解三角形中的取值范围问题
1、已知a,b,c 分别为ABC ∆的三个内角,,A B C 的对边，且2cos 2b C a c =-。

（1）求角B 的大小；
（2）若ABC ∆b 的长度的取值范围。

解析：（1）由正弦定理得2sin cos 2sin sin B C A C =-，在ABC ∆中，
sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+，所以sin (2cos 1)0C B -=。

又因为0,sin 0C C π<<>，所以1
cos 2
B =，而0B π<<，所以3B π=
（2）因为1
sin 2
ABC S ac B ∆=
= 所以4ac = 由余弦定理得2
2
2
2
2
2scos b a c ac B a c ac ac =+-=+-≥，即2
4b ≥，所以2b ≥
2、在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知cos (cos )cos 0C A A B +=. (1) 求角B 的大小;（2）若a +c =1,求b 的取值范围
【
答
案
】
解
:(1)
由
已
知
得
cos()cos cos cos 0
A B A B A B -++= 即有
s i n n 3s i n c o s
A A
B =
因为sin 0A ≠,所以sin 0B B =,又cos 0B ≠,所以tan B =又0B π<<,所以3
B π
=.
(2)由余弦定理,有2
2
2
2cos b a c ac B =+-. 因为11,cos 2a c B +==,有2
2113()24
b a =-+. 又01a <<,于是有
21
14
b ≤<,即有112b ≤<.
3、已知(2cos 23sin ,1),(cos ,)m x x n x y =+=-，满足0m n ⋅=． （I ）将y 表示为x 的函数()f x ，并求()f x 的最小正周期； （II ）已知,,a b c 分别为ABC ∆的三个内角,,A B C 对应的边长，若3)2
A
(
=f ，且2a =，求b c +的取值范围．
4、已知向量(3sin
,1)4x m =，2(cos ,cos )44
x x
n =，()f x m n = (1)若()1f x =，求cos()3
x π
+
的值；
(2)在ABC ∆中，角A B C 、、的对边分别是a b c 、、，且满足1
cos 2
a C c
b +=，求函数()f B 的取值范围. 【解析】
解：（1）
()2111
cos cos cos sin ,4442222262
x x x x x x f x m n π⎛⎫=⋅=+=++=++ ⎪⎝⎭
而()1
1,sin .262
x f x π⎛⎫=∴+= ⎪⎝⎭
21
cos cos 212sin .326262
x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+=+=-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
（2）22211cos ,,222
a b c a C c b a c b ab +-+=∴⋅+=即2221
,cos .2b c a bc A +-=∴=
又
()0,,3
A A π
π∈∴=
又20,,36262B B ππππ<<
∴<+<()31,.2f B ⎛⎫
∴∈ ⎪⎝⎭
5、已知锐角ABC ∆中内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，2
2
6cos a b ab C +=，且2
s
i n 2s i n s i n C A B =.
（Ⅰ）求角C 的值； （Ⅱ）设函数()sin()cos (0)6
f x x x π
ωωω=-->，()f x 且图象上相邻两最高点间的距离为π，求()f A 的取
值范围.
解：（Ⅰ）因为C ab b a cos 62
2
=+,由余弦定理知C ab c b a cos 22
2
2
+=+所以ab
c C 4cos 2
=.
又因为B A C sin sin 2sin 2=,则由正弦定理得:ab c 22
=,
所以2
1
424cos 2===
ab ab ab c C ,所以3π=C .
（Ⅱ）3()sin()cos cos )6
23
f x x x x x x π
πωωωωω=--=
-=-
由已知
2,2==ωπωπ,则()),3f A A π
=-
因为3C π=,23B A π=
-,由于0,022A B ππ
<<<<, 所以62A ππ<<, 20233
A ππ<-<.
根据正弦函数图象,所以0()f A <≤
6、在ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，
,3
2
C π
π
<<
且
sin 2sin sin 2b C
a b A C
=--。

（1）判断的形状；（2）若||2BA BC +=，求BA BC ⋅的取值范围。

答案：（1）
sin sin 2,sin sin 2,22sin sin sin sin 2B C
B C B C B C A B A C
π=∴=∴=+=--或，若2B C =，因为
2,,()323
C B B C πππππ<<∴<<∴+>舍2,,B C A C ABC π∴+=∴=∴∆为等腰三角形。

（2）2
2
2
2
2||2,2cos 4,cos a
BA BC a c ac B B a
-+=∴++=∴=，
而2
142cos cos 2,cos 1,1,,1233B C B a BA BC ⎛⎫
=-∴
<<∴<<∴⋅∈ ⎪⎝⎭
，。