3－B)＝4sin(B ＋π3)，∵0＜B ＜π3，则π3＜B ＋π3＜2π3，则32＜sin(B ＋π3)≤1，即b ＋c 的取值范围是(23，4].9．已知角CB A ,,为ABC ∆的三个内角，其对边分别为cb a ,,，若)2sin ,2cos(A A -=m ，)2sin ,2(cos A A =n ，32=a ，且21=⋅n m ．（I ）若ABC ∆的面积3=S ，求c b +的值； （II ）求c b +的取值范围．【解析】（I ）)2sin ,2cos (A A m -=，)2sin ,2(cos A A n =，且21=⋅n m .212sin 2cos 22=+-∴A A ，即21cos =-A ，又),0(π∈A ，32π=∴A 又由3sin 21=⋅=∆A bc S ABC ，4=∴bc 由余弦定理得：bc c b bc c b a ++=⋅-+=2222232cos 2π2)(16c b +=∴，故4=+c b（II ）由正弦定理得：432sin 32sin sin sin ====πA a C c B b ，又3ππ=-=+A C B ，)3sin(4)3sin(4sin 4sin 4sin 4ππ+=-+=+=+∴B B B C B c b30π<<B ，则3233πππ<+<B .则1)3sin(23≤+<πB ，即c b +的取值范围是].4,32( 10．在△ABC 中，设角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos 2A ＝sin 2B ＋cos 2C ＋sin A sin B.(1)求角C 的大小；(2)若c ＝3，求△ABC 周长的取值范围． 解：(1)由题意知1－sin 2A ＝s in 2B ＋1－sin 2C ＋sin A ·sin B ， 即sin 2A ＋sin 2B －sin 2C ＝－sin A sin B ，由正弦定理得a 2＋b 2－c 2＝－ab ，由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－ab 2ab ＝－12.又因为0<C <π，所以C ＝2π3.(2)由正弦定理得a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2，所以a ＝2sin A ，b ＝2sin B ，则△ABC 的周长为L ＝a ＋b ＋c ＝2(sin A ＋sin B )＋3＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin A ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－A ＋3＝2s in ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π3＋ 3.因为0<A <π3，所以π3<A ＋π3<2π3，所以32<sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3≤1，所以23<2sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π3＋3≤2＋3，所以△ABC 周长的取值范围是(23，2＋3]． 类型2：正弦定理+三角函数+角的范围1．在锐角△ABC 中，A=2B ，则的取值范围是（ ） A ．B ．C ．D ．2.在△ABC 中，若C ＝2B ，求cb 的取值范围.解 因为A ＋B ＋C ＝π，C ＝2B ，所以A ＝π－3B >0，所以0<B <π3，所以12<cos B <1，所以1<2cos B <2，又c b ＝sin C sin B ＝sin 2B sin B ＝2cos B ，所以1<cb <2.3.在△ABC 中，B ＝3A ，求ba 的取值范围.解 由正弦定理得b a ＝sin B sin A ＝sin 3A sin A ＝sin (A ＋2A )sin A ＝sin A cos 2A ＋cos A sin 2Asin A ＝cos 2A ＋2cos 2A ＝4cos 2A －1.∵A ＋B ＋C ＝180°，B ＝3A .∴A ＋B ＝4A <180°， ∴0°<A <45°.∴22<cos A <1，∴1<4cos 2 A －1<3，∴1<b a <3. 4．在△ABC 中，若acosA=bsinA ，且B ＞，则sinA +sinC 的最大值是（ ） A ．B ．C ．1D ．解：∵acosA=bsinA ，∴，又由正弦定理得，∴sinB=cosA=sin （），∵B，∴π﹣B=．∴B=A +．∴C=π﹣A ﹣B=．∴sinA +sinC=sinA +cos2A=﹣2sin 2A +sinA +1=﹣2（sinA ﹣）2+． ∵0，，∴0，∴0＜sinA．∴当sinA=时，sinA +sinC 取得最大值．5.在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 分别对应边a ，b ，c ，且a ＝2b sin A ，求cos A ＋sin C 的取值范围.解 ∵a ＝2b sin A ，∴由正弦定理得sin A ＝2sin B sin A ，又∵A ∈(0，π2)，sin A ≠0，∴sin B ＝12.∵B 为锐角，∴B ＝π6.令y ＝cos A ＋sin C ＝cos A ＋sin []π－(B ＋A )＝cos A ＋sin ⎝⎛⎭⎫π6＋A ＝cos A ＋sin π6cos A ＋cos π6sin A ＝32cos A ＋32sin A ＝3sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π3. 由锐角△ABC 知，π2－B <A <π2，∴π3<A <π2.∵2π3<A ＋π3<5π6，∴12<sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π3<32， ∴32<3sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π3<32，即32<y <32. ∴cos A ＋sin C 的取值范围是⎝⎛⎭⎫32，32.6．在△ABC 中，a 2＋c 2＝b 2＋2ac .(1)求∠B 的大小；(2)求2cos A ＋cos C 的最大值．解：(1)由余弦定理及题设条件得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝2ac 2ac ＝22.又0<∠B <π，所以<B ＝π4.(2)由(1)知∠A ＋∠C ＝3π4，则 2cos A ＋cos C ＝2cos A ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－A ＝2cos A －22cos A ＋22sin A ＝22cos A ＋22sin A ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫A －π4.因为0<∠A <3π4，所以当∠A ＝π4时，2cos A ＋cos C 取得最大值1. 7.在△ABC 中，已知(sin A ＋sin B ＋sin C )·(sin B ＋sin C －sin A )＝3sin B sin C . (1)求角A 的值；(2)求3sin B －cos C 的最大值.解(1)∵(sin A ＋sin B ＋sin C )(sin B ＋sin C －sin A )＝3sin B sin C ， ∴由正弦定理得(a ＋b ＋c )(b ＋c －a )＝3bc ， ∴b 2＋c 2－a 2＝bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12.∵A ∈(0，π)，∴A ＝π3. (2)由A ＝π3得B ＋C ＝2π3，∴3sin B －cos C ＝3sin B －cos ⎝⎛⎭⎫2π3－B ＝3sin B －⎝⎛⎭⎫－12cos B ＋32sin B ＝sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π6. ∵0＜B ＜2π3，∴π6＜B ＋π6＜5π6，∴当B ＋π6＝π2，即B ＝π3时，3sin B －cos C 的最大值为1.类型三：利用基本不等式求范围1. 在锐角三角形ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且3a －2c sin A ＝0.(Ⅰ)求角C 的大小；(Ⅱ)若 c ＝2，求a ＋b 的最大值．2．设函数21()sin 2cos ()24f x x x π=-+． （1）若(0,)x π∈，求()f x 的单调递增区间；（2）在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若()0,12B f b ==，求ABC ∆面积的最大值．【解析】：（1）由题意可知，1cos(2)112()sin 2sin 2222x f x x x π++=-=-， 由222,22k x k k Z ππππ-≤≤+∈，所以()f x 的单调递增区间是0,4π⎛⎤ ⎥⎝⎦和3,4ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭． （2）由1()sin 022Bf B =-=，可得1sin 2B =，由题意知B 为锐角，所以3cos B =， 由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，可得：22132ac a c ac =+≥，即23ac ≤+，且当a c=时等号成立，因此123sin 2ABC S ac B ∆+=≤ABC ∆面积的最大值为234+．3．(2015·山东高考)设f (x )＝sin x cos x －cos 2x ＋π4.(1)求f (x )的单调区间；(2)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若f ⎝⎛⎭⎫A 2＝0，a ＝1，求△ABC 面积的最大值．解：(1)由题意知f (x )＝sin 2x 2－1＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π22＝sin 2x 2－1－sin 2x 2＝sin 2x －12.由－π2＋2k π≤2x ≤π2＋2k π，k ∈Z ，可得－π4＋k π≤x ≤π4＋k π，k ∈Z ；由π2＋2k π≤2x ≤3π2＋2k π，k ∈Z ，可得π4＋k π≤x ≤3π4＋k π，k ∈Z.所以f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤－π4＋k π，π4＋k π(k ∈Z)， 单调递减区间是⎣⎡⎦⎤π4＋k π，3π4＋k π(k ∈Z)． (2)由f ⎝⎛⎭⎫A 2＝sin A －12＝0，得sin A ＝12，由题意知A 为锐角，所以cos A ＝32. 由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，可得1＋3bc ＝b 2＋c 2≥2bc ，即bc ≤2＋3，当且仅当b ＝c 时等号成立．因此12bc sin A ≤2＋34.所以△ABC 面积的最大值为2＋34.。