第十八章量子力学简介1905年，爱因斯坦提出光量子假说，提出光具有波粒二象性。

应用光量子与物质相互作用时遵守能量守恒原理，得到光电效应方程，完满解释了光电效应。

1913年，玻尔在角动量量子化假设，定态假设和跃迁假设基础上建立了氢原子理论，完满解释了氢原子光谱规律。

从1900年普朗克提出量子假说，到玻尔理论以及后来对它的修正，一般认为是旧量子论。

旧量子论理论结构上的特点是量子化条件加经典理论，其理论结构本身的不协调使它具有各种缺陷。

也正因为如此，旧量子论能解决的问题很有限，当时已发现的很多问题不能给出满意的解释。

1924年法国科学家德布罗意在著名论文《量子理论的研究》中提出物质波假设，把爱因斯坦提出的光的波粒二象性观念扩展到运动粒子，提出实物粒子具有波粒二象性，为量子力学的建立奠定了基础。

1924年，海森伯创立了矩阵力学；1926年薛定谔创立了波动力学，薛定谔证明了矩阵力学和波动力学两种量子理论是等价的。

1933年，狄拉克提出了量子力学的第三种表达方式：“路径积分量子化形式”。

§18-1德布罗意假设不确定关系一、德布罗意假设根据所学过的内容，我们可以说，光的干涉和衍射等现象为光的波动性提出了有力的证据，而新的实验事实——黑体辐射、光电效应和康普顿效应则为光的粒子性（即量子性）提供了有力的论据。

在1923年到1924年，光的波粒二象性作为一个普遍的概念，已为人们所理解和接受。

法国物理学家路易·德布罗意认为，如同过去对光的认识比较片面一样，对实物粒子的认识或许也是片面的，二象性并不只是光才具有的，实物粒子也具有二象性。

德布罗意说道：“整个世纪以来，在光学上，比起波动的研究方面来，是过于忽视了粒子的研究方面；在物质粒子理论上，是否发生了相反的错误呢？是不是我们把关于粒子的图象想的太多，而过分地忽视了波的图象？”德布罗意把光中对波和粒子的描述，应用到实物粒子上，作了如下假设：每一运动着的事物粒子都有一波与之相联系，粒子的动量与此波波长关系如同光子情况一样，即hpλ=（18-1）h hp mvλ==（18-2）它被称为德布罗意波长,上式称为德布罗意公式，与实物粒子相联系的波称为德布罗意波，又称物质波。

说明：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=<<-=02201m m c v c v m m c v 时，可取比较时，与 。

讨论：以电子为例，电子经电场加速后，设加速电压U ，电子速率v<<c 时，德布罗意波长为vm h p h 0==λ。

此时 eU v m =2021 所以： A U U m U Ue m h 2.12102.121106.1101.921062.612101931340=⨯=⨯⨯⨯⨯⨯=⋅=----λ二、德布罗意波的实验证实 电子衍射实验实物粒子的波动性，当时是作为一个假设提出来的，直到1927年戴维孙和革末用电子衍射实验所证实。

该实验情况如下：1、实验装置：K 是发射电子的灯丝，D 是一组光栏缝，M 是单晶体，B 是集电器，G 是电流计。

灯丝与栏缝之间有电势差U ，从K 发射的电子经电场加速，经光栏变成平行光束，以入射角ϕ射到单晶M 上，并在M 上向各方向散射，其中沿ϕ方向反射的电子进入集电器B 中，反射电子流的强度由电流计G 量出，集电器只接受满足反射定律的电子，目的是改变这一情况下反射电子强度和U 之间的关系。

实验中ϕ角保持不变（2个ϕ角），改变U 而测I 。

2、实验结果I 与U 的关系如图18-2所示，可知，U 单调增加时，I 不是单调变化，而是有 一系列极大值，这说明电子从晶体上沿ϕ角方向反射时，对电压U 的值有选择性，即遵守反射定律的电子对电压有选择性。

图18-1图18-23、实验结果说明了电子具有波动性如果只认为电子具有粒子性，则上述结果难以理解，那么，如何去认识电子的这种行为呢？我们知道，X 射线在晶体体上反射加强时，有下列规律，即布拉格公式λϕk d =sin 2（k=1,2,…）λ为入射光波长，d 为晶格常数。

将这一事实与上述结果对照一下，电子的反射和X 射线的反射极为相似，因此，要解释上述实验结果，要考虑电子的波动性。

假设电子具有波动性，反射时也服从布拉格公式，其波长代以德布罗意波长，用上面公式可得结果，看看是否能解释上面的实验结果。

德布罗意波长为：),2,1(2sin 2122 =⋅==⋅===k m eh U k d U m e h m eU m h p h ϕλ即加速电压满足此式时，电子流强度I 有极大值，由此计算所得加速电势差U 的各个量值和实验相符，因而证实了德布罗意的假设的正确性。

电子既然有波动性，自然会联系到原子、分子和中子等其它粒子，是否也具有波动性。

用各种气体分子作类似的实验，完全证实了分子也具有波动性，德布罗意公式也仍然是成立的。

后来，中子的衍射现象也被观察到。

现在德布罗意公式已改为表示中子、电子、质子、原子和分子等粒子的波动性和粒子性之间关系的基本公式。

4、德布罗意波的统计解释既然电子、中子、原子等微观粒子具有波粒二象性，那么如何解释这种波动性呢？ 为了理解实物粒子的波粒二象性，我们不妨重新分析一下光的衍射情况。

根据波动光学观点，光是一种电磁波，在衍射图样中，亮处表示波的强度大，暗处表示波的强度最小。

而波的强度与振幅平方成正比。

所以，图样亮处波的振幅平方大，图样暗处波的振幅平方小。

根据光子的观点，光强大处表示单位时间内到达该处光子数多，光强小处表示单位时间到达该处光子数少。

从统计观点看，这相当说：光子到达亮处的几率大于到达暗处的几率。

因此可以说，粒子在某处出现的几率与该处波的强度成正比，所以也可以说，粒子在某处附近出现的几率与该处波的振幅平方成正比。

图18-3现在应用上述观点来分析一下电子的衍射图样见图18-3。

从粒子观点看，衍射图样的出现，是由于电子不均匀地设向照相底片各处所形成的，有些地方很密集，有些地方很稀疏。

这表示电子射到各处的几率是不同的，电子密集处几率大，电子稀疏处几率小。

从波动观点看，电子密集处波强大，电子稀疏处波强小。

所以，电子出现的几率反映了波的强度，因为波强正比与波幅平方。

普遍的说，某处出现粒子的几率正比与该处德布罗意波振幅的平方。

这就是德布罗波的统计解释。

说明：①一切实物粒子都具有波粒二象性。

宏观物体的波长一般是很短的，它们的波动性不能通过观察而得到；相反，微观粒子，特别是匀速运动的粒子，它们物质波波长十分显著，不能把它们再看作经典粒子。

②微观粒子的波动性已经在现代科学技术上得到应用。

电子显微镜分辨之所以较普通显微镜高，就是应用了电子的波动性。

我们提到过，光学显微镜由于受到可见光的限制，分辨率不能很高。

放大倍数只有2000倍左右，而电子的德布罗意波长比可见光短得多，按A λ=知，U 为几百伏特时，电子波长和X 射线相通。

如果加速电压增大到几万伏特，则λ更短。

所以，电子显微镜放大倍数很大，可达到几十万倍以上。

③应该指出，德布罗意波与经典物理当中研究的波是截然不同的，如：机械波是机械振动在空间中的传播，而德布罗意波是对微观粒子运动的统计描述，它的振幅平方表述了粒子出现的几率。

我们绝对不能把微观粒子的波动性，机械地理解成经典物理当中的波，不能认为实物粒子变成了弯弯曲曲的波了。

例18-1：一电子束中，电子的速率为s m /104.86⨯，求德布罗意波长。

解：因为 s m /104.86⨯比c=s m /1038⨯小的多， 所以可用经典理论： A m v m h p h 867.010867.0104.8101.91062.610631340=⨯=⨯⨯⨯⨯===---λ。

例18-2：已知第一玻尔轨道半径为1r ，试计算当氢原子中电子沿第n 个玻尔轨道运动时，其相应的德布罗意波长是多少？ 解：ph =λ 依玻尔量子化条件 π2h n mvr n = 有： π2h n pv n = 1122n nr 2h r n 12nh p r n r ππ==∴=代入中，有1nr 2h h πλ=n r 21π=三、不确定关系在经典力学中，任一时刻粒子的坐标和动量都有准确值，所以可用坐标和动量描述粒子的状态。

那么，对于微观粒子是否也可以这样做呢？下面来讨论这个问题。

以电子运动为例，设平行单缝电子束，沿y 轴方向入射到单缝k 上，缝宽为b ，电子经缝后产生衍射，衍射图样分布关于y 轴对称，如图18-4所示：在中央处形成亮纹，在其两旁还有其它亮纹。

现考虑中央零级。

根据单缝衍射公式有 sin()b ϕλ=（第1级极小） （18-3） 通过缝后，电子由于发生衍射，所以电子运动方向发生了变化，即动量发生了变化。

设经缝后电子动量为0p ，在ϕ角内，动量x 分量x p 满足下式：0sin()x p p ϕ≤≤ （18-4）故x p 的不确定量为 sin()x p p ϕ∆= （18-5） 由式（18-3）、（18-5）有 x b p p λ∆=⋅ （18-6） 当电子通过缝时，它通过单缝那一点是不确定的。

所以电子坐标x 的不确定度x ∆等于缝宽度b ，所以式（18-6）可化为 x x p h ∆⋅∆≥ （18-7） 上式称为海森伯不确定关系，x ∆、x p ∆分别称为粒子的坐标x 和动量x p 的不确定量。

说明：①由不确定关系，x ∆、x p ∆不可能同时为零，即粒子坐标和相应方向的动量不能同时测准确定。

x 测得越准时，即x ∆越小时，x p 测得越不准，即xp ∆越大。

当精确确定粒子坐标x （如x ∆→0）时，则x p 必然无法精确测量（x ∆→0时，x p ∆→∞），反之亦然。

②不确定关系是微观粒子具有波粒二象性的必然反映。

③对微观粒子不能用坐标和动量描述其运动状态。

④不确定关系推广到三维情况：x y z x p h y p h z p h ∆⋅∆≥⎧⎪∆⋅∆≥⎨⎪∆⋅∆≥⎩例18-3：在电子单缝衍射中，若缝宽为90.1(110)b nm nm m -==，电子束垂直如射在单缝上，求：衍射电子横向动量的最小不确定度x P ∆解：x x p h ∆⋅∆≥，即 x h p x∆≥∆ 依题意有动量最小不确定量为342496.6210 6.6210()0.110x h h p N s x b ---⨯∆≥===⨯⋅∆⨯ （x ∆=b ） 例18-4：一电子具有2001-⋅s m 的速率，动量不确定度为%.010，确定电子位置时，不图18-4确定量为多少？解： x x p h ∆⋅∆≥ => 0.01%x xh h x p P ∆≥=∆⨯ )m (...mV .h x231434106432001019101063600010----⨯=⨯⨯⨯⨯== 已确定原子大小的数量级为1010-m ，电子则更小，在这种情况下，电子位置不确定量远大于电子本身线度，所以，此时必须考虑电子的波粒二象性。