C
A
y
x
设异面直线BD1与AF1所成的角的角为， 则 cos
30 10
所以直线BD1与AF1所成__的______角____的______余____弦______值________1__03__0 __________
（2）求直线和平面所成的角
例2：如图，在长方体AC1中，棱AB=BC=3，棱BB1=4，点
z
解：如图建立空间直角坐标系，取BC=CA=CC1=1
则B（1,0,0)
A（0,1,0）D1(1 2,1 2,1);
1 F1(0,2,1)
B1
BD1
(
1 2
,
1 2
,1)
;
AF(0,1,1); 2
3
cosB1D ,A1FB1 D A1F B1D A1F
4 30 6 5 10
B
22
C1
F1
A1
··D1
（1） 二面角及二面角的平面角： 从一条直线出发的两个半平面构成的图形叫二面角。 在二面角的棱上任取一点，过这点在二面角的两个面内
做垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫二面角的平 面角。
二面角的大小可用它的平面角来度量，二面角的平面 角是多少度，就说这个二面角是多少度。
二面角的范围是[0，π]
___________________________ _______________________
用向量计算空间角
___________________________ _______________________
一、几类空间角的定义及范围
1.异面直线所成角
直线a、b是异面直线，经过空间任意一点O，分别引直
线 a//ab,//b，我们把直线 a和 b所成的锐角（或直角）
叫做异面直线a和b所成的角。
l
图2 cos< n1 , n 2 > =
n1 n2 n1 n2
用向量法求空间角回避了在空间图形中寻找线线角、线
面角、二面角的平面角这一难点。体现了向量思想在立体几
何中的重要地位，更体现了“借数言形”的数学思想。
注意：建立坐标系后__各___个___点___的___坐____标___要___写___对，计算要准确。 _______________________
例3：长方体AC1中，棱AB=BC=3，BB1=4。 求二面角 B1―A1C―C1的余弦值。
z 解：如图，建立空间直角坐标系.
D （0，3，0）； A1（0，0，4）； B1（3，0，4）； C （3，3，0）； C （3，3，0）； D1（0，3，4）.
A1 B1
D1 C1
A1 B 1 =（3，0，0）； B 1 C (0,3, 4)
（2）求二面角大小的公式： coscosn1,n2
其中 n1 , n 2 分别是二面角的两个半平面的法向量。
二面角余弦值 cos 的正负取决于二面角是锐二面角还是钝
二面角.
n1
n2
n1
n2
θ
θ
l
图1
如图1中，cosθ=
cos< n1 , n 2 > =
n1 n2 n1 n2
图2中, cosθ=
又∵所求二面角为锐二面角
B1D1 （-3,3,0）
__________________________________故______二____面_____角_ B1―A1C―C1的大小为 2 5 2
练习：
如图，已知：直角梯形OABC中，OA∥BC， ∠AOC=90°，SO⊥平面OABC，且 OS=OC=BC=1，OA=2.求： ⑴OS与平面SAB所成角的正弦值； ⑵二面角B－AS－O的余弦值; ⑶异面直线SA和OB所成角的余弦值.
异面直线所成角的范围是
0,
2
。
2.直线和平面所成角
平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条 直线和这个平面所成的角；
特别地，一条直线垂直于平面，则它们所成的角是直角； 一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角 是0°角。 由定义知，直线与平____面______所______成______的______角______θ______∈________[_0_，2 ]
d
OA n n ___________________________
_______________________
o
β
（1）求异面直线所成的角
例1：如右图，直三棱柱A1B1C1─ABC中，∠BCA=90°, 点D1、F1分别是A1B1、A1C1的中点，若BC=CA=CC1，求 BD1与AF1所成的角的余弦值.
设平面A1B1C的法向量为n =（x，y，z）则
A
Dy
n nB A1 1C B1 00 3 3xy 4 0z0 3 xy 04z
B
x
令z=3，则x=0,y=4
cosn,B1D1
C
nB1D1
平面A1B1C的法向量为 n =（0，4，3）
n B1D1
22 5
又∵平面A1 C1C的法向量为
设平面A1B1C的法向量为 n =（x，y，z）则
n nB A1 1C B1 00 3 3xy 4 0z0 3 xy 04z
A1 B1
A B x
D1 C1
E D y
C
令z=3，则 n =（0，4，3）， ___________________________ _______________________
设DE与面A1B1C所成角为，则
Sin=|cos<DE,
n >|=
DE DE
n n
6 13 65
即
ED与平面A1B1C所成角的大小为
6
13 65
z A1 B1
A B x
D1
C1
E D y
C
___________________________ _______________________
3.二面角：
பைடு நூலகம்
E是CC1的中点 。 求ED与平面A1B1C所成角的大小的正弦
值.
z
解：如图，建立空间直角坐标系，由题意知：
D （0，3，0）； E （3，3，2）； A1（0，0，4）； B1（3，0，4）； C （3，3，0）。
DE =（3，0，2） A1 B 1 =（3，0，0）； B 1 C (0,3, 4)
二、空间角的向量计算
1.求异面直线所成角的公式：coscosa,b
其中 a , b 是异面直线 a , b 上的方向向量。
2.求线面角大小的公式：
如图，设平面β的法向量为 n ，直线AO与平面所成的角为 .则
OAn
sincosOA,n
其中 n 是平面的法向量。 A
OA n
θn
点A到平面β的距离d为：