所成二面角的余弦值.
S
B
C
A
D
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9
例三 如所示， A B C D 是一直角梯形，A B C = 900 ,
SA 平面ABCD, SA AB BC 1, AD 1 , 求面SCD与面SBA
所成二面角的余弦值.
2z
解：建立空直角坐系A - xyz如所示,
S
A (0,0,0), C (- 1,1,0), D (0,1 , 0), S(0, 0,1)
异面直线所成角的范围：



0,

2

C
D
思考：

A D1 B
uuur uuur
CD, AB 与的关系？
uuur uuur
DC, AB 与的关系？
结论： cos
uuur uuur
| cos CD, AB |
•引入
2020/3/1
•复习
•线线角
•线面角
•二面角
6
题型一：线线角
练习： 在长方体 ABCD A1B1C1D1 中，AB= 5，AD 8,
AA1 4, M为B1C1上的一点,且B1M 2,点N在线段A1D上，
A1D AN. (1)求证：A1D AM .
z
（2）求AD与平面ANM所成的角. A1 B1 M
N
A(0, 0, 0), A1(0, 0, 4),D(0,8, 0), M (5, 2, 4)
uuuur
uuuur
A
AM (5, 2, 4), A1D (0,8, 4), uuuur uuuur
xB
AM gA1D＝0 A1D AM .
D1 C1
Dy
C
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7
题型二：二面角
二面角的范围： [0, ]
uur
n2ur
A

n1
O
B
uur
n2
ur n1


B
23
练习 3
证明: 建立空间直角坐标系O-xyz D1 F C1
则D (0,0,0),A 1(1,0,1)
A1
B1
E1,1, 1 , 2
F 1 , 1 ,1 2 2
D A
E
C B
EF 1 , 1 , 1

EF

DA1



1 2
,
1 2
,
DB1 平面ACD1
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26
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25
练习4
D1
C1
证明: 建立如图空间直角坐标系 A1
B1
则 D (0,0,0),B 1(1,1,1)
AD
C
B
A (1,0,0),D 1(0,0,1),C (0.1,0),
DB1 (1,1,1), AD (1,01), CD (0,1,1)
AD1 DB1, AC DB1 又AD1 I AC A,
Ar
n
2 思考：
B O
r uuur
n, BA 与的关系？
结论： sin
r uuur
| cos n, AB |
•引入
2020/3/1
•复习
•线线角
•线面角
•二面角
•小结 11
题型三：线面角
例二： 在长方体 ABCD A1B1C1D1 中，AB= 5，AD 8,
AA1 4, M为BC1上的一点,且B1M 2,点N在线段A1D上，
（3）求平行四边形ABCD的面积．
2020/3/1
20
练习
１.在棱长为1的正方体ABCD A1B1C1D1 中，E,F分别是
DD1, DB中点，G在棱CD上，CG= 1 CD ，H是C1G的中点，
4
（1）求证：EF B1C ；
z
（2）求EF与C1G所成的角的余弦； D1
C1
（3）求FH的长
关键：观察二面角的范围
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C
D
A D1

B
Ar
n
B
uur
n2

O
ur n1

14
例1、如图，在正方体 ABCD A1B1C1D1
中成B1E，的1 角D1的F1 余 14弦A1值B1
DF1 ，BE求1 与
z
所
D1
F1
C1
A1
E1 B1
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D
xA
C B
y
15
利用向量解决 夹角问题
紫阳中学陈兴平
•引入
2020/3/1
•复习
•线线角
•线面角
•二面角
•小结 1
空间向量的引入为代数方法处理 立体几何问题提供了一种重要的工具 和方法，解题时，可用定量的计算代 替定性的分析，从而避免了一些繁琐 的推理论证。求空间角与距离是立体 几何的一类重要的问题，也是高考的 热点之一。本节课主要是讨论怎么样 用向量的办法解决空间角问题。
•引入
2020/3/1
•复习
•线线角
•线面角
•二面角
•小结 2
r 1.若a
数量积：
(a1, a2,
rr
ab |
a3 )，br
ar
|

|
r b
(b1, | cos
b2a,rb,3br),则：
夹角公式：cos


r a
a1b1
r b


a2rb2r
ra br
a3b3

a1b1 a2b2 a3b3
例1 如图，在正方体 ABCD A1B1C1D1 中，B1E1

D1F1

A1B1 4
，求
BE1
与
DF1
所成的角的余弦值。
z
解：设正方体的棱长为1，如图建
D1
F1
C1
立空间直角坐标系 O xyz ，则
A1
E1 B1
B(1,1, 0)
,
E1 1,
3 4
, 1
,
D
O
A
x
Cy
D(0 , 0 , 0)
1 2


2
1,01

2
0
2
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练习4
D1
C1
A1
B1
证明: DB1 DA DC DD1，AC DC DA D
C
AD1 DD1 DA
A
B
DB1 AC (DA DC DD1)(DCDA)0
DB1 AD1 (DA DC DD1)(DD1 DA)0
•线面角
•二面角
•小结 5
题型一：线线角
解：以点C为坐标原点建立空间直角坐标系C xy如z图
所示，设 则CC：1 1 A(1, 0, 0), B(0,1, 0),
C1 z
F1
B1
1
11
F1( 2 , 0, a1), D1( 2 , 2 ,1)
A1
D1
C
所以： cos
uuur AF1
uuuur BD1
ห้องสมุดไป่ตู้
r 易知面SBA的法向量n1

uuur2
AD
(0,
1
, 0)
B
C
uuur CD

(1,

1
,
0),
uuur SD

(0,
1
,
1)
2
2
uur2
xA D y
uur uuur uur uuur
设平面SCD的法向量n2 (x, y, z), 由n2 CD, n2 SD,得：

x2y2yz
A1D AN. (1)求证：A1D AM .
z
（2）求AD与平面ANM所成的角. A1 N
A(0, 0, 0), A1(0, 0, 4), D(0,8, 0),
B1 M
C1
uuur
uuuur
A
AD

(0,8,
uuur
0u)u,uurA1D
(0,
25
8,
4),
cos AD, A1D 5
uuur AF1,
( 1 , 0,1), 2
(1 , 1 ,1)
uu2uur 2 BD1 |
uuur uuuur uAuuFr1 gBuuDu1ur AF1 || BD1
|
A x

1 4 5
1 3

30 10
By
所以 BD与1 所AF成1 角的余弦值为
30 4 2 10
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z
D1
F1
C1
A1
E1 B1
uuuur DF1

0
,
1 4
，1
(0
,
0
,
0)

0
,
1 4
，1 .
uuuur uuuur BE1 gDF1

0

0



1 4


1 4
11

15 16
,
D
O
A
x
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B
C
cos
y
uuuur BE1
uuuur | BE1 uuuur , DF1