条件证明 p→(q→r)↔ p∧q→ r
p┣ q→ r p （前提集合） q 假设前提 . . . r q→ r 若前提集合p加上假设前提q能推出r，则前提集 合p必然能推出q→ r。
例7 p∨¬ q, ¬r→¬p┣ q→r
1. 2. 3. 4. 5. 6. p∨¬q ¬r→¬p q p r q→r 前提 前提 假设前提 1、3否肯式 2、4否后式 3-5条件证明
将前提符号化为：p q, p r, s t, s r, t 根据上述前提作形式证明： 1. p q 前提 2. p r 前提 3. s t 前提 4. s r 前提 5. t 前提 6. s 3、5否后式 7. r 4、6否前式 8. p 2、7否后式 9. q 1、8否肯式
例8 请用形式证明的方法，证明下列推理的 形式有效（不可使用简化真值表方法） p q, r s, t r, (t p) ┣ q s
证一： 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. p q r s t r (t p) t p t p r t p q r q qr rs q s 前提 前提 前提 前提 4德摩根律 5蕴涵定义律 3蕴涵逆蕴涵交换律 1蕴涵定义律 6、7、8假言连锁 9假言易位 2蕴涵定义律 10、11假言连锁
例2 ：1
(pq) p q 0 2 (pq) p q 1 0 0 3 (pq) p q 1 1 1 0 0 4 (pq) p q 1 1 1 1 0 0 5 (p q) p q 1 10 1 1 0 0 0 6 (pq) p q 010 1 1 0 0 判定：产生矛盾，该推理有效。
例4： p→¬q, ¬q →¬s, ¬r ∨s, u ∧(t →r∧ p) ┣ t→x
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10 . 11 . 12 . 13 . 14 . p→ ¬q ¬q →¬s ¬r ∨s u ∧(t →r∧ p) t → r∧ p r →s ¬s→ ¬r p →¬r ¬p∨ ¬r ¬r∨ ¬p ¬ (r∧ p) ¬t ¬t ∨ x t →x 前提 前提 前提 前提 4分解式 3蕴涵定义律 6假言易位律 1、2、7假言连锁 8蕴涵定义律 9交换律 10德摩根律 5、11否肯式 12附加律 13蕴涵定义律
判定“( p p q) p q”是否有效。
赋值技巧
1 变项赋值一般从结论（后件）开始。理由： 结论为假，容易赋值；结论比较简单。 2 如果结论为假的变项组合不止一种： ① 如果一种组合在赋值过程中无矛盾，余下的 组合不必再赋值，即可判定该推理形式无效。 ② 如果所有组合在赋值过程中有矛盾，则该推 理形式有效。
判定“（p→ q）∧（r→ s）∧(q∨ s) p ∧ r”是否有效。
判定“（ p→ q） ∧ （ p ∨ q ） → （ p↔ q）”是否有效。
形式证明
形式证明就是运用真值形式（人工符号） 之间的“逻辑变形”表示必然性推理的 全过程。
1.根据复合命题的逻辑特性，可产生基本 的推理有效式和等值式。 2.形式证明是一个推导序列，推理的有效 性可以在一个推导序列中得到证明。 3.形式证明的结构分为三部分：序列号、 真值形式和理由。
p 0
q 0
简化真值表方法的检验过程
(pq) p q 0 2 (pq) p q 1 0 0 3 (p q) p q 1 1 1 0 0 1 4 (pq) p q 1 1 1 1 0 0 1 5 (pq) p q 0 1 1 1 10 0 0 1 判定：无矛盾，假设成立，该推理无效。 即：当p赋值为假，q赋值为真时，蕴涵式为假。 例1 ：1
将前提符号化为：p q, p r, st, ur, su 运用形式证明推导如下： 1. p q 前提 2. p r 前提 3. s t 前提 4. u r 前提 5. s u 前提 6. s 3分解式 7. u 5、 6肯前式 8. r 4、7肯前式 9. p 2 、8否后式 10. q 1、9否肯式
注意：
如果前提中有联言命题，那么联言命题就做为 形式证明的出发点。
形式证明的方法，不但能证明推理的有效性， 而且还可以在已知的前提下推导出相应的结 论。
例5 一天夜里，某百货商店被窃，经侦查了解到并确认以下情况： ① 盗窃者或者是甲(p)，或者是乙(q)。 ② 如果甲是盗窃者，那么作案时间不在零点之前(r)。 ③ 零点时该商店的灯灭了(s)，而甲此时尚未回家(t)。 ④ 若乙的陈述是真的(u)，则作案时间在零点之前。 ⑤ 只有零点时刻该商店灯未灭，乙的陈述才是撒谎。 问：谁是盗窃者？
有效式是前提蕴涵结论的蕴涵式
3、前提真实性、形式有效式与结论真实性的 关系
如果要得出一个必然为真的结论，推 理必须具备两个条件：
第一，前提内容真实 第二，推理形式有效
前提真实性、形式有效式与结论真实性的关 系
前提内容 真 推理形式 有效 结论 真
真 假 假
无效 有效 无效
真或假 真或假 真或假
复合命题推理有效式、无效式
间接证明（归谬证明）
p （前提集合） ¬q 假设前提 . . . r∧ ¬r q 若前提集合p加上假设前提¬q能推出r∧ ¬r，那么 就必然证明假设前提¬q为假，从而间接证明了推理 的结论q。
例9 p∨ q , q→ r∧ s , r∨ p→t ┣ t
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. p∨ q q→ r∧ s r∨ p→ t ¬t ¬(r∨ p) ¬r∧ ¬p ¬p q r∧ s r ¬r r∧ ¬r t 前提 前提 前提 假设前提 3、4否后式 5德摩根律 6分解式 1、7否后式 2、8肯前式 9 分解式 6分解式 10、11合成式 4-12间接证明
类型
负命题推理 联言推理
有效式
相容选言推理
不相容选言推理
否定肯定式
否定肯定式 肯定否定式
肯定否定式
充分条件假言推理
必要条件假言推理 充分必要条件假言推理
肯定前件式 否定后件式
否定前件式 肯定后件式 肯定前件式 否定后件式 否定前件式 肯定后件式
否定前件式 肯定后件式
例1： p∨ q ，q→ r, r ┣ p 序列号 真值形式 理由 1. p∨ q 前提 2. q→ r 前提 3. r 前提 4. q 2、3否后式 5. p 1、4否肯式
例2： p→ q , p∨ r, q ┣ r∧ p
逆向思维 例3： ¬(q∧s),r→s ,p→q, ¬(t∧u)∨r ,p∧u ┣ ¬ t 1. ¬(t∧ u) ∨r ↔ ¬ t ∨ ¬ u∨ r 2. p∧ u ┣ u 3. p∧ u ┣ p 4. p→ q ,p ┣ q 5. ¬(q∧ s) ↔ ¬q∨ ¬s 6. ¬q∨ ¬s ,q┣ ¬s 7. r→ s, ¬s┣ ¬r 8. ¬ t ∨ ¬ u∨ r, u∧ ¬r ┣ ¬t
例6 下面是一起杀人案的审讯记录： 侦查员：你刚才说的都是实话吗？ 受审者：是的，全是实话。 侦查员：你再重复一遍。 受审者：因为那天只有张三(p)和李四(q)到过死者 的房间，杀人的肯定在他们之中。要是张三杀了 人，他就会伪造现场(r)。要是当时我在现场(s)， 我也会被杀死(t)。除非我在现场，张三不会伪造 现场。我知道的就这些，杀人犯是张三。 问：受审者说的是否都是真话？
推理的构成
前提、结论和推出关系 ①显性部分：前提和结论 前提与结论之间有个显著的标志——”所以” “所以”前面是前提，后面是结论。 “所以”与“因此、因而、可见、因此可见、总 之、总而言之”等相同。 前提与结论倒置，则用“因为”连接。 ②隐性部分：推出关系 必然性推出关系 或然性推出关系
推理的种类 第一、按思维进程方向
¬(q∧s) ,r→s ,p→q, ¬(t∧u) ∨r ,p∧u ┣¬ t 1. ¬(q∧s) 前提 2. r→ s 前提 3. p→ q 前提 4. ¬(t∧u) ∨r 前提 5. p∧ u 前提 6. p 5分解式 7. u 5分解式 8. q 3、6肯前式 9. ¬q∨ ¬s 1德摩根律 10. ¬s 8、9否肯式 11. ¬r 2、10否后式 12. ¬(t∧u) 4、11否肯式 13. ¬t∨¬u 12德摩根律 14. ¬t 7、13否肯式
1
0 1 0
(p q) p
p 1
1
q
1
1
q 1
0
(pq)
p 0
0
q 0
1
0
0
1
0
1
1
0
1
0
1
判定下列推理形式是否有效：
p q ， r s ， r t ┣ t p
简化真值表方法（归谬赋值法）
简化真值表方法首先假设一个推理形式无效， 然后对表示这一推理形式的蕴涵式赋值。 1.若赋值过程中无矛盾，则该推理形式无效。 2.若赋值过程中有矛盾（即q q )，则该推 理形式有效。 原理——归谬推理 p q, p q ├ p p q q ├ p
从已知前提中导出结论：杀人者不是张三而是李四， 所以受审者讲的不全是真话。
注意： 1、充分利用已知条件。 2、正确理解自然语言，熟练转换符号语言。
由自然语言翻译成人工语言应注意的问题：
1. “只要p就q”不同于“只有p才q” 2. “或者p或者q”不同于“要么p要么q” 3. “甲、乙两人必须一个上场，一个不上场”不同于“甲、乙 不同时上场” 4. “甲、乙两人都不懂法律”不同于“甲、乙不都懂法律” 5. “并非如果买了股票就能发财”不同于“如果不买股票就不 能发财” 6. “除非p才q”， “除非p不q”不同于“只有p才不q” 7. “甲、乙、丙三人去两人” 8. “甲、乙都去或者甲、乙都不去” 9. “即使甲去乙也不去” 10. “你听从地不是苏格拉底，而是更多地在听从真理”不同 于“你不是在图书馆，就是在去图书馆的路上”