江西省南昌市-第一学期高三四校联考数学试题（理科）考试时间：150分钟 试卷总分：150分一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个符合题目要求） 1．含有三个实数的集合可表示为{a,ab,1}，也可表示为{a 2,a+b,0}，则a 2007+b 2007的值为（ ） A ．0B ．1C ．－1D ．±12．下列判断错误．．的是（ ）A ．命题“若q 则p ”与“若┐p 则┐q ”是互为逆否命题B ．“am 2<bm 2”是“a<b ”的充分必要条件C ．“矩形的两条对角线相等”的否命题为假D ．“命题⊂≠∅{1,2}或4∉{2，3}”为真3．已知a,b,c 是空间三条直线，α、β是两个平面，则下列命题中不正确．．．的是 （ ）A ．若a ∥b ，b ∥α，则a ∥α或a ⊂αB ．若a ⊥α，b ⊥β，α∥β，则a ∥bC ．若a ∥b ，α∥β，则a 与α所成的角等于b 与β所成的角D ．若a ⊥b ，a ⊥c ，则b ∥c4．平面向量a =(x ，y)，b =(x 2，y 2)，c =(1，1)，d =(2，2)，若a ·c =b ·d =1，则这样的向量a 有 （ ） A ．1个 B ．2个 C ．多于2个 D ．不存在 5．在等差数列{a n }中，3(a 3+a 5)+2(a 7+a 10+a 13)=24，则此数列的前13项之和为 （ ） A ．156 B ．13 C ．12 D ．26 6．有下列命题①++=0；②（a +b ）·c =a ·c +b ·c ；③若a =（m,4），则 |a |=23的充要条件是m=7；④若的起点为A(2,1)，终点为B(－2,4)，则与x 轴正向所夹角的余弦值是4/5，其中正确命题 的序号是 （ ）A ．①②B ．②③C ．②④D ．③④7．已知f(x)=2cos(ωx+ϕ)+b 对于任意实数x 有f(x+4π)=f （-x ）成立，且1)8(-=πf ，则实数b 的值为（ ）A ． 1±B ． 3±C ． 1-或3D ． 3-或18．设a,b,x,y 均为正数，且a 、b 为常数，x 、y 为变 量，若x+y=1，则by ax +的最大值为（ ）A ．2b a + B ． 21++b aC ．b a +D ． 2)(2b a +9．设定义域为R 的函数f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧=≠-时）当时当1( 1)1( |1|1x x x ，若关于x 的方程f 2(x)+bf(x)+c =0有三个不同的实数解x 1．x 2．x 3，则332221x x x ++等于（ ）A ．5B ．2222b b + C ．13D ．2223c c + 10．在△ABC 中，角A 、B 、C 对边分别为a 、b 、c ，222dc b a =+，且cotC=1003(cotA+cotB)，则常数d 的值为 （ ） A ．2004 B ．2005 C ．2006 D ．200711．棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1及其内部一动点P ，集合Q={P||PA|≤1}，则集合Q构成的几何体的表面积为 （ ）A ．45πB ．4πC ．2πD ．π12．如图所示，已知D 是面积为1的△ABC 的边AB 上任一点，E 是边AC 上任一点，连结DE ，F 是线段DE 上一点，连结BF ，设21,,,132321=-+===λλλλλλ且DE DF AC AE AB AD 记△BDF 的面积为S ＝f(321,,λλλ)，则S 的最大值是（ ）A ． 21B ． 31C ． 41D ． 81二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13．已知a ∥b ，a =（2，3），b =（-4，m ），又｜c ｜=5，c 与a 的夹角为60°，则（a +b ）·c的值为 。
14．对于实数x 、y ，定义新运算x *y=ax+by+1，其中a 、b 是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算，若3*5＝15，4*7＝28，则1*1＝ 。
15．已知实数x ，y 满足2x+y ≥1，则y x y x a 2422-++=的最小值为 。
16．已知直线l ⊥平面α，直线⊂m 平面β，有下面四个命题：①α∥β⇒l ⊥m ；②α⊥β⇒l ∥m ；③l ∥m ⇒α⊥β；④l ⊥m ⇒α∥β，其中正确命题的序号是 。
三、解答题（本大题共6小题，共74分，解答应有证明过程或演算步骤） 17．（12分）已知关于x 的不等式b ax x +>的解是4<x<36，求a ，b 。
18．（12分）已知5||=, 8||=AB , 115=, 0=⋅AB CD 。
（1）求||AC AB -；（2）设∠BAC ＝θ，且已知cos(θ+x)＝54，4ππ-<<-x ，求sinx19．（12分）已知四棱锥P -ABCD 的底面为直角梯形，AB ∥DC ，∠DAB=90°，PA ⊥底面ABCD ，且PA=AD=DC=21AB=1，M 是PB 的中点。
（1）证明：面PAD ⊥面PCD （2）求AC 与PB 所成的角（3）求面AMC 与面BMC 所成二面角的大小20．（12分）已知函数b ax cx x f ++=2)(为奇函数，)3()1(f f <，且不等式23)(0≤≤x f 的解集是]1,2[--∪]4,2[（1）求a,b,c 。
（2）是否存在实数m 使不等式23)sin 2(2+≤+-m f θ对一切R ∈θ成立？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由。
21．（12分）已知函数e dx cx bx ax x f ++++=234)(为偶函数，它的图象过点A(0,-1)，且x=1处的切线方程为2x+y -2=0。
（1）求函数)(x f 的表达式；（2）若对任意x ∈R ，不等式)(x f ≤)1(2+x t 都成立，求实数t 的取值范围。
22．（14分）已知函数)(x f 满足2)(x f +xx x f 36)1(+=，对x ≠0恒成立，在数列{a n }、{b n }中，a 1=1，b 1=1，对任意x ∈N +，3)(2)(1+=+n n n a f a f a ，n n n a b b 11=-+。
（1）求函数)(x f 解析式；（2）求数列{a n }、{b n }的通项公式；（3）若对任意实数]1,0[∈λ,总存在自然数k ,当n ≥k 时,)1(31nn a f b λ-≥恒成立，求k 的最小值。
江西省南昌市2007-2008学年第一学期高三四校联考数学试题（理科）参考答案13．1325- 14．11- 15．59- 16．①③三、解答题（本大题共6小题，共74分，解答应有证明过程或演算步骤） 17．解：，必须有意义，所以0≥x x 设t x =，则原不等式变为：02<+-b t t a ，其解的范围是2< t <6。
……6分 由 2+6＝ 2×6＝a b……8分解得23,81==b a ……12分18．解：（1）由已知DB AD DB DA DB AB 1116=+=-=∴,211||,25||165|,165115,1611======∵0=⋅ ∴CD ⊥AB ，在Rt △BCD 中BC 2=BD 2+CD 2,又CD 2=AC 2－AD 2, 所以BC 2=BD 2+AC 2－AD 2=49， ……4分所以7|||==- ……6分（2）在△ABC 中，21cos =∠BAC ∴3πθ= ……8分54)3cos(cos =+=+x x πθ）（ 533sin ±=+）（x π而12332,4πππππ<+<--<<-x x如果1230ππ<+<x ，则53216sin12sin)3sin(<<<<+πππx ∴53)3sin(-=+x π……10分10343]3)3sin[(sin +-=-+=ππx x ……12分a 1--19．解法Ⅰ（1）∵PA ⊥面ABCD ，CD ⊥AD ， ∴由三垂线定理得CD ⊥PD ．……1分因而，CD 与面PAD 内 两条相交直线AD ，PD 都垂直， ∴CD ⊥面PAD ． ……2分又 CD ⊂面PCD ∴面 PAD ⊥面 PCD ……3分（2）过点B 作BE ∥CA ，且BE=CA ，则∠PBE 是 AC 与PB 所成的角。
……4分连结AE ，可知AC=CB=BE=AE=2,又AB=2，所以四边形ACBE 为正方形。
……5分 由PA ⊥面ABCD 得∠PBE ＝90°， 在Rt △PEB 中，52==PB BE ， ∴510cos ==∠PB BE PBE ……6分∴AC 与PB 所成的角为arccos 510……7分 （3）作AN ⊥CM ，垂足为N ，连结BN ，在Rt △PAB 中，AM=MB, 又AC=CB ， ∴△AMC ≌△BMC ，∴BN ⊥CM ，故∠ANB 为所求二面角的平面角。
………9分 ∵CB ⊥AC ，由三垂线定理，得CB ⊥PC ，在Rt △PCB 中，CM=MB ，所以2521===PB AM CM 在等腰三角形AMC 中，AN ·MC ＝AC AC CM ⋅-222）（∴AN=……10分 又AB ＝2，∴322cos 222-=⨯⨯-+=∠BN AN AB BN AN ANB ,故所求的二面角为)32arccos(-……12分 解法Ⅱ因为PA ⊥PD ，PA ⊥AB ，AD ⊥AB ，以A 为坐标原点建立右图所示空间直角坐标系，则各点坐标为A(0,0,0),B(0,2,0),C(1,1,0), D(1,0,0), P(0,0,1), M(0,1,21) ……1分（1）因),1,0,0(=AP ),0,1,0(=DC 故0=⋅DC AP ,所以AP ⊥DC 。
由题设知AD ⊥DC ，且AP 与AD 是平面PAD 内的两条相交直线，由此得DC ⊥面PAD, 又DC 在面PCD 上，故面PAD ⊥面PCD ……3分 （2）因),0,1,1(=AC ),1,2,0(-=PB 故,2||=AC ,5||=PB ,2=⋅PB AC5625223=⨯所以.510cos =>=⋅<PB AC ∴AC 与PB 所成的角为arccos 510……7分（3）在MC 上取一点N(x,y,z )，使AN ⊥MC,设,λ= 其中R ∈λ，∵),,1,1(z y x NC ---= ),21,0,1(-=MC∴λλ21,1,1==-=z y x∵AN ⊥MC, ∴,021,0=-=⋅z x 即即,021211=⋅--λλ解得54=λ……8分所以点N 的坐标为（52,1,51），)52,1,51(=, )52,1,51(-=∴,0=⋅ ∴BN ⊥MC ． 所以∠ANB 为所求二面角的平面角。