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2010-2011高等数学C （二）期中考试试卷（答案）
姓名 学号 班级 成绩
注：该试卷中含有微分方程的题目，不属于本次期中考试内容。
一、选择填空题（每空3分，共36分）
1、30
ln(1)
lim
sin x
x t dt t x x
→+-⎰
= 2 ； 解：上式=22
/lim cos 1)
1ln(lim
22
030==-+→→x x x
x x x x 等价无穷小代换 2、曲线1
y x =与直线,2y x y ==所围的平面图形的面积为2ln 2
3-
解：积分区域⎪⎩⎪
⎨⎧≤≤≤≤y x y
y D 121:，所以所求面积=-=⎰dy y y S )1(212ln 23-
3、1
21sin x xdx -⎰= 0 ； 解：奇函数在对称区间上的定积分为零
4、已知函数()f x 可导，(1)2f =，1
0()5f x dx =⎰，则1
0()xf x dx '⎰=3-
解：根据分部积分：1
0()xf x dx '⎰352)()()(1
01
01
0-=-=-==⎰⎰dx x f x xf x xdf 5、已知22123,,x x x x x x x y xe e y xe e y xe e e --=+=+=+-是某二阶线性非齐次微分方程的三个解，则该方程的通解
为 ， 该微分方程对应的二阶线性齐次微分方程为 。
6、方程2
2
14
y x +=所表示的曲面类型是 椭圆柱
面 ；
7、设22(,)f u v u v v u +-=-，则(,)f x y =xy - 8、二重极限22
(,)(0,0)lim x y xy
x y →+ 不存在 ；
解：由于2
2220
1lim
k
k
x k x kx x kx y x +=+⨯→=→，与k 有关，所以极限不存在 9、函数(,)z f x y =在点(,)P x y 偏导数存在是函数在该点连续的 D ；
A 充分非必要条件
B 必要非充分条件
C 充要条件
D 无关条件
10、二元函数sin ,0,R (,)20,0R xy
x y f x y x x y ⎧≠∈⎪
=⎨⎪=∈⎩，，则(0,3)x f = 不存在
解：(0,3)x f =∞=∆-∆∆=∆-∆→∆→∆x
x x
x f x f x x 0
23sin lim )3,0()3,(lim 00 11、设函数2x z y =，则全微分dz =dy xy ydx y x x 1222ln 2-+ 解：dy xy ydx y dz x x 1222ln 2-+= 二、计算题（共52分） 1、(6分)
计算0
-⎰ 解：被积函数在积分区域上连续
所以0
-⎰2ln 32
3
32
1
24-=-=
⎰
=+dt t t t
x 2、(6分)计算2
2
2||2x x dx x -++⎰
解：利用定积分的奇偶性
2
22||2x x dx x -++⎰3ln )2ln(22220
2202222=+=+=+=⎰⎰-x dx x x dx x x 3、(6分)计算4
1x
dx x
+∞
+⎰ 解：40
1x dx x +∞+⎰
4
arctan 2
1)(1210
20222π
=
=+=∞+∞+⎰x x dx
4、(6分)计算1sin(ln )e
x dx ⎰ 解：1sin(ln )e
x dx ⎰⎰⎰-==
=1
01
01
ln cos )sin (sin tdt e t e de
t t t
t
t x
⎰⎰--=-=1
1
1
sin cos 1sin cos 1sin tdt e t e e tde e t t t
所以1sin(ln )e
x dx ⎰)11cos 1sin (2
1
+-=e e
5、(6分)求微分方程1
2sin ,()xy y x y ππ
'+==
的特解
6、(6分)求微分方程ln 0dy
x
y y dx
-=的通解。
7、(8分)设(ln ,),z f x xy =其中(,)f u v 具有两阶连续偏导数，求2z
x y
∂∂∂
解：y f x
f z x ⨯'+⨯'=211
)0()0(1
222121211x f f y f x f f x
z xy ⨯''+⨯''+'+⨯''+⨯''=
22212
f yx f f ''+'+''= 8、(8分)设三元方程z x xyz e +=确定两元隐函数(,)z z x y =，求,z z
x y
∂∂∂∂ 解：令x z e xyz z y x F +-=),,(，
x z z y x z x e xy F xz F e yz F ++-==-=,,
所以：x
z y
x z x z z x x e xy xz
z e xy e yz F F z +++-=---=-=,
三、（共8分）当a 取何值时，曲线2y x =与直线,1x a x a ==+及x 轴所围平面图形面积最小；并求上述面积最小的平面图形绕y 轴旋转所得旋转体体积。
解：])1[(3
1
)(331
2a a dx x a S a a -+==⎰
+ 2
1
0])1[()(22-=⇒=-+='a a a a S
方法一：32
)(41)21(24/102π
ππ=-⨯=⎰dy y V
方法二：32
22
/10
2π
π=
⨯=⎰dx x x V
四、设()f x 可导，且20()2x
x t f x f dt e ⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭⎰，求()f x 。
（4分）
解：等式两边对x 求导：x e x f x f +=')(2)(，再解此微分方程。