2. 剪切胡克定律

A

B
剪切面上有剪应力

B

在比例极限内，剪应
力与剪应变成正比

D

C

C
比例常数G称为剪切弹性
G 模量，或切变模量
具有应力的量纲，常
材料常数之间的关系
以GPa为单位
G E
三个弹性常数
2(1 ) 中仅两个独立
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《 材 料 力 学 》—— 李章政
2.1 剪切与扭转的概念
一、剪切变形
❖受力
• 外力垂直于杆轴，相距很近 • 剪切面上的内力为剪力
❖变形
• 相对错动（相邻截面） • 角度变化
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F
F 剪切面
V F
F
F

4
《 材 料 力 学 》—— 李章政
❖产生剪切变形的构件
• 连接件：螺栓、销钉、铆钉、键 • 木材的齿连接
❖剪切面个数nv
三、剪应变和剪应力 A 1. 剪应变
相邻截面发生相对错动
D
剪切位移（相对错动位移）
BB或CC
相对剪切位移

绝对剪切位移 截面间距

B
B

C
C

BB
tan

小变形假设
AB
直角的改变量（弧度）称为剪应变（shear strain），或角应变、切应变。
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《 材 料 力 学 》—— 李章政
2. 剪切破坏条件
剪切面上的计算剪应力不低 于材料的抗剪强度极限
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V A
b
t
t
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❖例题2.5
《 材 料 力 学 》—— 李章政
已知钢板厚度t=10mm，钢板的剪切强度极限
b=400MPa，若用冲床在此钢板上冲出一个直
径d=30mm的圆孔，问需要多大的冲切力F？
❖解：
在冲孔中，剪切面是一个圆柱面
max
c T / IP
所以
c
T
IP

max

TR IP
T Wt
其中
IP
2dA ——截面的极惯性矩
A
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Wt

IP
/
R
——截面的抗扭系数（模量） 33
《 材 料 力 学 》—— 李章政 极惯性矩按定义计算
dA (d )d
IP
2. 剪应力分布规律
• 实心圆截面：三角形分布 • 空心圆截面：梯形分布 • 最大剪应力：圆轴外边缘
c
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32
《 材 料 力 学 》—— 李章政
3. 剪应力计算公式
dF dA dT dF dA
T

A

dA

c
A 2dA cIP
2dA
2
(
D/ 2 3d )d
A
0 d/2
(D4 d4)
32
D4 (1 4 )
32 此处
d/D
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y
dA

d
x
D 34
《 材 料 力 学 》—— 李章政
截面抗扭系数
Wt

IP R

2IP D
D3 (1 4 )
16
y
实心圆截面（ = 0）
F
80kN
1.25 MPa
承压应力
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bs

Fbs Abs

F Abs
80 103 60 160
8.33 MPa
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《 材 料 力 学 》—— 李章政
例题2.2
铆钉受力如图，承压应力计算有下列四种：
A. bs=F/(td)
B. bs=2F/(td)
t/2
F
C. bs=2F/(td) F
d
t/2
D. bs=4F/(td)
解
承压高度 t/2
Abs dt / 2
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bs

Fbs Abs
F dt / 2
2F dt
答案：B
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❖例题2.3
《 材 料 力 学 》—— 李章政
图示法兰盘由四个直径10mm的螺栓连接， 承受力矩作用，砝兰盘厚度12mm。计算连 接的剪应力和承压应力。
• 单面剪切 • 双面剪切 • 三面剪切
• ……
F
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FF
F/2 F/2 F/2 F/2
F/3 F/3
5 F/3
《 材 料 力 学 》—— 李章政
二、扭转变形
❖外力特点
• 外力偶作用面垂直于杆件轴线，右手定则平行 于杆件轴线
• 外力偶矩平衡（静止不动，或匀角速度转动）
❖变形特点
• 外力偶作用面之间任意 两横截面发生相对转动 （绕轴线）
材料力学
《 材 料 力 学 》—— 李章政
材料力学
费
秦
长
始
房
皇
有
有
缩
鞭
地
石
之
之
方
山东蓬莱阁
法
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2
登高
杜甫
风急天高猿啸哀，渚清沙白鸟飞回。 无边落木萧萧下，不尽长江滚滚来。 万里悲秋常作客，百年多病独登台！ 艰难苦恨繁霜鬓，潦倒新停浊酒杯。
3
《 材 料 力 学 》—— 李章政
第2章 剪切与扭转
已知轴之转速1000 r/min，B处输入功率20 kW，A、C 轮输出分别为12 kW和8 kW。
解：
（1）外转矩
M eA
9549 PkA n
9549 12 1000
A
B
C
114.59 N.m
M eC
9549 PkC n
9549 8 1000
76.39 N.m
T (N.m)
F
F
F
F
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《 材 料 力 学 》—— 李章政
解答：
f
b v
140
N/mm2
f
b c

305
N/mm2
一个螺栓承载力（双面剪切）
Fvb

nv
d
4
2
f
b v
2 20 2 140
4
87965
N
Fcb d t fcb 208305 48800 N
当Ph (horsepower马力), n (r/min)
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Me

735.5Ph
2n / 60

7024
Ph n
N.m
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《 材 料 力 学 》—— 李章政
二、任意截面的扭矩
1. 扭矩的正负符号规定
• 右手法则，大拇指所指为T的指向
• T与截面的外法线一致者为正，反之为负
2. 任意截面的扭矩
A dt
t
冲孔条件
V
A
F
dt
b
t
所以
F dtb 3010400 N
377 kN
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《 材 料 力 学 》—— 李章政
2.3 扭矩与扭矩图
一、外力偶矩
1. 已知力偶矩Me
Me
2. 已知力 F，力臂a
Me = Fa
x
Me
3. 已知功率和转速
二、剪切强度条件及其应用
1. 剪切强度条件
• 极限状态设计法
• 容许应力法

V A

fv
材料的抗剪 强度设计值
bs

Fbs Abs

fce
材料的承 压强度设
计值
V [ ]
A
材料的容许（许用）剪应力
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bs

Fbs Abs
[ bs ]
材料的许用（容许）承 压（挤压）应力
设功率为 P（power），转速为 n ，则有
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《 材 料 力 学 》—— 李章政
做功
dW M ed
功率
dW
d
dt M e dt
d
Me
所以
P M e
Me P/
当Pk (kW), n (r/min)
Me

1000Pk
2n / 60
9549 Pk n
N.m
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《 材 料 力 学 》—— 李章政
平面承压面
平面承压面
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B A
C D
半圆柱面承压面
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t
《 材 料 力 学 》—— 李章政
例题2.1
图示榫接头，求剪切面上的剪应力和承压 面上的承压应力。
解
80kN
80kN
60
剪切应力
400 400
V F 80 103
承压面
A A 400 160 剪切面
既满足抗剪，又满足承压，一个螺栓所能承 担的轴力
Fmbin min Fvb , Fcb
已知总的轴向拉力（或压力）设计值F，连接
所需螺栓数为
n

F Fmbin
收尾法取整
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《 材 料 力 学 》—— 李章政
例题2.4
两块钢板用普通螺栓的盖板拼接。钢板宽 360mm，厚8mm；盖板厚6mm。已知轴心拉 力设计值F=325kN，钢材为Q235B，C级螺栓 （4.8级）M20。试求连接一侧所需螺栓个数。 已知螺栓抗剪强度设计值为140MPa，承压强 度设计值305MPa.