下一页 返回
2. 1 换路定律及初始值的确定

由于换路引起的稳定状态的改变，必然伴随着能量的改变。在含有电 容、电感储能元件的电路中，这些元件上能量的积累和释放需要一定 的时间。如果储能的变化是即时完成的，这就意味着功率 为无限大，这在实际上是不可能的也就是说，储能不可能跃变，需要 有一个过渡过程。这就是所谓的动态过程。实际电路中的过渡过程往 往是短暂的，故又称为暂态过程，简称暂态。
上一页 下一页 返回
2. 1 换路定律及初始值的确定


2.1.1 换路定律
换路时，由于储能元件的能量不会发生跃变，故形成了电路的过渡过 程。对电容元件而储有电场能量，其大小为 ；对电感元件 而言，储有磁场能量 。从另一个角度理解，对电容元 件，其充、放电电流 不能无限大，所以电容电压uC不能 跃变;对电感元件，其两端电压 不能无限大，所以电感电流 iL不能跃变。 电路在换路时能量不能跃变具体表现为换路瞬间，电容两端的电压uC 不能跃变;通过电感的电流iL不能跃变。这一规律是分析暂态过程的很 重要的定律，称为换路定律。用t = 0_表示换路前的瞬间，t = 0+表示 换路后的瞬间，换路定律可表示为
上一页 下一页 返回


2. 1 换路定律及初始值的确定

式(2-1)是换路定律重要的表达式，它仅适用于换路瞬间，即换路后 的瞬间，电容电压uC和电感电流iL都应保持换路前的瞬间具有的数值 而不能跃变。而其他的量，如电容上的电流、电感上的电压、电阻上 的电压和电流都是可以跃变的，因此它们换路后一瞬间的值，通常都 不等于换路前一瞬间的值。
上一页 下一页 返回
2. 2 一阶电路的零输入响应




从表中可以看出： ，所以，时间 常数 是响应uC衰减到其初始值0. 368倍所需要的时间。②从理论上 讲， 时， 才为零，过渡过程才结束，但当 时， uC已衰减到初始值的0. 05-0. 007倍，因此，工程上一般认为:换路后 经过 ，过渡过程就结束，电路进入新的稳态。 例2-3 电路如图2-6所示，设换路前电路已处于稳态，且 ，电流源的电流 。当t=0时，将开关S合向2端，求换路后uC, i的时域响 应。 解 换路前 换路后，根据换路定律 电路的时间常数
上一页 下一页 返回
2. 2 一阶电路的零输入响应

式(2-3)及式(2-4)中的RC具有时间的量纲，因为

故将其称为时间常数，并令 引入时间常数 后，式(2-3)和式(2-4)可表示为


上一页 下一页 返回
2. 2 一阶电路的零输入响应


时间常数 由放电回路中R, C数值决定，时间常数 的大小直接影 响uC和i衰减的快慢， 越大，衰减得越慢，暂态过程越长。事实上， 在US为定值时，电容C值越大，储能就越多，放电时间越长;电阻R越 大，放电电流越小，放电时间也越长。反之， 越小，衰减就越快， 暂态过程就越短。 对暂态过程的影响如图2-5所示。 现将t= ,2 ,3 ，…所对应的uC列于表2-1中。
上一页 下一页 返回
2. 2一阶电路的零输入响应

换路后电容器通过R:放电，即为零输入响应，则电容器两端电压

其中电流


2. 2. 2 RL电路的零输入响应
在图2-7 ( a)所示的电路中，设开关S原先是断开的，电路已稳定，则 L相当于短路，此时电感中的电流为 。在t=0时将开关闭 合， ，此时，电感元件储有能量。它将通过 R放电，从而产生电压和电流，如图2-7 ( b)所示。随着时间的推移， 由于电阻R不断消耗电感中的能量，电感中的磁场能量越来越少，电 流也逐渐衰减，当电路达到新的稳态时，电感中原有的能量全部被电 阻转换成热能而消耗。此时，电感上的电流为零。

可见，电感电流 和电感电压 ，都是从初始值开始，随时间 按同一指数规律衰减的，它们随时间变化的曲线如图2-8所示。
上一页 下一页 返回2. 2 Nhomakorabea一阶电路的零输入响应


需要指出的是:在过渡过程中，由于电流在减小，这时线圈两端所产 生的感应电压的极性与图中所示参考方向相反。 从上血的分析可见，RC电路和RL电路中所有的零输入响应都具有 以下相同的形式

(2)根据换路定律，有
上一页 下一页 返回
2. 1 换路定律及初始值的确定

(3)作出t=0+时刻的等效电路，将电感用0. 2 A电流源替代，电容用4V 电压源替代，得t=0+时刻的等效电路，如图2-2(c)所示。故

由以上两例的求解可知:在零初始条件下，即uC( 0+) =uC( 0_) = 0和 iL( 0+)= iL( 0 _)=0，电路在换路后的初始时刻，电容相当于短路，而 电感相当于开路。这与直流稳态下电容相当于开路，电感相当于短路 是截然不同的。在非零初始条件下，由于， uC( 0+) =uC( 0_) =US ≠0,iL( 0+)= iL( 0 _)= IS ≠ 0，所以在t=0+时，电容等效为一个电压为US 的电压源，电感等效为一个电流为IS的电流源。



下一页 返回
2. 2 一阶电路的零输入响应

所以，电路方程为 式(2-2)是一个一阶常系数线性齐次微分方程，解此方程可得


式(2-3)表明了放电过程中电容电压uc随时间的变化规律。电路中的电 流为

由式(2-3)和式(2-4)可以看出，电压uc和电流a都是随时间按指数规律 不断衰减的，最后应趋于零。它们的波形分别如图2-4 (a), (b)所示。
上一页 下一页 返回
2. 1 换路定律及初始值的确定

(3) t=0+时等效电路如图2-1 (c)所示，其他各电压、电流的初始值可根 据t=0+时的等效电路求得。此时，因为uC( 0+)=0，iL( 0+)=0所以在等 效电路中电容相当于短路，电感相当于开路。故有
上一页 下一页 返回
2. 1 换路定律及初始值的确定


式中， 表示零输入响应 ； 路中， 是换路后电路的时间常 数，在RC电路中， ；在RL电路中， 。其中R是换路后 的电路中储能元件C或L两端的等效电阻。 式(2-10)表明，一阶电路的零输入响应都是由初始值开始按指数规律 衰减的。因此在求一阶电路的零输入响应时，可直接代入式(2-10)求 得。
上一页 下一页 返回



例2-2 电路如图2-2 ( a)所示，开关S闭合前电路已稳定，已知US =10 V, R1=30 Ω , R2 = 20 Ω , R3 = 40 Ω。t = 0时开关S闭合，试求， uL( 0+)=及iC( 0+)。 解 (1)首先求uC( 0_)和iL( 0 _) S闭合前电路已处于直流稳态，故电容相当于开路，电感相当于短路， 据此可画出t=0_时的等效电路，如图2-2 (b)所示
2. 2 一阶电路的零输入响应

例2-4 在图2-9所示电路中， , , L=1 H, t<0时开关 S断开，电路已处于稳态，t=0时开关S闭合，求开关S断开后的 解换路前，电感L相当于短路，得


在换路后，时间常数为 根据换路定律，有

上一页 下一页 返回
2. 2 一阶电路的零输入响应

根据式(2-10)得



下一页 返回
2. 3 一阶电路的零状态响应

可得

上式为一阶线性常数非齐次微分方程，解此方程可得

进而可得电流
及电阻电压

随时间变化的曲线如图2-11所示。
上一页 下一页 返回
2. 3 一阶电路的零状态响应


由上述分析可知:电容元件在与恒定电压接通后的允电过程中，电压 uC从零值按指数规律上升趋于稳态值US;与此同时，电阻上的电压则 从零跃变到最大值 后按指数规律衰减趋于零值;电路中的电流也是 从零跃变到最大值 份后按指数规律衰减趋于零值。电压、电流上 升或下降的快慢仍然取决于时间常数 的大小。 越大， uC上升越慢， 暂态过程(即充电时间)越长;反之，越小， uC则上升越快，暂态过程 也越短当t = 时， ,即电容电压增至稳 态值的0. 632倍。当t=(3-5) 时， uC增至稳态值的0. 95-0. 997倍，通 常认为此时电路已进入稳态，即充电过程结束。 由于uC的稳态值也就是时间t趋于 时的值，可记为 这样式 (2-12)写为
上一页 返回
2. 2 一阶电路的零输入响应


2. 2. 1 RC电路的零输入响应
电路如图2-3 ( a)所示，开关S在位置1时，电容C已被电源允电到US， 若在t=0时把开关从位置1打到位置2，则电容C与电阻R相连接，独立 电源US不再作用于电路，此时根据换路定律，有uC( 0+) =uC( 0_) =US ， 电容C将通过电阻R放电，电路中的响应完全由电容电压的初始值引 起，故属于零输入响应。 按图中所选定的电压、电流参考方向，根据KVL可得 因为 式中负号是因为电容电压和电流参考方向相反。则
上一页 下一页 返回
2. 1 换路定律及初始值的确定


2.1.2 初始值的确定
电路的暂态过程是指换路后瞬间(t=0+)开始到电路达到新的稳定状态 (t=∞)时结束。换路后电路中各电压及电流将由一个初始值逐渐变化 到稳态值，因此，确定初始值f(0+)和稳态值f(∞)是暂态分析的非常关 键的一步。式(2-1)是计算换路时初始值的根据，又称为初始条件。要 计算电路在换路时各个电压和电流的初始值，首先根据换路定律得到 电感电流或电容电压的初始值，再根据基尔霍夫定律计算其他各个电 压和电流的初始值，现将根据换路定律确定电路初始值的步骤归纳如 下: ①作出t=0_时的等效电路，求uC( 0_)和iL( 0 _) ②根据换路定律确定uC( 0+)和iL( 0+) ③作出t=0+时的等效电路，对于电容元件，若uC( 0+) 0，则电容等效