习题一答案1． 求下列复数的实部、虚部、模、幅角主值及共轭复数：（1）132i+ （2）(1)(2)i i i --（3）131i i i-- （4）8214i i i -+-解：（1）1323213iz i -==+， 因此：32Re , Im 1313z z ==-，1232, arg arctan , 3131313z z z i ==-=+（2）3(1)(2)1310i i iz i i i -+===---，因此，31Re , Im 1010z z =-=，1131, arg arctan , 3101010z z z i π==-=--（3）133335122i i iz i i i --=-=-+=-， 因此，35Re , Im 32z z ==-，34535, arg arctan , 232i z z z +==-=（4）82141413z i i i i i i =-+-=-+-=-+因此，Re 1, Im 3zz =-=，10, arg arctan3, 13z z z i π==-=--2． 将下列复数化为三角表达式和指数表达式： （1）i （2）13i -+（3）(sin cos )r i θθ+（4）(cos sin )r i θθ- （5）1cos sin (02)i θθθπ-+≤≤解：（1）2cossin22iii e πππ=+=（2）13i -+23222(cos sin )233i i e πππ=+=（3）(sin cos )r i θθ+()2[cos()sin()]22ir i reπθππθθ-=-+-=（4）(cos sin )r i θθ-[cos()sin()]i r i re θθθ-=-+-=（5）21cos sin 2sin2sin cos 222i i θθθθθ-+=+ 22sin [cossin]2sin 2222ii eπθθπθπθθ---=+=3． 求下列各式的值： （1）5(3)i - （2）100100(1)(1)i i ++-（3）(13)(cos sin )(1)(cos sin )i i i i θθθθ-+-- （4）23(cos5sin 5)(cos3sin 3)i i ϕϕϕϕ+-（5）3i （6）1i +解：（1）5(3)i -5[2(cos()sin())]66i ππ=-+-5552(cos()sin())16(3)66i i ππ=-+-=-+（2）100100(1)(1)i i ++-50505051(2)(2)2(2)2i i =+-=-=-（3）(13)(cos sin )(1)(cos sin )i i i i θθθθ-+--2[cos()sin()](cos sin )332[cos()sin()][cos()sin()]44i i i i ππθθππθθ-+-+=-+--+-2[cos()sin()](cos2sin 2)1212i i ππθθ=-+-+(2)122[cos(2)sin(2)]21212ii eπθππθθ-=-+-=（4）23(cos5sin 5)(cos3sin 3)i i ϕϕϕϕ+- cos10sin10cos19sin19cos(9)sin(9)i i i ϕϕϕϕϕϕ+==+-+- （5）3i 3cossin22i ππ=+11cos (2)sin (2)3232k i k ππππ=+++31, 02231, 122, 2i k i k i k ⎧+=⎪⎪⎪=-+=⎨⎪-=⎪⎪⎩（6）1i +2(cossin )44i ππ=+ 4112[cos (2)sin (2)]2424k i k ππππ=+++48482, 02, 1i i e k e k ππ⎧=⎪=⎨⎪-=⎩4． 设121, 3,2iz z i +==-试用三角形式表示12z z 与12z z解：12cossin, 2[cos()sin()]4466z i z i ππππ=+=-+-，所以 12z z 2[cos()sin()]2(cos sin )46461212i i ππππππ=-+-=+，12z z 1155[cos()sin()](cos sin )2464621212i i ππππππ=+++=+ 5． 解下列方程： （1）5()1z i += （2）440 (0)z a a +=>解：（1）51,z i += 由此2551k i z i ei π=-=-， (0,1,2,3,4)k =（2）4444(cos sin )za a i ππ=-=+11[cos (2)sin (2)]44a k i k ππππ=+++，当0,1,2,3k =时，对应的4个根分别为：(1), (1), (1), (1)2222a a a ai i i i +-+--- 6． 证明下列各题：（1）设,zx iy =+则2x y z x y+≤≤+证明：首先，显然有22z x y x y =+≤+；其次，因222,x y x y +≥固此有2222()(),x y x y +≥+ 从而222x y z x y +=+≥。

（2）对任意复数12,,z z 有2221212122Re()z z z z z z +=++证明：验证即可，首先左端221212()()x x y y =+++，而右端2222112211222Re[()()]x y x y x iy x iy =+++++-2222112212122()x y x y x x y y =+++++221212()()x x y y =+++，由此，左端=右端，即原式成立。

（3）若a bi +是实系数代数方程101100nn n a za z a z a --++++=的一个根，那么a bi -也是它的一个根。

证明：方程两端取共轭，注意到系数皆为实数，并且根据复数的乘法运算规则，()nn zz =，由此得到：10110()()0n n n a z a z a z a --++++=由此说明：若z 为实系数代数方程的一个根，则z 也是。

结论得证。

（4）若1,a =则,b a ∀≠皆有1a ba ab-=-证明：根据已知条件，有1aa =，因此：11()a b a b a b a ab a a ab a a b a ---====---，证毕。

（5）若1, 1a b <<，则有11a bab-<- 证明：222()()a b a b a b a b ab ab -=--=+--，2221(1)(1)1ab ab ab a b ab ab -=--=+--，因为1, 1a b <<，所以，2222221(1)(1)0a b ab a b +--=--< ，因而221a b ab-<-，即11a bab-<-，结论得证。

7．设1,z ≤试写出使n z a +达到最大的z 的表达式，其中n 为正整数，a为复数。

解：首先，由复数的三角不等式有1n n z a z a a +≤+≤+，在上面两个不等式都取等号时n z a +达到最大，为此，需要取nz与a 同向且1nz =，即nz 应为a 的单位化向量，由此，naz a=，na z a=8．试用123,,z z z 来表述使这三个点共线的条件。

解：要使三点共线，那么用向量表示时，21z z -与31z z -应平行，因而二者应同向或反向，即幅角应相差0或π的整数倍，再由复数的除法运算规则知2131z z Arg z z --应为0或π的整数倍，至此得到：123,,z z z 三个点共线的条件是2131z z z z --为实数。

9．写出过1212, ()z z z z ≠两点的直线的复参数方程。

解：过两点的直线的实参数方程为：121121()()x x t x x y y t y y =+-⎧⎨=+-⎩， 因而，复参数方程为：11212112()()z x i y x i y t x x i y i y zt z z=+=++-+-=+- 其中t 为实参数。

10．下列参数方程表示什么曲线？（其中t 为实参数）（1）(1)z i t =+ （2）cos sin z a t ib t =+ （3）iz t t=+解：只需化为实参数方程即可。

（1）,x t yt ==，因而表示直线y x =（2）cos ,sin x a t y b t ==，因而表示椭圆22221x y a b+=（3）1,x t yt==，因而表示双曲线1xy = 11．证明复平面上的圆周方程可表示为 0z z a z a z c +++=，其中a 为复常数，c 为实常数 证明：圆周的实方程可表示为：220xy Ax By c ++++=，代入, 22z z z z x y i+-==，并注意到222x y z zz +==，由此022z z z zzz AB c i+-+++=， 整理，得022A Bi A Bi zz z z c -++++= 记2A Bia +=，则2A Bi a -=，由此得到 0z z a z a z c +++=，结论得证。

12．证明：幅角主值函数arg z 在原点及负实轴上不连续。

证明：首先，arg z 在原点无定义，因而不连续。

对于00x <，由arg z 的定义不难看出，当z 由实轴上方趋于0x 时，arg zπ→，而当z 由实轴下方趋于0x 时，arg z π→-，由此说明0lim arg z x z →不存在，因而arg z 在0x 点不连续，即在负实轴上不连续，结论得证。

13．函数1w z=把z 平面上的曲线1x =和224x y +=分别映成w 平面中的什么曲线？解：对于1x =，其方程可表示为1z yi =+，代入映射函数中，得211111iyw u iv z iy y-=+===++， 因而映成的像曲线的方程为 221, 11yu v y y-==++，消去参数y ，得2221,1u v u y +==+即22211()(),22u v -+=表示一个圆周。

对于224x y +=，其方程可表示为2cos 2sin z x iy i θθ=+=+代入映射函数中，得11c o s s i n2c o s 2s i n 2i w u i v z i θθθθ-=+===+ 因而映成的像曲线的方程为11cos , sin 22u v θθ==-，消去参数θ，得2214u v +=，表示一半径为12的圆周。

14．指出下列各题中点z 的轨迹或所表示的点集，并做图： 解：（1）0 (0)z z r r -=>，说明动点到0z 的距离为一常数，因而表示圆心为0z ，半径为r 的圆周。