1.2.2 集合的运算第1课时交集与并集【学习要求】1.理解两个集合的交集与并集的含义，会求两个简单集合的交集和并集．2.能使用Venn图表示集合的交集和并集运算结果，体会直观图对理解抽象概念的作用．3.掌握有关的术语和符号，并会用它们正确进行集合的交集与并集运算．【学法指导】通过观察和类比，借助Venn图理解集合的交集及并集运算，培养数形结合的思想；体会类比的作用；感受集合作为一种语言在表示数学内容时的简洁性和准确性.填一填：知识要点、记下疑难点1.交集的定义：一般地，对于两个给定的集合A，B，由属于A又属于B的所有元素构成的集合，叫做A与B的交集，记作A∩B，读作“A交B”．即A∩B＝ {x|x∈A且x∈B} .2.交集的性质：(1)A∩B＝ B∩A ；(2)A∩A＝A ；(3)A∩∅＝∅∩A＝∅；(4)如果A⊆B，则A∩B＝A .3.并集的定义：一般地，对于两个给定的集合A，B，由两个集合的所有元素构成的集合，叫做A 与B的并集，记作A∪B，读作“A并B”．即A∪B＝ {x|x∈A或x∈B} .4.并集的性质：(1)A∪B＝ B∪A ；(2)A∪A＝A ；(3)A∪∅＝∅∪A＝A ；(4)如果A⊆B，则A∪B＝B .研一研：问题探究、课堂更高效[问题情境] 两个实数除了可以比较大小外，还可以进行加减法运算，如果把集合与实数相类比，我们会想两个集合是否也可以进行“加减”运算呢？本节就来研究这个问题．探究点一交集问题1你能说出集合C与集合A、B之间的关系吗？(1)A＝{1,2,3,4,5}，B＝{3,4,5,6,8}，C＝{3,4,5}；(2)A＝{x|x≤3}，B＝{x|x>0}，C＝{x|0<x≤3}；(3)A＝{x|x为高一(4)班语文测验优秀者}，B＝{x|x为高一(4)班英语测验优秀者}，C＝{x|x为高一(4)班语文、英语测验优秀者}．答：通过观察得出集合C由集合A和集合B中的相同的元素构成．问题2在问题1中，我们称集合C为集合A、B的交集，那么如何定义两个集合的交集？答：交集的定义：一般地，对于给定的集合A，B，由属于集合A又属于集合B的所有元素构成的集合，叫做A与B的交集，记作A∩B，读作“A交B”．即A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．问题3如何用集合语言表示直线l与⊙O相交于两点A，B?答：l∩⊙O＝{A，B}问题4对于任意两个集合A，B，它们的交集有怎样的性质？答：A∩B＝B∩A, A∩B⊆A，A∩B⊆B.问题5如何用Venn图表示集合A∩B?答：集合A∩B为下图所示的阴影部分．问题6A∩B＝A可能成立吗？A∩B＝∅呢？答：都有可能成立．当A⊆B时，A∩B＝A成立；当集合A、B没有共同的元素时，A∩B＝∅.例1 求下列每对集合的交集：(1)A＝{x|x2＋2x－3＝0}，B＝{x|x2＋4x＋3＝0}；(2)C＝{1,3,5,7}，D＝{2,4,6,8}．解(1)A∩B＝{1，－3}∩{－1，－3}＝{－3}；(2)C∩D＝∅.小结 两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A 与B 的公共元素组成的集合，当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集．跟踪训练1 设A ＝{x|x 是奇数}，B ＝{x|x 是偶数}，求A∩Z ，B∩Z ，A∩B.解：因为A 是Z 的子集，B 是Z 的子集，所以A∩Z ＝A ，B∩Z ＝B ，A∩B＝{x|x 是奇数}∩{x|x 是偶数}＝∅.例2 已知A ＝{(x ，y)|4x ＋y ＝6}，B ＝{(x ，y)|3x ＋2y ＝7}，求A∩B.解：A∩B＝{(x ，y)|4x ＋y ＝6}∩{(x，y)|3x ＋2y ＝7}＝{(x ，y)|⎩⎨⎧4x ＋y ＝63x ＋2y ＝7}＝{(1,2)}． 小结：由于集合A 和B 都是一个二元一次方程的解集，集合A 和B 的元素是有序实数对，所以A 交B 为二元一次方程组的解集．跟踪训练2 已知A ＝{x|x 是等腰三角形}，B ＝{x|x 是直角三角形}，求A∩B.解 A∩B＝{x|x 是等腰三角形}∩{x|x 是直角三角形}＝{x|x 是等腰直角三角形}．探究点二 并集问题1 请同学们考察下列两组集合，你能说出集合C 与集合A ，B 之间的关系吗？(1)A ＝{1,3,5}，B ＝{2,4,6}，C ＝{1,2,3,4,5,6}；(2)A ＝{x|x 是有理数}，B ＝{x|x 是无理数}，C ＝{x|x 是实数}．答：通过观察，得出集合A 和集合B 的元素放在一起即为集合C 的元素．问题2 在问题1中，我们称集合C 为集合A ，B 的并集，那么如何定义两个集合的并集？答：一般地，对于两个给定的集合A 与B ，由两个集合的所有元素构成的集合，叫做A 与B 的并集，记作A∪B，读作“A 并B”．即 A∩B＝{x|x∈A或x∈B}.问题3 如何用Venn 图表示集合A 与B 的并集？答：集合A∪B 可用下图(1)或(2)阴影表示．问题4 如何用并集运算符号表示问题1中A ，B ，C 三者之间的关系？答：A∪B＝C.问题5 集合的并集有什么性质？答：(1)A∪B＝B∪A，(2) A∪A＝A ；(3)A∪∅＝∅∪A＝A ；(4) 如果A ⊆B ，那么A∪B＝B.问题6 A∪B＝A 可能成立吗？ A∪B＝∅呢？答：都有可能成立．当B ⊆A 时，A∪B＝A 成立；只有当A ＝B ＝∅时，A∪B＝∅.例3 已知Q ＝{x|x 是有理数}，Z ＝{x|x 是整数}，P ＝{x|x 是无理数}，求Q∪Z，Q∪P.解：Q∪Z＝{x|x 是有理数}∪{x|x 是整数}＝{x|x 是有理数}＝Q ；Q∪P＝{x|x 是有理数}∪{x|是无理数}＝{x|x 是实数}．小结：两个集合的并集仍是一个集合，是由集合A 与B 的所有元素组成的，它们的公共元素在并集中只能出现一次．对于表示不等式解集的集合的运算，可借助数轴解题．跟踪训练3 (1)设A ＝{4,5,6,8}，B ＝{3,5,7,8}，求A∪B.(2)设集合A ＝{x|－1<x<2}，集合B ＝{x|1<x<3}，求A∪B.解：(1)A∪B＝{4,5,6,8}∪{3,5,7,8}＝{3,4,5,6,7,8}．(2)A∪B＝{x|－1<x<2}∪{x|1<x<3}＝{x|－1<x<3}．还可以在数轴上表示A∪B，如图．探究点三 交集、并集的应用例4 已知A ＝{x|x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x|x 2－ax ＋a －1＝0}，若A∪B＝A ，求实数a 的值． 解 ∵A＝{1,2}，A∪B＝A ，∴B ⊆A ，∴B＝∅或B ＝{1}或B ＝{2}或B ＝{1,2}．当B ＝∅时，Δ<0，a 不存在，当B ＝{1}时，⎩⎨⎧ Δ＝01－a ＋a －1＝0，∴a＝2. 当B ＝{2}时，⎩⎨⎧ Δ＝04－2a ＋a －1＝0，∴a 不存在． 当B ＝{1,2}时，⎩⎨⎧ 1＋2＝a 1×2＝a －1，∴a＝3. 综上所述，a ＝2或a ＝3.小结：在利用集合的交集、并集性质解题时，若条件中出现A∪B＝A ，或A∩B＝B ，解答时常转化为B ⊆A ，然后用集合间的关系解决问题，运算时要考虑B ＝∅的情况，切记不可漏掉．跟踪训练4 设集合A ＝{x|x 2＋4x ＝0}，B ＝{x|x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0，a∈R}，若A∩B＝B ，求a 的值．解：由题意得A ＝{－4,0}，因为A∩B＝B ，所以B ⊆A.当B ＝∅时，即关于x 的方程x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0无实数解，则Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)<0，解得a<－1.当B≠∅时，若集合B 中仅含一个元素，则Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)＝0，解得a ＝－1，此时，B ＝{x|x 2＝0}＝{0}⊆A ，即a ＝－1符合题意．若集合B 含有两个元素，则这两个元素是－4,0，即关于x 的方程x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0的解是－4,0，则有⎩⎨⎧ －4＋0＝－2a ＋1，－4×0＝a 2－1，解得a ＝1，则a ＝1符合题意．综上所述，a ＝1或a≤－1.练一练：当堂检测、目标达成落实处1.已知集合A ＝{1,2,4}，B ＝{2,4,6}，则A∪B＝{1,2,4,6}.解析： A∪B 是由A ，B 的所有元素组成的．A∪B＝{1,2,4,6}．2.设集合A ＝{y|y ＝x 2，x∈R}，B ＝{(x, y)|y ＝x ＋2，x∈R}, 则A∩B ＝__∅______.解析：由于集合A 表示的是数集，集合B 表示的是点集，因此没有公共元素，故答案为∅.3.设A ＝{x|x>0}，B ＝{x|x≤1}，求A∩B 和A∪B.解：A∩B ＝{x|x>0}∩{x|x≤1}＝{x|0<x≤1}，A∪B＝{x|x>0}∪{x|x≤1}＝R .课堂小结：1.对并集、交集概念全方面的感悟(1)对于并集，要注意其中“或”的意义，“或”与通常所说的“非此即彼”有原则性的区别，它们是“相容”的．“x∈A，或x∈B”这一条件，包括下列三种情况：x∈A 但x ∉B ；x∈B 但x ∉A ；x∈A 且x∈B.因此，A∪B 是由所有至少属于A 、B 两者之一的元素组成的集合．(2)A∩B 中的元素是“所有”属于集合A 且属于集合B 的元素，而不是部分，特别地，当集合A 和集合B 没有公共元素时，不能说A 与B 没有交集，而是A∩B＝∅.2.集合的交、并运算中的注意事项(1)对于元素个数有限的集合，可直接根据集合的“交”、“并”定义求解，但要注意集合元素的互异性．(2)对于元素个数无限的集合，进行交、并运算时，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意端点值是否取到.。