1. 平行六面体 2. 对称性尽可能高 3. 含点阵点尽可能少 正当空间格子有7种形状，14种型式
棱心为1/4（因为四格共用）
面心为1/2（因为二格共用） 格子内为1.
空间点阵
向空间三维方向伸展的点阵称为空间点阵.
选取三个不平行、不共面的单位向量 a, b, c,可
将空间点阵划分为空间格子。空间格子一定是平行 六面体。
10. 给出 1s， 2p 和 3d 电子轨道角 动量的大小及其波函数的径向和角 度部分的节面数。
解：1s，
2p 和 3d 电子对应的主量子数、 角量子数、角动量、径向分布节面数、角 度部分节面数，分别见下表：
9.3 晶体的周期性结构与点阵
9.3.1 结构基元与点阵
晶体的周期性结构使得人们可以把 它抽象成“点阵”来研究.将晶体中重
正当平面格子的标准
1. 平行四边形 2. 对称性尽可能高 3. 含点阵点尽可能少 平面格子净含点阵点数：顶点为1/4；棱心为1/2；格内 为1. 正当平面格子有4种形状，5种型式（其中矩形有带心
与不带心两种型式）：
60o
正当空间格子的标准:
空间格子净含点阵点数： 顶点为1/8（因为八格共用）
空 间 点 阵 与 正 当 空 间 格 子
察到的某种性质, 圈外表示该点群晶体中不可能观察到的某
种性质）.
9.4.7 晶体的230种空间群
晶体的微观对称元素是在宏观对称操作基础上增加了 点阵结构特有的平移操作. 微观对称元素组合得到空间群.
空间群的记号也有Schö nflies符号和国际符号，前者是在点
群的Schö nflies符号上增写右上标，后者是在点群的国际符 号前增写点阵型式P、I、F、A、B、C、R，并写出存在的 螺旋轴、滑移面. 有时也将两种符号结合起来同时使用.
2
（ 2）
n 3 4k (k 1,2,3...)时, n 1 1 sin 1, wmax 2 4 6
（ 3）
1 w 4
（3）此状态角动量在 z 方向的分 量为多少？
解：由|m|=0，
M Z m
得
M Z m 0 0
（4）此状态的 n， l， m 值分别为多少？ 解： 此状态下n=2, l=0, m=0 （5）此状态角度分布的节面数为多少？ 解： 角度分布图中节面数= l， 又 l=0 ，故此状态角度分布的节面数为0。
9.5 晶面及晶面指标
晶体的空间点阵可划分为一族平行而等间距 的平面点阵, 晶面就是平面点阵所处的平面. 空间 点阵划分为平面点阵的方式是多种多样的. 不同的
划法划出的晶面 ( 点阵面 ) 的阵点密度是不相同的 .
9.4.6 32个晶体学点群
晶体的宏观对称操作是点操作，所有宏观对称元素 会通过一个公共交点按一切可能组合起来，产生晶体学 点群. 晶体的宏观对称元素只有8种，晶体点群数目也受
到限制, 只有32种.
晶体学点群可用Schö nflies符号表示或国际符号表示. 国际符号一般由三个位构成，每个位代表一个与特征对 称元素取向有一定联系的方向(这种联系是指每个晶系的 晶轴选择都有特别的规定) :
国 际 符 号 中 三 个 位 代 表 的 方 向
晶体学点群与晶体的物理性质密切相关. 从材料科学的 角度看，最值得注意的是晶体学点群中有无对称中心，晶体 的许多重要物理性质与对称中心不相容. 从晶体的数量来看, 大约80%的无机结构和60%的有机
结构具有对称中心.
从晶体学点群来看，32种点群中, 含对称中心的点群有 11种, 而非中心对称点群有21种. 非中心对称点群与对映体 、旋光性、热电效应、铁电效应、压电效应、倍频效应等物 理性质的联系可用下图表示(圈内表示该点群晶体中可能观
请点击按钮打开晶格模型
14种布拉维格子二：立方体心（cI）
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14种布拉维格子三：立方面心（cF）
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14种布拉维格子之四:
四方简单（tP）
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14种布拉维格子之五: 四方体心（tI）
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14种布拉维格子之六：六方简单（hP)
空间点阵与正当空间格子
9.3.3 晶体结构的代数表示——平移群
9.3.4 晶胞
设想把点阵放回晶体中去，
将把晶体切分成并置的平行六面
体小晶块，每个空间格子对应一 个小晶块 . 这种小晶块就是晶胞
，是代表晶体结构的最小单元.
晶胞参数
晶胞参数:
a、 b、 c
α、β、γ
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晶 胞 两 要 素
1/2 1/2 0 1/2 0 0 0 1/2
1/2 1/2 B: 1/2 0 0 0 1/2 0
1/2 1/2 1/2 结构基元: A-B （每个晶胞中有4个结构基元）
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CsCl型晶体
原子的分数坐标： A: 0 0 0
B: 1/2 1/2 1/2
结构基元: A-B
（每个晶胞中有1个结构基元）
所有顶点原子： 0，0，0 (前)后面心原子： 0，1/2，1/2 左(右)面心原子： 1/2，0，1/2 (上)下面心原子： 1/2，1/2，0
请点击按钮打开晶胞模型
下面一些晶胞作为观察和练习晶胞两要素的材料(以下各图
中A与B代表两种异号离子，而不必特指具体的元素) ：
NaCl型晶体
原子的分数坐标： A: 0 0 1/2 0 0
正确做法是按统一取法把每一对离子 A-B 作为结构
基元，抽象为点阵点，就得到正确的点阵——立方简单. 请点击按钮打开晶胞模型动态观察.
CsCl型晶体的点阵——立方简单
NaCl型晶体中，按统一的方式将每一对离子A-B抽象
为一个点阵点. 于是，点阵成为立方面心. 请点击按钮打开晶胞模型动态观察
NaCl型晶体结构
请点击按钮打开晶胞模型
9.4 晶体结构的对称性
9.4.1 晶体对称性的两个定理
1. 晶体中的对称轴(旋转轴、反轴、螺旋轴)必与一组 直线点阵平行，除一重轴外，对称轴必与一组平面点阵垂 直; 晶体中的对称面(镜面、滑移面)必与一组平面点阵平行， 而与一组直线点阵垂直.
2. 轴次定理: 晶体中的对称轴(旋转轴、反轴、螺旋轴)
下列晶体结构如何抽象成点阵？
Mn
(立方简单)
Li Na K Cr Mo W…...
(立方体心)
以上每一个原子都是一个结构基元，都可以抽象成一个点阵点.
实例：Ni Pd Pt Cu Ag Au ……
立方面心是一种常
见的金属晶体结构，其
中每个原子都是一个结 构基元，都可被抽象成 一个点阵点.
请点击按钮打开晶胞模型
(正)整数.
请点击按钮观看动画
滑移面有几种类 型 . 其中， a 滑移面
的基本操作是对于
该面(假象镜面)反映 后，再沿平行于此 面的x轴方向平移 ta /2. ta 是 x 轴方向的 平移周期 a. 有时将 平移直接写成a/2.
点击按钮观察动画.注意：反映滑移操作中
的“反映”是虚操作，可想象而难以实际表现, 故动画
复出现的最小单元作为结构基元(各个
结构基元相互之间必须是化学组成相 同、空间结构相同、排列取向相同、 周围环境相同)，用一个数学上的点来 代表 , 称为点阵点 . 整个晶体就被抽象
成一组点,称为点阵.
按连接其中任意两点的向量将所有的
点 阵 的 数 学 定 义
点平移而能复原的一组无限多个点.
结构基元与点阵点
晶体可以抽象成点阵，点阵是无限的. 只要从点阵中取
一个点阵单位即格子，就能认识这种点阵.
如何从点阵中取出一个点阵单位呢？
直线点阵与素向量、复向量
平 面 点 阵 与 正 当 平 面 格 子
净含一个点阵点的平面格子是素格子，多于一个
点阵点者是复格子；平面素格子、复格子的取法都有 无限多种. 所以需要规定一种 “正当平面格子”标准.
晶系的六方简单 (hP)格子相同（即hR是两个晶系共用的），但真实的三方晶体中
只有三次对称轴而没有六次对称轴，六方晶体才有六次对称轴.
14种布拉维格子之八：正交简单（oP)
请 点 击 按 钮 打 开 晶 格 模 型
14种布拉维格子之九：正交体心（oI)
请 点 击 按 钮 打 开 晶 格 模 型
14种布拉维格子之十：正交C心 oC(或 oA, oB）
中用幻影逗号的移动来模拟反映，请勿误解！
9.4.4 七ห้องสมุดไป่ตู้晶系
9.4.5 空间点阵型式——14种布拉维格子
在七大晶系基础上，如果进一步考虑到简单格子和带
心格子，就会产生14种空间点阵型式，也叫做14种布拉维 格子，由布拉维（O.Bravais）1895年确定. 空间点阵型式 属于微观对称性.
14种布拉维格子之一：立方简单（cP）
的轴次只有1、2、3、4、6.
9.4.2 晶体的宏观对称元素 晶体的理想外形及其在宏观观察中表现
出来的对称性称为晶体的宏观对称性.
9.4.3 晶体的微观对称元素
微观对称元素: (1) 平移操作对应的点阵. (2) 螺旋旋转操作对应的螺旋轴. (3) 反映滑移操作对应的滑移面. 旋转 2π/n 再沿轴向平移 m(t/n) ， 叫作螺旋旋转操作，相应的微观对 称元素是螺旋轴 nm . 其中，t是平移 周期，n=2、3、4、6, m是小于n的
请 点 击 按 钮 打 开 晶 格 模 型
14种布拉维格子之十一：正交面心（oF)
请 点 击 按 钮 打 开 晶 格 模 型
14种布拉维格子之十二：单斜简单（mP)
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14种布拉维格子之十三：单斜C心（mC)
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14种布拉维格子之十四：三斜简单 (aP)