max
max
M tr Ip
Mt Ip /r
Mt Wp
令
Wp
Ip r
称为扭转截 面系数
即
max
Mt Wp
发生在横截面周边上各点处。
28
3.3 等直圆杆扭转时的应力
同样适用于空心圆截面杆受扭的情形
Mt
max
M t
Ip
d
O
max
D
max
Mt Wp
29
3.3 等直圆杆扭转时的应力
（4）圆截面的极惯性矩Ip和扭转截面系数Wp
D 2 31 4 d 1 3
1， max 2,max
已知 0.8
得
D2 d1
3
1 10.84
1.194
37
3.3 等直圆杆扭转时的应力
两轴的重量比
G 2 A2 G 1 A1
π 4
D22 d22 π4d12
D22
12
d12
1 .12 9 1 0 4 .8 2 0 .512
NK60 13 0(J)T2πn(N m)
33
3.3 等直圆杆扭转时的应力
NK60 13 0(J) T2πn(Nm)
传动轮的转速n 、功率P 及其上的外力偶矩T 之 间的关系：
TNmNK2kπW n1r m03in6 0
9.549103 NnKrmkiW n
34
强度条件：
3.3 等直圆杆扭转时的应力
F 0
d A d A c c o o d A s s s s i 0 i n
43
3.3 等直圆杆扭转时的应力
e s
x
b
f
'
讨论：
解得
s si2 n
co2s
'
1. 0 90
max
smax
2. 45 sma x smin
45 smin
smin smax
此时切应力均为零。
d
实心圆截面： O
d
Ip
2dA
A
22(2πd)
0
2π(
4
)
d
/2
πd
4
4 0 32
dA2πd
Wp
Ip πd3 d/2 16
30
空心圆截面：
3.3 等直圆杆扭转时的应力
D
Ip
2 d
2π3
d
2
d
π D4 d4
D
32
πD414
32
D d
O
dA2πd
W p D I/ p 2 π D 1 4 D d 6 4 π 1 D 31 6 4
'
Fy 0 自动满足
a
d dydz
Fx 0 存在'
b z
O '
dx c
Mz0
x d y d z d x d x d z d y
得
41
3.3 等直圆杆扭转时的应力
dy
y
切应力互等定理
'
z
a
b
O '
dx
d c
单元体的两个相互垂直的截 面上，与该两个面的交线垂直的 切应力数值相等，且均指向(或 背离) 两截面的交线。
x
'
a
d
单元体在其两对互相垂直
的平面上只有切应力而无正应
力的状态称为纯剪切应力状态。
b '
c
42
3.3 等直圆杆扭转时的应力
斜截面上的应力：
'
a e
f b
dn
x
c
e s
b
f
假定斜截面ef
x 的面积为d A
'
'
s F0
d A d A c s o i d A s s n c i 0 n o
“假定计算法”
5
3.1 剪切
2. 连接件中的剪切和挤压强度计算
图a所示螺栓连接主要有三种 可能的破坏：
Ⅰ. 螺栓被剪断（参见图b和图c）； Ⅱ. 螺栓和钢板因在接触面上受压 而发生挤压破坏（螺栓被压扁，钢 板在螺栓孔处被压皱）（图d）； Ⅲ. 钢板在螺栓孔削弱的截面处全 面发生塑性变形。
假定计算法中便是针对这些可能的破坏作近似计算的。 6
称为横截面的 极惯性矩
得 dj M t
d x GI p
Mt
dA O dA
26
3.3 等直圆杆扭转时的应力
dj M t
d x GI p
G dj
dx
GGMItp
Mt
Ip
等直圆杆扭转时横截面上切应力计算公式
Mt
O
max
max
M t
Ip
d
27
3.3 等直圆杆扭转时的应力
Mt
O
max
d
最大切应力 r
80MPa ，试校核该轴的强度。
TA
Ⅰ TB
Ⅱ
TC
A
C
B
解： （1）求内力，作出轴的扭矩图
22
Mt图（kN·m）
14
39
3.3 等直圆杆扭转时的应力
（2）计算轴横截面上的最大切应力并校核强度 22 Mt图（kN·m）
14
AB段
1,max
M t1 W p1
2π211026N m 0m m3m64.8MPa
螺栓连接[图(a）]中，螺栓主要受剪切及挤压（局部压
缩）。
F
3
3.1 剪切
键连接[图(b）]中，键主要受剪切及挤压。
4
3.1 剪切
剪切变形的受力和变形特点： 作用在构件两侧面上的外力的合力大小相等、方向相 反，作用线相隔很近，并使各自推动的部分沿着与合 力作用线平行的受剪面发生错动。
受剪面上的内力称为剪力； 受剪面上的应力称为切应力；
3.2 薄壁圆筒的扭转 剪切虎克定律
表面变形特点及分析：
T
T
j
AD
BC
圆周线只是绕圆筒轴线转动，其形状、大小、间距不变；
——横截面在变形前后都保持为形状、大小未改变的平 面，没有正应力产生 所有纵向线发生倾斜且倾斜程度相同。
——横截面上有与圆轴相切的切应力且沿圆筒周向均匀分 布
16
3.2 薄壁圆筒的扭转 剪切虎克定律
11
3.1 剪切
当连接中有多个铆钉或螺栓时，最大拉应力smax可能出现
在轴力最大即FN= FN,max所在的横截面上，也可能出现在净面 积最小的横截面上。
12
3.2 薄壁圆筒的扭转 剪切虎克定律
扭转受力特点： 圆截面直杆在与杆的轴线垂直平面内的
外力偶作用下发生扭转。

T
薄壁杆件也可以
由其他外力引起
3 剪切和扭转
1
3 剪切和扭转
3.1 剪切 3.2 薄壁圆筒的扭转 剪切虎克定律 3.3 等直圆杆扭转时的应力 3.4 等直圆杆扭转时的变形 3.5 等直圆杆扭转时的应变能 3.6 非圆截面等直杆的自由扭转
2
1.剪力和切应力
3.1 剪切
连接件（螺栓、铆钉、键等）以及构件在与它们连接处
实际变形情况复杂。
截面上最大切应力相等的情况下，D2/d1之比以及两轴的 重量比。
T
Ⅰ
T
d1
(a)
l
T (b)
D2
Ⅱ
T
l
36
3.3 等直圆杆扭转时的应力
解：
Wp1
πd13 16
Wp2
πD23 14
16
1,maxW Mpt11
T Wp1
1πd6T13
2,ma xW M pt2 2W Tp2πD 2 311T 6 4
限切应力除以安全因数确定。
7
(2) 挤压强度计算
3.1 剪切
在假定计算中，连接件与被连接件之间的挤压应力是按
某些假定进行计算的。
对于螺栓连接和铆钉连接，挤压面是半个圆柱形面（图
b），挤压面上挤压应力沿半圆周的变化如图c所示，而最大
挤压应力sJy的值大致等于把挤压力Pjy除以实际挤压面（接触
面）在直径面上的投影。
n
T
R0
nl
T
n
内力偶矩——扭矩Mt
Mt
Mt T
n
14
3.2 薄壁圆筒的扭转 剪切虎克定律
薄壁圆筒受扭时变形情况：
T
AD BC
T
j
表面正方格子倾斜的角度—直角
的改变量
圆筒两端截面之间相对转过的圆
心角j
rjl
即
A1 A
D D'
D1 D1'
B
B1 C
C1 C1'
C'
切应变
相对扭转角 j
jr/l
15
16
BC段
2,maxW Mpt22
14106Nmm
71.3MPa
π10m 0 m 3
16
[]8M 0 P
即该轴满足强度条件。
40
3.3 等直圆杆扭转时的应力
2.斜截面上的应力 切应力互等定理
单元体—— M
此处为以横截面、径截面以及与表面平行的面 从受扭的等直圆杆表面处截取一微小的正六面 体
M
dy
y dxdz
10
3.1 剪切
(3) 连接板拉伸强度计算 螺栓连接和铆钉连接中，被连接件由于钉孔的削弱，其
拉伸强度应以钉孔中心所在横截面为依据；在实用计算中并 且不考虑钉孔引起的应力集中。被连接件的拉伸强度条件为
t
s N [s]
A 式中：N为检验强度的钉孔中心处横截面上的轴力；A为同