八年级上册第一单元：数的开方一、知识点总结知识点一：平方根（1）平方根的定义：如果一个数的平方等于a ，这个数就叫做a 的平方根。

（2）开平方：求一个数a 的平方根的运算叫做开平方.（3）平方根的表示：a 的平方根记作:a 2±±或a 。

a 叫做被开方（4）求一个数的平方根的方法：利用平方和开平方互为逆运算（5）平方根的性质①一个正数有两个平方根，它们互为相反数②0有一个平方根，它是0本身③负数没有平方根。

（6）算术平方根的定义：非负数a 的正的平方根。

（7）算术平方根表示：一个非负数a 的平方根用符号表示为：“a ”，读作：“根号a”，其中a 叫做被开方数（8）算术平方根的性质:①正数a 的算术平方根是一个正数；②0的算术平方根是0；③负数没有算术平方根。

注： ①算术平方根是非负数，具有非负数的性质；a (a≥0)是一个非负数, 即a ≥0;②若两数的平方根相等或互为相反数时，这两数相等；反之，若两非负数相等时，它们的平方根相等或互为相反数；③平方根等于本身的数只有0，算术平方根等于本身的数有0、1;④非负数的算术平方根再平方仍得这个数，即：(a )2=a(a≥0)；⑤某数的平方的算术平方根等于某数的绝对值，即 2a =|a|= ()()⎩⎨⎧<-≥00a a a a ⑥平方根有三种表示形式：±a ，a ，－a ，它们的意义分别是：非负数a 的平方根，非负数a 的算术平方根，非负数a 的负平方根。

要特别注意：a ≠±a⑦平方根与算术平方根的区别与联系：区别：①定义不同 ②个数不同： ③ 表示方法不同：联系:①具有包含关系： ②存在条件相同： ③ 0的平方根和算术平方根都是0。

1、填空：（1）0.25的平方根是 ;29的算术平方根是 ,16 的平方根是 。

(1) 2-的相反数是 ，3的倒数是 ， 13-的绝对值是 ；(2) （3）=81 ，2516±= ，2)3(-= 。

（4）当x 时, 12-x 有意义；若x x -+有意义，则x ；当______m 时，m -3有意义；当______m 时，33-m 有意义（5）81的平方根是______，4的算术平方根是______，的平方根是_______的立方根是 。

（6）若一个正数的平方根是12-a 和2+-a ，则____=a ，这个正数是（7）如果有是m 的一个平方根,那么m 的算术平方根是___________;（8）计算：2、求下列各数的平方根和算术平方根：（1）425 （2）()24- （3）()()82-⋅-．知识点二、立方根：（1）立方根的定义：如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根（也叫三次方根）。

如果x3=a ，则x 叫做a 的立方根。

记作：3a x = ,读作“三次根号a” 。

（2）开立方：求一个数的立方根的运算叫做开立方（3）求一个数的立方根的方法：利用立方和开立方互为逆运算（4）立方根的性质①一个正数有一个正的立方根，即若a>0，则03>a ②一个负数有一个负的立方根，即若a<0，则03<a ③0的立方根是0，即若a=0，则03=a 。

注：①若两数的立方根相等，则这两数相等；反之，若两数相等，则这两数的立方根相等；②立方根等于本身的数有0、1、-1.1、选择：（1）一个数的平方根是它本身，则这个数的立方根是（ ）．A 、 1B 、 0C 、 -1D 、1，-1或0（2）下列说法正确的是( )A 、4的平方根是2B 、-16的平方根是±4C 、实数a 的平方根是±aD 、实数a 的立方根是3a（3）下列说法中，正确的是（ ）．A 、27的立方根是3，记作27=3B 、-25的算术平方根是5C 、a 的三次立方根是3a ±D 、正数a 的算术平方根是a（4）3a 的值是（ ）．（A ） 是正数 （B ） 是负数 （C ） 是零 （D ） 以上都可能（5）下列等式：①81161=，②()2233-=-，③()222=-，④3388-=-⑤416±=，⑥24-=-；正 确的有（ ）个．（A ）4 （B ）3 （C ）2 （D ）1（6）下列说法中正确的是（ ）．A 、4是8的算术平方根B 、16的平方根是4C 、6是6的平方根D 、a -没有平方根2、解方程：（1）(x+3)3=27 （2）8)12(3-=-x （3）64(x -1)3+125=0知识点三：实数基础知识1．无理数的定义:（ ）叫做无理数2．有理数与无理数的区别： 有理数总可以用（ ）或（ ）表示；反过来，任何（ ） 或（ ）也都是有理数。

而无理数是（ ）小数，有理数和无理数区别之根本是有限及无限循环和无限不循环。

有理数可以化成（ ），无理数不能化成（ ）。

3.常见的无理数类型(1) 一般的无限不循环小数，如：1.41421356¨···(2) 看似循环而实际不循环的小数，如0.1010010001···(相邻两个1之间0的个数逐次加1)。

(3) 有特定意义的数，如：π=3.14159265···(4).开方开不尽的数。

如：35,3。

4．实数、概念：________和________统称为实数。

5、 分类 按定义⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎩⎨⎧⎩⎨⎧无限不循环小数小数有限小数或实数------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 按性质⎪⎩⎪⎨⎧负实数正实数06、实数的有关性质⑴a 与b 互为相反数〈=〉a+b=0⑵a 与b 互为倒数〈=〉ab=1⑶任何实数的绝对值都是非负数，即a ≥0⑷互为相反数的两个数的绝对值相等, 即a =a -⑸正数的倒数是正数;负数的倒数是负数;零没有倒数.A .实数和数轴上的点的对应关系：实数和数轴上的点是一一对应的关系B .实数的大小比较：1.在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。

2.正数大于零，零大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反而小。

C.实数中的非负数及其性质非负数有如下三种形式⑴任何一个实数a 的绝对值是非负数，即a ≥0⑵任何一个实数的平方是非负数，即2a ≥0；⑶任何一个非负数a 的算术平方根是非负数，即a ≥0(4)、非负数有以下性质：⑴非负数有最小值零 ⑵有限个非负数之和仍然是非负数 ⑶几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0。

二、重点题型类型一．有关概念的识别 例1．下面几个数：7231.0 ，1.010010001…，3064.0-，3π，722，5，其中，无理数的个数有（ ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 举一反三：【变式1】下列说法中正确的是（ ）A 、81的平方根是±3B 、1的立方根是±1C 、1=±1D 、5-是5的平方根的相反数【变式2】如图，以数轴的单位长线段为边做一个正方形，以数轴的原点为圆心，正方形对角线长为半径画弧，交数轴正半轴于点A ，则点A 表示的数是（ ）A 、211 B 、1.4 C 、2 D 、3【变式3】()()2210-39-3ππ+类型二．计算类型题 例2．设a =26，则下列结论正确的是（ ）A.0.55.4<<aB.5.50.5<<aC.0.65.5<<aD.5.60.6<<a 举一反三：【变式1】（1）25的算术平方根是__________；平方根是__________.（2） -27立方根是__________. （3）412___________，=±169 ___________，3278-___________. 【变式2】求下列各式中的（1）252=x （2）()912=-x （3）643-=x类型三．数形结合例3. 点A 在数轴上表示的数为53，点B 在数轴上表示的数为5-，则A ，B 两点的距离为______例4.已知实数、、在数轴上的位置如图所示：化简b c a b a b c a c ---+--+-2举一反三： 【变式1】如图，数轴上表示1，2的对应点分别为A ，B ，点B 关于点A 的对称点为C ，则点C 表示的数是（ ）．A ．1-2B ．2-1C ．2-2D ．2-2类型四．实数绝对值的应用例5、化简下列各式：(1)24.12 - (2) |π-3.14︱ (3) 32-(4) |x -|x -3|| (x≤3) (5) |x 2+6x+10|举一反三：【变式1】化简：类型五．实数应用题例6、有一个边长为11cm 的正方形和一个长为13cm ，宽为8cm 的矩形，要作一个面积为这两个图形的面积之和的正方形，问边长应为多少cm 。

举一反三： 【变式1】拼一拼，画一画： 请你用4个长为a ，宽为b 的矩形拼成一个大正方形，并且正中间留下的空白区域恰好是一个小正方形。

（4个长方形拼图时不重叠）（1）计算中间的小正方形的面积，聪明的你能发现什么？3-232223-++-（2）当拼成的这个大正方形边长比中间小正方形边长多3cm 时，大正方形的面积就比小正方形的面积多24cm 2，求中间小正方形的边长.类型六．实数非负性的应用例题7、已知：074932=+-+-a a b a ，求实数a, b 的值。

举一反三：【变式1】已知(x -6)2+()262y x -+|y+2z|=0，求(x -y)3-z 3的值。

【变式2】已知()01522=++++-c b a 那么a+b -c 的值为___________类型七．易错题例题8、判断下列说法是否正确（1）()23-的算术平方根是-3； （2）225的平方根是±15. （3）当x=0或2时，02=-x x （4）23是分数类型八．引申提高 例题9、已知29的整数部分为a ，小数部分为b ，求a 2-b 2的值.数的开方单元测试题一、选择题：（每题1分，共12分）1、在数-5，0，722，2006，20.80中，有平方根的数有（ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个2、10的平方根应表示为（ ）A 、210B 、10±C 、10D 、10-3、在数-27，-1.25，0，724中，立方根为正的数有（ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、0个4、下面的运算中，是开平方运算的是（ ）A 、4069)64(2=-B 、864=C 、864±=±D 、4643=5、下列各数中：5，-3，0，34，722，-1.732，25，2π-，293+，无理数的个数有（ ）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个6、下列说法中，正确的有（ ）①无限小数是无理数；②无理数是无限小数；③两个无理数的和是无理数；④对于实数a 、b,如果22b a =，那么a=b ；⑤所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，反过来，数轴上的所有点都表示有理数。