算法步骤： 1.给始点vs以P标号 P(vs ) 0 ，这表示从vs到 vs的最短距离 为0，其余节点均给T标号，T (v j ) ( j 2,3,L , n) 。 2.设节点 vi 为刚得到P标号的点，考虑点vj，其中
(vi , v j ) E ，且vj为T标号。对vj的T标号进行如下修改：
称为这个截集的容量，记为 C(S , S ) 。
S (vs , v2 ) S (v1 , v3 , v4 , vt )
(S , S ) (vs ,v1 ) , (v2 ,v4 ) , (v2 , v3 )
C(S , S ) ls1 ls
45
3
S
v2 6
v3
7
3
vt
8 v4
5 (3)
v2
v5
13 (5)
6(3) 5 (2)
v1
4 (1) 5 (2)
v4
9 (3)
v3
5 (0)
4 (2) 4 (1)
v6
9 (5)
v7
10 (1)
设 V1 v1 , v2 , v5 ，V2 v3 , v4 , v6 , v7 则截集为 (V1,V2 ) (v1v3 ), (v2 , v4 ), (v5 , v7 ) 容量为24
T (v3 ) min[ T (v3 ), P(v1 ) l13 ] min[ , 0 5] 5
（3） P(v2 ) 3
（4）T (v3 ) min[ T (v3 ), P(v2 ) l23 ] min[ 5 , 3 1] 4
T (v4 ) min[ T (v4 ), P(v2 ) l24 ] min[ , 3 2] 5
3、容量网络G，若 为网络中从vs到vt的 一条链，给 定向为从vs到vt， 上的弧凡与 方向相同的称为前向弧，凡与 方向相反的 称为后向弧，其集合分别用 和 表示。
f 是一个可行流，如果满足：
0 fi j ci j 0 fi j ci j
• Dijkstra算法的基本思想是：从vs出发，逐步向外 寻找最短路。在运算过程中，与每个点对应，记
录一个数，叫做一个点的标号。它或者表示从vs 到该点的最短路权叫做P 标号，为永久性标号 （permanent label）。或者表示从vs 到该点最短 路权的上界，叫做T 标号，为试探性标号 （tentative label）。算法的每一步是去修改T标号， 把某一个具有T 标号的点改变为具有P 标号的点， 使图D中具有P 标号的顶点多一个。这样，对于有 n个顶点的图，至多经过n-1步，就可求出从始点vs 到各点vj 及终点的最短路。
－1
（ v2 ，-3） v5
6 （0，0）
v1
8
－1 －3 2
1
－3
－2 v3 1
v6 7
（v8v6 ，6）
3
（ －5
v1
，-2）
（ v3 ，-1）
1
2
－5
v4 （ v3 ，-7）
－1
v7 （ v4 ，-5）
例四、 某工厂使用一种设备，这种设备在一定的年限内 随着时间的推移逐渐损坏。所以工厂在每年年初都要决定设 备是否更新。若购置设备，每年需支付购置费用；若继续使 用旧设备，需要支付维修与运行费用，而且随着设备的老化 会逐年增加。计划期（五年）内中每年的购置费、维修费与 运行费如表所示，工厂要制定今后五年设备更新计划，问采 用何种方案才能使包括购置费、维修费与运行费在内的总费 用最小。
这与已知 d v4 5 相矛盾。故假设不成立，即 v4 与
上述5点间必存在至少两条边，设其中一点为 vk ， 则 vk , v4, v9 两两相连，即存在三人互相握过手。
用破圈法求出下图的一个生成树。
v2
e1 v1
e4 e7 e3 v4 e8
e2
e5
e6
v2
v3
e1
e4 e7
v3
v1 v2 v3
v1 v2
v5
v3
v3
v3
v5
v6v1 v4
v5 v6
v4
v1
v1
v2
v2
v3
v1 v2
v5 v6
三 、最短路问题
最短路的一般提法为：设 G (V , E) 为连通图，图中各边 (vi , v j ) 有权 li（j li j 表示 vi , v j 之间没有边），vs , vt 为图中任意两点，求一条路 ，使它为从vs到 vt 的所有 路中总权最短。即：
P P (t)
(t 1)
1j
1j
（j 1, 2 , , n）
则停止计算，
P(t 1j
)（j

1,
2
,

,
n）即为v1到各点的最短路长。
例二、 求图中v1到 各点的最短路
v1 v2
v1 0 -1
v2 6 0
v3
-3
v4 8
v5
-1
v6
v7
v8
v2 －1
v5
6 －1
－3 2
v1
－2 v3 1
(vi , v j ) 即 中的每一条弧都是非饱和弧 (vi , v j ) 即 中的每一条弧都是非零流弧
则称 为从vs到vt 的关于f 的一条增广链。
推论 可行流f 是最大流的充分必要条件是不存 在从vs到vt 的关于f 的一条可增广链。
5 (3)
v2
v5
而(v3 , v2 ) 和 (v4 , v5 ) 不是该集中的弧
v1
e3
v4 e8
v5
e2
e5
e6
v3
v5
v2
e4
v1 e2 v3
v4 e8
v5
e6
（一）破圈法
（二）避圈法
在图中任取一条边e1，找一条与e1不构成圈的边e2， 再找一条与{e1，e2}不构成圈的边e3。一般设已有{e1， e2，…，ek}，找一条与{e1，e2，…，ek}中任何一些边 不构成圈的边ek+1，重复这个过程，直到不能进行为 止。
图与网络分析
(Graph Theory and Network Analysis)
图与网络的基本知识 树及最小树问题 最短路问题 最大流问题
最小费用最大流问题
对 v9 而言，因 d v9 6 ,所以 v4 , v5, v6 , v7 中至少有 两点存在与 v9 的连线。设该两点为 v4 和 v5 ，假设v4 和与 v9 相联的其它5点之间无边，则 d v4 85 3 ,
L() li j 最小。 (vi , v j )
(一)、 狄克斯屈拉(Dijkstra)算法 适用于wij≥0，给出了从vs到任意一个点vj的最短路。
原理：若 vs,v1,v2,L ,vn1,vn是从 vs 到 vn的最短路，则 vs ,v1,v2,L , vn1 一定是从 vs到 vn1的最短路。
T新 (v j ) min[T旧(v j ) , P(vi ) li j ]
3.比较所有具有T标号的节点，把最小者改为P标号，即：
P(vk ) min[T (v j )]
当存在两个以上最小者时，可同时改为P标号。若全部节 点均为P标号，则停止，否则用vk代替vi，返回步骤（2）。
例1 用Dijkstra算法求下图从v1到v6的最短路。
网络D上的流，是指定义在弧集合E上的一个函
数 f f (vi , v j ) { fi j } ,其中f(vi ,vj) =fij 叫做弧(vi，vj)上
的流量。
2、称满足下列条件的流为可行流：
（1）容量条件：对于每一个弧（vi ,vj）∈E
有
0 fij cij 。
（2）平衡条件：
是一个增广链
显然图中增广链不止一条
4、容量网络G =（V，E，C），vs为始点， vt为终点。如果把V分成两个非空集合 S , S 使 vs S , vt S ，则所有始点属于S，而终 点属于 S 的弧的集合，称为由S决定的截集, 记作 (S , S )。截集 (S , S ) 中所有弧的容量之和，
对于发点vs，有
fs j
f js W
(vs , v j )E
(v j , vs )E
对于收点v ，有 t
ft j
f jt W
(vt , v j )E
(v j , vt )E
对于中间点，有

fi j
f ji 0
(vi , v j )E
(v j , vi )E
可行流中 fij＝cij 的弧叫做饱和弧，fij＜cij的
弧叫做非饱和弧。fij＞0 的弧为非零流弧，
fij＝0 的弧叫做零流弧。
5 (3)
v2
v5
13 (5)
6(3) 5 (2)
v1
4 (1) 5 (2)
v4
9 (3)
v3
5 (0)
4 (2) 4 (1)
v6
9 (5)
v7
10 (1)
图中 (v3 , v6 ) 为零流弧，其余为非饱和弧。
v2 2
v4
3
v1
1
4
22
v6
5 v3 4
2 v5
解 （1）首先给v1以P标号，给其余所有点T标号。
P(v1) 0
T (v j ) ( j 2,3,L ,6)
（2） T (v2 ) min[ T (v2 ), P(v1) l12 ] min[ , 0 3] 3
P1 j miin{P1i li j }
开始时，令