第十三届小学“希望杯”全国数学邀请赛六年级第1试试题吴乃华1、计算：12＋14＋18＋116＋132＝?_____________。

解：观察这这五个分数的分数值，刚好后一个是前一个的一半，现在，要求五个分数的分数的和，如右图，减去最后一个分数，不就是这五个分数的和了吗？所以，12＋14＋18＋116＋132＝1－132＝31322、将13999化成小数，小数部分在第2015位上的数字是_______________。

解：13999＝0.013013013…循环节为“013”，2015÷3＝671 (2)即2015位上的数字，是在此循环小数循环671次后的第二个数字，所以1.3、若四位数27AB能被13整除，则两位数AB的最大值是_____________。

解：根据能被13整除的特征，一个整数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差（以大减小）能被13整除，这个数就能被13整除。

因为，AB7－2＝AB5，这个三位数的个位是5，能被5整除，可知5AB是13与某数5的倍数的积。

由于AB5＝75×13＝975所以，两位数AB的最大值是97。

4、若一个分数的分子减少20%，并且分母增加28%，则新分数比原来的分数减少了______%。

解：本题旨在探讨新分数比原来的分数减少的百分数，与原分数是多少无关。

设原分数为37。

根据题意则新分数为：37+%⨯⨯（1-20%）（128）＝58×37因此新分数比原来的分数减少了1－58＝0.375＝37.5%。

5、若111111++++20112012201320142015＜a ＋1，则自然数a ＝______________。

解：假设111111++++20112012201320142015的分母部分是5个12015， 则1÷（12015×5）＝403； 假设是分母部分是5个12011，则1÷(12011×5)＝402.2； 可知，402.2＜12011＋12012＋12013＋12014＋12015＜403 可得a ≤4.02.2＋1≥403所以，a ＝4026、定义：符号{x}表示x 的小数部分，如{3.14}＝0.14，{0.5}＝0.5，那么，2015315412++345⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭＝_______________。

（结果用小数表示） 解：因为符号{x}表示x 的小数部分，2015÷3＝671.6，知，20153⎧⎫⎨⎬⎩⎭＝0.6； 315÷4＝78.75，知，3154⎧⎫⎨⎬⎩⎭＝0.75； 412÷5＝82.4，知，4125⎧⎫⎨⎬⎩⎭＝0.4 所以，2015315412++345⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭＝0.6＋0.75＋0.4＝1.816.7、甲、乙、丙三人共同制作了一批零件，甲制作了总数的30%，乙、丙制作的件数之比是3:4，已知丙制作了20件，则甲制作了_________件。

解：乙、丙共制作了总数的：1－30%＝70%乙制作了总数的：70%×33+4＝30%丙制作了总数的：1－30%－30%＝40%可知，甲、乙、丙三人共同制作了：20÷40%＝50（件）所以，甲制作了：50×30%＝15（件）8、已知x9，15y，14z都是最简真分数，并且它们的乘积是16，则x＋y＋z＝____________。

解：根据题意，x9×15y×14z＝16即，x9×15y×14z＝91514xyz⨯⨯＝16，可得xyz＝915146⨯⨯＝32×5×7由于x9，15y，14z都是最简真分数，x、y均不为3的倍数，只能有z＝9,x＝5,y＝7所以，x＋y＋z＝9＋5＋7＝21.9、如图一，有三只小老鼠发现一堆花生米，商量好第二天来平分。

第二天，第一只老鼠最早来到，它发现花生米无法平分，就吃了一粒，余下的恰好可以分成三份，它拿着自己的一份走了，第二只和第三只老鼠随后依次来到，遇到同样的问题，也采取了同样的方法，都是吃掉一粒后，把花生米分成三份，拿走其中的一份，那么，这堆花生米至少有_________粒。

解：根据题意，先、后三只老鼠发现的问题都是：花生米的粒数减1后，就能被3整除了。

本题可从第三只老鼠起，倒推。

如果第三只老鼠发现花生米数是1＋3＝4，那么，这是第二只老鼠拿后剩下的，可知，第二只来时发现花生米数是4÷2×3＋1＝7（粒），但是7不能被2整除，所以第三只老鼠来时花生米粒数不能是4粒。

如果第三只老鼠来时发现花生米数是10粒，则第二只老鼠来时发现花生米数是：10÷2×3＋1＝16（粒）则第一只老鼠来时发现花生米数是：16÷2×3＋1＝25（粒）所以，这堆花生米至少有25粒。

10、如图2，分别以长方形的一条长边的两个顶点为圆心，以长方形的宽为半径作14圆，若图中的两个阴影部分的面积相等，则此长方形的长与宽的比值是_________。

解：图中的14圆，都是以长方形的宽为半径作成的，过两个14圆的交点，向长方形的长边作垂线，这样，把长方形的面积平分为两半了，同时也把两个阴影部分也平分为两半了，根据题目的条件和对图形的观察，可知，长方形面积的12＝14圆的面积。

设长方形的长为A ，宽为B ，则长方形面积的12为：A ×B ×12＝12AB 14圆的面积为：π×B 2×14＝14πB 2， 这样，14πB 2＝12AB 则A B ＝2π 所以，长方形的长与宽的比值是2π。

11、六年级甲班的女生人数是男生人数的109倍，新年联欢会中，25的女生和的13男生参加了演出，则参加演出的人数占全班人数的__________。

解：设男生人数为x 人，则女生人数为109x 人，则六年级甲班的总人数为199x 人。

参加演出的人数为：109x ×25＋13x ＝79x 所以，参加演出的人数占全班人数的：79x ÷199x ＝71912、有80颗珠子，五年前，姐妹两人按年龄的比例分配，恰好分完；今年，她们再次按年龄的比例重新分配，又恰好分完，已知姐姐比妹妹大2岁，那么，姐姐两次分到的珠子相差___________颗。

解：设五年前妹妹有x 岁，则姐姐有（x ＋2）岁，现在妹妹有（x ＋5）岁，则姐姐有 （x ＋7）岁。

五年前姐妹俩的年龄和为：2x ＋2，五年后姐妹俩的年龄和为：2x ＋12。

根据题意，“2x ＋2”和“2x ＋12”都能整除80，知，“2x ＋2”和“2x ＋12”都是80的约数，而且，这两个约数相差：2x ＋12－（2x ＋2）＝10。

80的约数有：1、2、4、5、8、10、16、20、40、80，但差为10的约数只有20和10.2x ＋2＝10，可知，五年前妹妹有：4岁，姐姐有：4＋2＝6（岁），姐姐分得珠子：80×664+＝48（颗） 五年后姐姐有：（20＋2）÷2＝11（岁），妹妹有：11－2＝9（岁）， 姐姐分得珠子：80×11911+＝44（颗）。

所以，姐姐两次分到的珠子相差：48－44＝4（颗）。

13、如图3，分别以B ，C 为圆心的两个半圆半径是1厘米，则阴影部分的周长是_______厘米。

（π取3）解：连接BE 和CE ，因为BE 、CE 、BC 都是圆的半径，所以三角形BCE 为正三角形，∠B ＝∠C ＝60°.所以，阴影部分的周长是：1×2×π×60360×2＋1＝3（厘米）14、一个100升的容器，盛满了纯酒精，倒出一部分后注满水；混合均匀后，倒出与第一次所倒出体积相等的液体，再注满水，此时容器内水的体积是纯酒精体积的3倍，则第一次倒出的纯酒精是___________升。

解：根据“此时容器内水的体积是纯酒精体积的3倍”，可知此时容器中最后水有：100×33+1＝75（升） 酒精有:100－75＝25（升） 设第一次倒出的纯酒精x 升，则还剩酒精（100－x ）升，注满水后，其浓度为100100x -，得方程：（100－x ）×100100x -＝25 解得 x ＝50 所以，第一次倒出的纯酒精是50升。

15、如图4，甲，乙两个圆柱形容器的底面半径分别是2厘米和3厘米，已知甲容器装满水，乙容器是空的。

现将甲容器中的水全部倒入乙容器，水面的高比甲容器高的23少6厘米，甲容器的高是_________厘米。

解：设甲容器的高是x 厘米。

甲容器的体积是：π×2×2×x ＝π×3×3×（23x －6）化简得 4πx ＝9π（23x －6） 解得 x ＝27 所以，甲容器的高是27厘米.16、如图5，《经典童话》一本书共有382页，则这本书的页码中数字0共有________个。

解：从1到100,个位为0有10个，十位为0有1个，共11个从101到200,个位为0有10个，十位为0有10个，共20个从201到300,个位为0有10个，十位为0有10个，共20个从301到382,个位为0有8个，十位为0有9个，共17个所以，这本书的页码中数字0共有：11＋20＋20＋17＝68（个）。

17、如图6所示的7个圆相切于一点，若圆的半径分别是（单位：分米）：1，2，3，4，5，6，7，则图中阴影部分的面积是______________平方米。

（π取3）解：π×1＋π（32－22）＋π（52－42）＋π（72－62）＝π＋π（3＋2）＋π（5＋4）＋π（7＋6）＝π＋5π＋9π＋13π＝28π＝84（平方分米）18、将一个棱长为6的正方体切割成若干个相同的棱长为整数的小正方体，若这些小正方体的表面积之和是切割前大正方体的表面积的2倍，则切割成的小正方体的棱长是_________。

解：大正方体的表面积的为：6×6×6＝216设小正方体的棱长为x ，则小正方体切割成的个数为：6×6×6÷x 2x根据“这些小正方体的表面积之和是切割前大正方体的表面积的2倍”列方程x 2×6×2216x x⨯＝216×2 化简：6×216＝x ×216×2 解得 x ＝319、有长度分别是1厘米，2厘米，3厘米，4厘米，5厘米的小木棍各若干根，从中任取3根组成一个三角形，则最多可以组成不同的三角形___________个。