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第十一章 一元线性回归分析

第十一章一元线性回归11.1从某一行业中随机抽取12家企业,所得产量与生产费用的数据如下:企业编号产量(台)生产费用(万元)企业编号产量(台)生产费用(万元)1 40 130 7 84 1652 42 150 8 100 1703 50 155 9 116 1674 55 140 10 125 1805 65 150 11 130 1756 78 154 12 140 185要求:(1)绘制产量与生产费用的散点图,判断二者之间的关系形态。

(2)计算产量与生产费用之间的线性相关系数。

(3)对相关系数的显著性进行检验(α = 0.05),并说明二者之间的关系强度。

解:(1)利用Excel的散点图绘制功能,绘制的散点图如下:从散点图的形态可知,产量与生产费用之间存在正的线性相关。

(2)利用Excel的数据分析中的相关系数功能,得到产量与生产费用的线性相关系数r = 0.920232。

(3)计算t统计量,得到t = 7.435453,在α = 0.05的显著性水平下,临界值为2.6337,统计量远大于临界值,拒绝原假设,产量与生产费用之间存在显著的正线性相关关系。

r大于0.8,高度相关。

11.2 学生在期末考试之前用于复习的时间(单位:h)和考试分数(单位:分)之间是否有关系?为研究这一问题,以为研究者抽取了由8名学生构成的一个随机样本,得到的数据如下:复习时间x考试分数y20 6416 6134 8423 7027 8832 9218 7222 77要求:(1)绘制复习时间和考试分数的散点图,判断二者之间的关系形态。

(2)计算相关系数,说明两个变量之间的关系强度。

解:(1)利用Excel的散点图绘制功能,绘制的散点图如下:从散点图的形态来看,考试分数与复习时间之间似乎存在正的线性相关关系。

(2)r = 0.862109,大于0.8,高度相关。

11.3根据一组数据建立的线性回归方程为ˆ100.5=-。

y x要求:ˆβ的意义。

(1)解释截距ˆβ意义。

(2)解释斜率1(3)计算当x = 6时的E(y)。

解:(1)在回归模型中,一般不能对截距项赋予意义。

ˆβ的意义为:当x增加1时,y减小0.5。

(2)斜率1(3)当x = 6时,E(y) = 10 – 0.5 * 6 = 7。

11.4 设SSR = 36,SSE = 4,n = 18。

要求:(1)计算判定系数R2并解释其意义。

(2)计算估计标准误差s e并解释其意义。

解:SST = SSR+SSE = 36+4 = 40,R2 = SSR / SST = 36 /40 = 0.9,意义为自变量可解释因变量变异的90%,自因变量与自变量之间存在很高的线性相关关系。

s== 0.5,这是随机项的标准误差的估计值。

(2)e11.5一家物流公司的管理人员想研究货物的运送距离和运送时间的关系,因此,他抽出了公司最近10辆卡车运货记录的随机样本,得到运送距离(单位:km)和运送时间(单位:天)的数据如下:12155.0要求:(1)绘制运送距离和运送时间的散点图,判断二者之间的关系形态。

(2)计算线性相关系数,说明两个变量之间的关系强度。

(3)利用最小二乘法求出估计的回归方程,并解释回归系数的实际意义。

解:(1)利用Excel 绘制散点图,如下:从散点图的形态来看,运送时间和运送距离之间存在正的线性相关关系。

(2)计算的相关系数为0.9489,这是一个很高的相关系数。

(3)用OLS 方法估计得到模型参数为0ˆβ= 0.118129,1ˆβ= 0.003585, 回归方程为:运送时间 = 0.118129 + 0.003*运送距离,意义为:运送距离每增加1km ,运送时间增加0.003383天,即0.086小时。

11.6 下面是7个地区2000年的人均国内生产总值(GDP )和人均消费水平的统计数据:地区 人均GDP (元)人均消费水平(元)北京22460 7326 辽宁 11226 4490 上海 34547 11546 江西 4851 2396 河南 5444 2208 贵州26621608陕西 4549 2035要求:(1)人均GDP 作自变量,人均消费水平左因变量,绘制散点图,并说明二者之间的关系形态。

(2)计算两个变量之间的线性相关系数,说明两个变量之间的关系强度。

(3)利用最小二乘法求出估计的回归方程,并解释回归系数的实际意义。

(4)计算判定系数,并解释其意义。

(5)检验回归方程线性关系的显著性(α = 0.05)。

(6)如果某地区的人均GDP 为5000元,预测其人均消费水平。

(7)求人均GDP 为5000元时,人均消费水平95%的置信区间和预测区间。

解:(1)利用Excel 绘制的散点图如下:从散点图来看,人均消费水平与人均GDP 之间存在很强的正线性相关关系。

(2)r = 0.998,高度相关。

(3)用OLS 方法估计得到模型参数为0ˆβ= 734.69,1ˆβ= 0.308,回归方程为:人均消费水平 = 734.69 + 0.308*人均GDP ,意义为:人均GDP 每增加1元,人均消费水平增加0.31元,此值即为经济学中的边际消费倾向。

这里截距可解释为人均GDP 为0时,居民的消费支出为734元/年,即经济学中的自发支出。

(4)判定系数R 2 = 0.996,人均消费水平变异的99%可由人均GDP 来解释。

(5)这是一个一元线性回归模型,只需要检验斜率系数的显著性即可。

斜率系数的t 统计量1ˆ0.308/0.0085=36.49et s β==, 显著性水平为0.05,自由度为7-2=5,临界值为3.16,统计量远大于临界值,是高度显著的。

(6)将人均GDP 代入到估计的回归方程,计算得到人均消费水平的期望值为2278元。

(7)查表得2(72) 2.570582t α-=,点估计值为2278元,标准误差为247.3035, 人均消费水平95%的置信区间为22782278287.27±=± 即(1990.73,2565.27)。

而人均消费水平95%的预测区间为22782278697.21±=± 即区间(1580.79,2975.21),对个别值的预测精确度比对总体均值的预测低。

11.7 随机抽取10家航空公司,对其最近一年的航班正点率和顾客投诉次数进行了调查,所得数据如下:要求:(1)绘制散点图,说明二者之间的关系形态。

(2)用航班正点率左自变量,顾客投诉次数左因变量,求出估计的回归方程,并解释回归系数的意义。

(3)检验回归系数的限制性(α=0.05)。

(4)如果航班正点率为80%,估计顾客投诉次数。

(5)求航班正点率为80%时,顾客投诉次数95%的置信区间和预测区间。

解:(1)散点图如下。

从散点图的形态来看,航班正点率与顾客投诉次数之间有负的线性相关关系。

(2)用Excel 回归分析,得到估计的回归方程如下:=430.1892 4.70062*-顾客投诉次数航班正点率斜率系数为-4.70062,表示航班正点率提高1个百分点,顾客投诉次数减少4.7次。

符号为负,与理论相符。

截距系数一般不赋予意义。

(3)一元回归只要检验斜率系数的显著性即可。

斜率西数的t 统计量为1ˆ 4.70062/0.947894= 4.95902et s β==-- 相应的P 值为0.001108,小于0.05,t 统计量是显著的。

(4)由估计的回归方程,得到果航班正点率为80%,估计顾客投诉次数为 430.1892 - 4.70062*80 = 54.1396(次)(5)查表得2(102) 2.306004tα-=,点估计值为54.1396元,标准误差为18.887,故置信区间为54.139616.47989±±即区间(37.6597,70.61949)。

而预测区间为54.139646.56756±±即区间(7.57204,100.7071)11.8下面是20个城市写字楼由出租率和每平方米月租金的数据。

设月租金为自变量,出租率为因变量,用Excel进行回归,并对结果进行解释和分析。

解:回归分析结果如下:SUMMARY OUTPUT回归统计Multiple R 0.79508R Square 0.632151Adjusted R Square 0.611715标准误差2.685819观测值20方差分析df SS MS FSignifica nce F回归分析1223.1403223.140330.933182.8E-05残差18129.84527.213622总计19352.9 855Coeffi cients标准误差t StatP-valueLower95%Upper95%下限95.0%Intercept 49.317683.80501612.961231.45E-1041.3236457.3117241.32364X Variable 10.2492230.044815.5617612.8E-050.155080.3433650.15508结果分析如下:(1)斜率系数的t统计量在95%的显著性水平下是高度显著的,斜率系数等于0.2492,表示每平方米月租金提高1元,出租率将提高0.2492个百分点。

(2)判断系数R2等于6321,表示出租率的变异可由月租金解释63.21%。

判断系数不算很高,可能还有其它的变量影响出租率。

11.9 某汽车生产商欲了解广告费用(x)对销售量(y)的影响,收集了过去12年的有关数据。

通过计算得到下面的有关结果:方差分析表参数估计表要求:(1)完成上面的方差分析表。

(2)汽车销售量的变差中有多少是由广告费用的变动引起的? (3)销售量与广告费用之间的相关系数是多少? (4)写出估计的回归方程并解释回归系数的实际意义。

(5)检验线性关系的显著性(α=0.05)。

解:(1)此为一元线性回归,由自由度可知,样本容量n = (11+1)=12。

由此可计算各自由度和SS 。

进而计算各均方误,最后计算出F 统计量(MSR/MSE )。

结果如下:方差分析表(2)计算判断系数,21602708.6R =0.97551642866.67SSR SST ==人大出版社《统计学》第四版课后习题参考答案表明销售量的变异有97.55%是由广告费用的变东引起的。

(3)一元线性回归模型中,相关系数等于判断系数的平方根,即r =0.9877。

(4)根据估计得到的模型参数,回归方程如下:ˆ363.68911.420211i i yx =+ 表示广告费用增加1单位,销售量将平均增加1.42单位。

(5)由参数估计表可知,斜率系数的t 统计量等于19.97749,这是一个在显著性水平0.05下高度显著的统计量。

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