密云区2019-2020学年度第一学期期末高二数学试卷2020.1一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.设,,a b c ∈R ，且a b >，则下列不等式成立的是 （ ） A. 22a b > B. 22ac bc >C. a c b c +>+D.11a b< 【答案】C 【分析】利用不等式的性质可得C 正确，通过取特殊值即可得,,A B D 错误. 【详解】12>-Q ，但是1112<-不成立，故D 不正确； 12Q ->-，但是()()2212->-不成立,故A 不正确； ,a b a c b c >∴+>+Q ，C 正确；0c =时，2200ac bc =>=，不成立，故选B .【点睛】用特例代替题设所给的一般性条件，得出特殊结论，然后对各个选项进行检验，从而做出正确的判断，这种方法叫做特殊法. 若结果为定值，则可采用此法. 特殊法是“小题小做”的重要策略，排除法解答选择题是高中数学一种常见的解题思路和方法，这种方法即可以提高做题速度和效率，又能提高准确性 2.抛物线28x y =的焦点坐标为（ ） A. ()4,0 B. ()0,4C. ()2,0D. ()0,2【答案】D 【分析】抛物线交点坐标为(0,)2p，算出p 即可. 【详解】由282x y px ==，得4p =，故抛物线28x y =的焦点坐标为()0,2.故选：D.【点睛】本题考查抛物线的定义及方程，求抛物线焦点坐标时，一定要注意将方程标准化，本题是一道基础题.3.命题“x R ∃∈，2+40x x >-3”的否定是（ ） A. 不存0x R ∈，2+40x x <-3 B. 存在0x R ∈，2+40x x ≤-3 C. x R ∀∈，2+40x x ≤-3 D. x R ∀∈ ，2+40x x <-3【答案】C 【分析】,()x M p x ∃∈的否定为,()x M p x ∀∈⌝.【详解】根据特称命题的否定是全称命题可知x R ∃∈，2+40x x >-3的否定为：x R ∀∈，2+40x x ≤-3.故选：C.【点睛】本题考查特称命题的否定，要注意两个方面的变化：一是量词符号，二是命题的结论，本题是一道容易题.4.已知直线l 的方向向量为m u r ,平面α的法向量为n r ,则“0m n ⋅=u r r”是“l ∥α”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【分析】根据线面平行的定义结合充分必要条件的定义判断,即可求得答案. 【详解】Q 0m n ⋅=u r r∴m n ⊥u r rQ 0m n ⋅=u r r ,即m n ⊥u r r,不一定有l ∥α,也可能l α⊂ ∴“0m n ⋅=u r r”是“l ∥α”的不充分条件Q l ∥α,可以推出m n ⊥u r r,∴“0m n ⋅=u r r”是“l ∥α”是必要条件,综上所述, “0m n ⋅=u r r”是“l ∥α”必要不充分条件. 故选:B.【点睛】本题主要考查了判断必要不充分条件,解题关键是掌握充分条件和必要条件的定义,属于中档题.5.已知函数()f x 与()'f x 的图象如图所示，则不等式组()()04f x f x x ⎧>⎨<<'⎩的解集为（ ）A. ()0,1B. 41,3⎛⎫⎪⎝⎭C. 4,23⎛⎫⎪⎝⎭D. ()1,4【答案】A 【分析】由()f x 与()'f x 的关系判断出哪支是()f x 的图象，哪支是()'f x 的图象即可.【详解】结合图象，若实线是()f x 的图象，虚线是()'f x 的图象，则在(0,2)上()'0f x <，则()f x在(0,2)单调递增，不满足题意，故实线那支为()'fx 的图象，虚线那支为()f x 的图象，故不等式组()()04f x f x x ⎧>⎨<<'⎩的解集为()0,1.故选：A.【点睛】本题考查()f x 与()'f x 图象之间的联系，考查学生逻辑推理能力，是一道基础题.6.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”.则该人最后一天走的路程为（ ）. A. 24里 B. 12里C. 6里.D. 3里【答案】C 【分析】由题意可知，每天走的路程里数构成以12为公比的等比数列，由6378S =求得首项，再由等比数列的通项公式求得该人最后一天走的路程．【详解】解：记每天走的路程里数为{}n a ，可知{}n a 是公比12q =的等比数列， 由6378S =，得166112378112a S ⎛⎫- ⎪⎝⎭==-，解得：1192a =，65119262a ∴=⨯=， 故选C ．【点睛】本题考查等比数列的通项公式，考查了等比数列的前n 项和，是基础的计算题． 7.若数列{}n a 中，121,2a a ==，11,n n n a a a +--=*(2,)n n ≥∈N ，则2019a ＝（ ） A. 2- B. 1-C. 1D. 2【答案】C 【分析】用1n +去换11n n n a a a +-=-中的n ，得21n n n a a a ++=-，相加即可找到数列{}n a 的周期. 【详解】由11n n n a a a +-=-①，得21n n n a a a ++=-②，①+②，得21n n a a +-=-，即3n n a a +=-，故6n n a a +=，所以数列{}n a 是以6为周期的周期数列，2019633633211a a a a a ⨯+===-=.故选：C.【点睛】本题考查周期数列的应用，在求项数比较大的项时，我们通常考虑是否为周期数列，本题是一道容易题.8.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两条渐近线分别为直线1l ，2l ，直线l 经过双曲线C 的右焦点F 且垂直于1l ，设直线l 与1l ，2l 分别交于A ，B 两点，若3FB AF =u u u r u u u r，则双曲线C 的离心率为（ ） A.23B.32C.6 D.43【答案】C 【分析】由已知可得FA b =，OA a =，过F 作FG OB ⊥于G ，易得FG b =，22BG b =，从而22OB a b =+，在OAB ∆中，利用勾股定理222OB OA AB =+即可建立,,a b c 之间的关系.【详解】如图1，1:0l bx ay +=，2:0l bx ay -=，由已知，22FA b a b==+，3FB b =，所以2222OA OF FA c b a =-=-=，如图2，过F 作FG OB ⊥于G ，易证AOF FOG ∆≅∆， 所以FG b =，故OG OA a ==，2222922BG BF GF b b b =-=-=，从而22OB a b =+，在OAB ∆中，222OB OA AB =+，所以222(2)16a b a b +=+，化简得a =，故双曲线离心率为2c e a ====. 故选：C.【点睛】本题考查双曲线离心率的求法，求双曲线离心率的问题，关键是找到,,a b c 之间的关系，建立方程或不等式，本题是一道中档题.二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分.9.在空间直角坐标系中，已知点M （1，0，1），N （-1，1，2），则线段MN 的长度为____________【分析】根据两点间距离公式计算．【详解】MN ==．【点睛】本题考查空间两点间距离公式，属于基础题．10.已知双曲线2221x y a-=（0a >,则a =_________．【答案】12【分析】 利用e ==1b =解方程即可.【详解】由已知，1b =，所以c e a ====12a =.故答案为：12. 【点睛】本题考查已知离心率求参数，考查学生的计算能力，是一道基础题. 11.曲线()(1)cos f x x x =+在点(0,(0))f 处的切线方程是_________________． 【答案】1y x =+【分析】先求出(0)f 与'(0)f ，再利用点斜式即可得到答案.【详解】由已知，'()cos (1)sin f x x x x =-+，所以'(0)1f =，又(0)1f =，故切线方程为'(0)(0)(0)y f f x -=-，即1y x =+.故答案为：1y x =+.【点睛】本题考查导数的几何意义，要注意在某点的切线与过某点的切线的区别，是一道容易题.12.在平面直角坐标系中，直线l 与双曲线221x y -=有且只有一个公共点，请写出任意符合条件的一条直线l 方程_______________．【答案】1;1;(0);(0)x x y x a a y x a a ==-=+≠=-+≠ （答案不唯一） 【分析】分别讨论直线l 斜率不存在、存在两种情况，再联立双曲线方程消元讨论即可.【详解】当直线l 斜率不存在时，1x =或1x =-，满足题意，当直线l 斜率存在时，设直线l 方程为y kx a =+，联立双曲线方程可得222(1)210k x kax a ----=，当1k =时，2210ax a ---=，若0a ≠，则方程有唯一解212a x a+=-，满足题意，此时直线l 方程为(0)y x a a =+≠，若0a =，则方程无解，不满足题意；同理，当1k =-时，2210ax a --=，若0a ≠，则方程有唯一解212a x a+=，满足题意，此时直线l 方程为(0)y x a a =-+≠，若0a =，则方程无解，不满足题意；当1k ≠±时， 则方程有两个不等的根或无实根，不满足题意.故答案为：1;1;(0);(0)x x y x a a y x a a ==-=+≠=-+≠（答案不唯一）【点睛】本题考查直线与双曲线的位置关系，其实本题可以数形结合得到，是一道容易题.13.已知二次不等式220ax x b ++>的解集为1x x a ⎧⎫≠-⎨⎬⎩⎭，且a b >，则22a b a b +-的最小值为__________.【答案】 【分析】根据题意得出0440a ab >⎧⎨∆=-=⎩，可得出1b a =，然后将所求代数式转化为()2a b a b -+-，并利用基本不等式求出该代数式的最小值.【详解】由于二次不等式220ax x b ++>的解集为1x x a ⎧⎫≠-⎨⎬⎩⎭，则0440a ab >⎧⎨∆=-=⎩，1ab ∴=且0a >，a b >Q ，0a b ∴->.()()()2222222a b ab a b a b a b a b a b a b a b-+-++∴===-+≥=----当且仅当a b -=.因此，22a b a b+-的最小值为故答案为.【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，同时也考查了不等式的解集与方程根的关系，把所要求的式子化简为可利用基本不等式的形式是解题的关键，考查运算求解能力，属于中等题.14.已知椭圆G ：2221(06x y b b+=<<的两个焦点分别为1F 和2F ，短轴的两个端点分别为1B 和2B ，点P 在椭圆G 上，且满足1212PB PB PF PF +=+，当b 变化时，给出下列三个命题：①点P 的轨迹关于y 轴对称；②OP 的最小值为2； ③存在b 使得椭圆G 上满足条件的点P 仅有两个， 其中，所有正确命题的序号是__________． 【答案】①②分析：运用椭圆的定义可得P 也在椭圆222166y x b+=-上，分别画出两个椭圆的图形，即可判断①正确；由图象可得当p 的横坐标和纵坐标的绝对值相等时，OP 的值取得最小，即可判断②正确；通过b 的变化，可得③不正确. 详解：椭圆(222:1066x y G b b+=<<的两个焦点分别为)216,0F b -和()226,0F b --，短轴的两个端点分别为()10,B b -和()20,B b ， 设(),P x y ，点P 在椭圆G 上， 且满足1212PB PB PF PF +=+，由椭圆定义可得，122262PB PB a b +==>，即有P 在椭圆222166y x b+=-上， 对于①，将x 换为x -方程不变， 则点P 的轨迹关于y 轴对称，故①正确.；对于②，由图象可得，当P 满足22x y =，即有226b b -=，即b =OP 取得最小值，可得222x y ==时，即有2OP ===取得最小值为2，故②正确；对于③，由图象可得轨迹关于,x y 轴对称，且0b <<则椭圆G 上满足条件的点P 有4个，不存在b 使得椭圆G 上满足条件的点P 有2个，故③不正确. ，故答案为①②.点睛：本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的定义以及椭圆的简单性质，属于难题. 求解与椭圆性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴、离心率等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.三、解答题: 本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15.已知等差数列{}n a 中，1242,8a a a =+=. （1）设2n an b =，求证：数列{}n b 是等比数列；（2）求数列{}n n a b +的前n 项和. 【答案】（1）证明见解+析 （2）()()3422-1++n n n【分析】（1）直接利用等比数列的定义证明；（2）采用分组求和法分别求出数列{}n a 与数列{}n b 的前n 项和，再相加即可. 【详解】解：（1）设{}n a 的公差为d ，由2416a a +=，可得()()1138a d a d +++=，即1248a d +=. 又12a =，可得1d =.故()()112111n a a n d n n =+-=+-⋅=+ 依题意，12n n b +=，因为211222n n n n b b +++==（常数）. 故{}n b 是首项为4，公比2的等比数列. （2）{}n a 的前n 项和为()()1322n n a a n n ++={}n b 的前n 项和为n+1n 1422421)112n b b q q --⋅==---（ 故{}n n a b +的前n 项和为()342n n n ++（2-1）. 【点睛】本题考查等差、等比数列定义，分组求和法求数列的前n 项和，考查学生的计算能力，是一道基础题. 16.已知函数321()32()3f x x x x x R =---∈. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）判断函数()f x 零点的个数，并说明理由.【答案】（1）函数()f x 在区间(,1)-∞-，(3,)+∞上单调递增；函数()f x 在区间(1,3)-上单调递减. （2）一个，理由见解+析 【分析】（1）2()23f x x x '=--，列表得到'()f x 在区间(,)-∞+∞上的正负符号即可得到()f x 的单调性；（2）计算1(1)3f -=-，(3)11f =-，(9)0f >，由（1）的结论及零点存在定理即可得到答案.【详解】（1）解：由题意得2()23f x x x '=--， 令()0f x '=，得11x =-，23x =． ()f x 与'()f x 在区间(,)-∞+∞上的情况如下:函数()f x 在区间(,1)-∞-，(3,)+∞上单调递增; 函数()f x 在区间(1,3)-上单调递减. （2）根据第一问，由函数单调性可知 当1x =-时，()f x 有极大值1(1)3f -=-； 当3x =时，()f x 有极小值(3)11f =-；在区间(,1)-∞-单调递增，在区间(1,3)-上单调递减，可知在(3)∞-，上，恒有()0f x <； 当9x =时， (9)0f >，(举例不唯一)(3,)+∞上单调递增，由零点存定理可知，有且只有一个实数(3,)t ∈+∞，使得()0f t =. 所以函数()f x 有且只有一个零点【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性以及零点个数的问题，涉及到零点存在性定理的应用，是一道基础题.17.如图，在四棱锥P ABCD -中，等边三角形PCD 所在的平面垂直于底面ABCD ，112AB AD CD ===， 90BAD ADC ∠=∠=o ，M 是棱PD 的中点．（Ⅰ）求证：AD ⊥平面PCD ； （Ⅱ）求二面角M BC D --的余弦值；（Ⅲ）判断直线CM 与平面PAB 的是否平行，并说明理由．【答案】（Ⅰ）见解+析 (Ⅱ) 155（Ⅲ）直线CM 与平面PAB 不平行 【分析】（Ⅰ）根据面面垂直的性质定理直接证得结果；（Ⅱ）建立空间直角坐标系，求解出平面MBC 和平面BCD 的法向量，然后求出法向量夹角的余弦值，由二面角为锐二面角，可得到所求二面角的余弦值；（Ⅲ）求解平面PAB 的法向量，可知CM u u u u v与法向量不垂直，由此得到结论为不平行.【详解】（Ⅰ）证明：Q 平面PCD ⊥平面ABCD ，平面PCD ⋂平面ABCD CD =，AD ⊂平面ABCD 且AD CD ⊥AD ∴⊥平面PCD（Ⅱ）取CD 的中点O ，连结OB ，OPPC PD =Q OP CD ∴⊥12AB CD =Q AB OD ∴=又90BAD ADC ∠=∠=o Q ∴四边形ABOD 是平行四边形//OB AD ∴ OB OC ∴⊥AD ⊥Q 平面PCD AD OP ∴⊥ OB OP ∴⊥建立如图所示空间直角坐标系O xyz -则()1,1,0A -，()1,0,0B ，()0,1,0C ，(3P ，130,2M ⎛- ⎝⎭330,,22CM ⎛⎫∴=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u u v ，()1,1,0CB =-u u uv设(),,m x y z v=为平面MBC 的一个法向量，由00m CM m CB ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u u v v u u u v v 得33020y z x y ⎧-+=⎪⎨⎪-=⎩令1x =，得1y =，3z =(3m =v 因为z 轴垂直于平面BCD ，所以取平面BCD 的一个法向量()0,0,1n v=315cos ,51m n m n m n ⋅===⨯v vv vv v 所以二面角M BC D --15（Ⅲ）直线CM 与平面PAB 不平行理由如下：()0,1,0AB =u u u v，(1,0,3PB =-u u u v设(),,v x y z v=为平面PAB 的一个法向量，由00v AB v PB ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v 得030y x z =⎧⎪⎨-=⎪⎩令1z =，得3x =)3,0,1v =v33303010222CM v ⎛⎫⋅=-⨯+=≠ ⎪⎝⎭u u u u v v所以CM u u u u v与v v不垂直，又因为CM ⊄平面PAB 所以直线CM 与平面PAB 不平行【点睛】本题考查面面垂直的性质、空间向量法解二面角、线面位置关系的判定问题.采用空间向量法解决二面角问题的关键是能够明确二面角大小等于两平面法向量所成角或其补角.18.已知函数()(ln )xe f x a x x x=+-，a R ∈.（1）求曲线()y f x =在点()1(1)f ，处的切线方程； （2）若()0f x >在[1,)+∞上恒成立，求a 的取值范围.【答案】（1）y e a =+ （2）a e ≥- 【分析】（1）先求出(1)f 与'(1)f ，再利用点斜式即可得到答案.（2）函数()0f x ≥在[1,)+∞上恒成立，等价于函数()y f x =的最小值大于或等于0，在求()y f x =的最小值时需分0a ≥，0a <两种情况讨论即可. 【详解】解：（Ⅰ）当1x =时，(1)+f e a =，因为'22(1)1(+)(1)()()=x x e x x e ax x f x a x x x---=+， 所以'(1)0f =.所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为y e a =+．（2）函数()0f x ≥在[1,)+∞上恒成立，等价于函数()y f x =的最小值大于或等于0.'22(1)1(+)(1)()()=x x e x x e ax x f x a x x x ---=+， 因为1x ≥所以10x -≥， 20x >. ①当0a ≥时，显然+0x e ax >，'22(1)1(+)(1)()()=0x x e x x e ax x f x a x x x ---=+≥函数()y f x =在[1,)+∞上单调递增，所以当1x =时，有最小值(1)+f e a =，显然+0e a ≥，所以0a ≥符合条件.②当0a <时，令()+xh x e ax =，'()+xh x e a =解得=ln()x a -，若ln()1a -≤即0e a -≤<时，'(1)+0h e a =≥ 当1x ≥时，'()+0xh x e a =≥函数()y h x =在[1,)+∞上单调递增，所以当1x =时，有最小值(1)+0h e a =≥， 当1x ≥时，显然+0x e ax ≥.函数()y f x =在[1,)+∞上单调递增，所以当1x =时，有最小值(1)+f e a =， 依题意有+0e a ≥，所以0e a -≤<符合条件.若ln()1a ->即a e <-时，显然(1)+0f e a =<，不符合. 综上，若函数()0f x ≥在[1,)+∞上恒成立，则a e ≥-.【点睛】本题考查导数的几何意义以及不等式恒成立问题，在处理恒成立问题时，通常构造函数，转化为最值来处理.19.已知椭圆2222:1x y C a b +=（0a b >>）的离心率为2，点M ）在椭圆上. （1）求椭圆C 的方程； （2）若直线:l 20(0)y m m -+=≠与椭圆C 交于两个不同的点A ，B ，直线MA ，MB 与x 轴分别交于P ，Q 两点，求证：PM QM =．【答案】（1）22142x y += （2）证明见解+析【分析】（1）由已知解方程组222222121c e a b a a b c ⎧==⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩即可；（2）要证明PM QM =，只需证MPQ MQP ∠=∠，也就是证直线MA 与MB 的斜率和为0，即120k k +=，而12k k +=.【详解】解：（1）因为M ）在椭圆22221x y a b+=上，所以22211a b +=因为离心率2，所以2c a =，有222a b c =+解得24a =所以，椭圆的标准方程为22142x y +=（2）由2220,1,42y m x y -+=⎨+=⎪⎩得22480x m ++-=．因为直线l 与椭圆C 有两个交点，并注意到直线l 不过点M ，所以22844(8)0,0.m m m ⎧-⨯->⎨≠⎩解得40m -<<或04m <<．设11(,)A x y ，22(,)B x y，则122x x m +=-，21284m x x -=,112m y +=，222m y +=． 显然直线MA 与MB 的斜率存在，设直线MA 与MB 的斜率分别为1k ，2k ，由（Ⅰ）可知M则12k k +=+1221(1)((1)(m mx x ++-+-===28)(m m ----+=2=220==．因为120k k +=，所以MPQ MQP ∠=∠． 所以PM QM =．【点睛】本题考查直线与椭圆位置关系的应用，考查学生的数据运算与转化与化归的核心素养，是一道有难度的题.20.给定一个数列{}n a ，在这个数列里，任取*(3,)m m m N ≥∈项，并且不改变它们在数列{}n a 中的先后次序，得到的数列称为数列{}n a 的一个m 阶子数列．已知数列{}n a 的通项公式为1n a n a=+（*,n N a ∈为常数），等差数列236,,a a a 是 数列{}n a 的一个3阶子数列． （1）求a 的值；（2）等差数列12,,...,m b b b 是{}n a 的一个*(3,)m m m N ≥∈阶子数列，且11b k=（k 为常数，*,2)k N k ∈≥，求证：1m k +≤； （3）等比数列12,,...,m c c c 是{}n a 的一个*(3,)m m m N ≥∈阶子数列，求证：1211......22m m c c c -+++-≤．【答案】（1）0；（2）证明见解+析；（3）证明见解+析．【详解】（1）利用等差数列的定义及其性质即可得出； （2）设等差数列b 1，b 2，…，b m 的公差为d ．由b 11k =，可得b 211k ≤+，再利用等差数列的通项公式及其不等式的性质即可证明；（3）设c 11t = （t ∈N *），等比数列c 1，c 2，…，c m 的公比为q ．由c 211t ≤+，可得q 211c t c t =≤+．从而c n ＝c 1q n ﹣111()1n t t t -≤+（1≤n ≤m ，n ∈N *）．再利用等比数列的前n 项和公式、函数的单调性即可得出．（1）解：∵a 2，a 3，a 6成等差数列， ∴a 2﹣a 3＝a 3﹣a 6．又∵a 212a =+，a 313a =+，a 616a =+， 代入得11112336a a a a-=-++++，解得a ＝0． （2）证明：设等差数列b 1，b 2，…，b m 的公差为d ． ∵b 11k =，∴b 211k ≤+， 从而d ＝b 2﹣b 1()11111k k k k ≤-=-++． ∴b m ＝b 1+（m ﹣1）d ()111m k k k -≤-+． 又∵b m ＞0，∴()111m k k k --+＞0． 即m ﹣1＜k +1． ∴m ＜k +2．又∵m ，k ∈N *，∴m ≤k +1．（3）证明：设c 11t= （t ∈N *），等比数列c 1，c 2，…，c m 的公比为q ．∵c 211t ≤+，∴q 211c t c t =≤+． 从而c n ＝c 1q n ﹣111()1n t t t -≤+（1≤n ≤m ，n ∈N *）．∴c 1+c 2+…+c m 1211111()()()111m t t t t t t t t t t -≤+++++++L1[1)1m t t t t +⎛⎤=- ⎥+⎝⎦， 设函数f （x ）＝x 11m x--，（m ≥3，m ∈N *）．当x ∈（0，+∞）时，函数f （x ）＝x 11m x --为单调增函数．∵当t ∈N *，∴11t t +≤＜2．∴f （1t t +）≤2112m --． 即 c 1+c 2+…+c m ≤2112m --．考点：新定义，等差数列的性质，等差数列的通项公式，等比数列的通项公式与前n 项和公式，放缩法证明不等式．。