C
2
G
4
2 D 2 F
5 2
B
6
J
2013-6-23
[例]今有煤气站A，将给一居民区供应煤气，居民区各 用户所在位置如图所示，铺设各用户点的煤气管道所需 的费用（单位：万元）如图边上的数字所示。要求设计 一个最经济的煤气管道路线，并求所需的总费用。
A 2 E 3.5 I 2 5 2 D 2 F 2 2 H 4 3 3 5 K 1 S
v2
5.5
5 v4
2013-6-23
1. 破圈法： 在图中找圈，并删除其中最大边。如此进行下去，直 至图中不存在圈。 v1
v2
5 4
3
v5
2
v3 3.5 v4
2013-6-23
1. 破圈法： 在图中找圈，并删除其中最大边。如此进行下去，直 至图中不存在圈。 v1
v2
5
3
v5
1 2 1 2 1 2
3 . 链与圈
链：由G中的某些点与边相间构成的序列 e v e e v v ，
1 1 2 2 1
若满足e [v ,v ], 则称此边点序列为G中的一条链。
1
圈：封闭的链。
连通图：图G中任二点间至少存在一 条链。
2013-6-23
4. 有向图与无向图
图G = (V, E), 也可记G = (vk , [v i , v j ]).若点对[v i , v j ]无序， 称G为无向图；否则称G为有向图。 称有向图的边为弧，记（v i , v j ), 在图上用箭线表示。
5. 树
例1 已知有5个城市，要在它们之间架设电 话线网，要求任2城市都可通话（允许通过其它 城市），并且电话线的根数最少。
v1 v2 v3 v4 v5
特点：连通、无圈。 树：无圈的连通图，称为树，记为T。
2013-6-23
v1
v2 v3 v4
v5
树的性质：（1）树的任2点间有且仅有1链；
（2）在树中任去掉1边，则不连通；
（容量约束） 0 f c v ( f ), i s 约束条件： i s , t （平衡条件） f f 0, v ( f ), i t
2013-6-23
3. 基本概念与定理
f 饱和弧： c (1) 弧按流量分为未饱和弧：f c 零流弧：f 0
1 1 1

为D的一个截集，记为（V ,V ）。
1 1
截量：截集上的容量和，记为 C（V ，V ） 。 例4 对于下图，若V1={vs，v1}，请指出相应的截 集与截量。 v v
2
（4，3）
4
2013-6-23
（5，3） （1，1） （3，0） vs vt （1，1） （2，1） （5，1） v1 v3 （2，2）
如 G：
e5
e7 v4
e5
v4
简单图：无环、无多重边的图。
2013-6-23
2 . 关联与相邻
关联（边与点关系）：若e是v ,v 二点间的边，
1 2
记e [v ,v ], 称v (或v )与e关联。
1 2 1 2
相邻（边与边、点与点）：点v 与v 有公共边，
1 2
称v 与v 相邻； e 与e 有公共点，称e 与e 相邻。 边
7 v3 5 [4，v2] 1 3 2 5
[8，v5] v6 1 7
5
[13，v6] v7
v4 [3，v1]
v5 [7，v3]
其中3=min{0+3，0+5，2+2，2+7}
最短距为13；
最短路为v1-v2-v3-v5-v6-v7。
2013-6-23
三. 最大流问题
1. 问题 已知网络D=（V，A，C），其中V为顶点 集，A为弧集，C={cij}为容量集， cij 为弧（vi，vj ） 上的容量。现D上要通过一个流f={fij}，其中fij 为弧
比较：
无向图：边[v i ,v j ]，链 有向图：弧（v i ,v j ），路
，圈 ，回路
2013-6-23
链与路、圈与回路 无向图：
链 点边交错的序列 圈
起点=终点的链
有向图：
路 点弧交错的序列 回路 起点=终点的路
v5
v5 v4 v1
v1
v4
2013-6-23
v2
v3
v2
v3
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用避圈法解例2
v2
2
v1• 3 5 1
v3
2
7 5 3 5 v5
v6 1 7
5
v7
v4
最小部分树如图上红线所示； 最小权和为14。
2013-6-23
二. 最短路问题
1. 问题：求网络D中一定点v1到其它点的最短路。 例3 求如图网络中v1至v7的最短路，图中数字 为两点间距离。

v2 （3，3）
（4，3）
v4
（5，3） （1，1） （3，0） vs vt （1，1） （2，1） （5，1） v1 v3 （2，2）
2013-6-23
（3） 截集与截量
使v V ,v V 。称弧集 v ,v ） V ,v V （ v
1 1 1
截集（割集）：将V 分为二非空互补集V 与V ，
C
2
G
B
6
2013-6-23
[例]今有煤气站A，将给一居民区供应煤气，居民区各 用户所在位置如图所示，铺设各用户点的煤气管道所需 的费用（单位：万元）如图边上的数字所示。要求设计 一个最经济的煤气管道路线，并求所需的总费用。
A 2 E I 2 4 3 2 D 2 F 2 2 H 3 J 5 K 1 S
（vi，vj ）上的流量。问应如何安排流量fij可使D上
通过的总流量v最大？
v2 4 1 5 2 1 v4
例如：
vs
3
3
5
vt 2
v1
2013-6-23
v3
2. 数学模型
问题：最大流问题的决策变量、目标函数、约束条件各是什么？
决策变量： 各弧（v ,v ）上的流量f ,
目标函数： Maxv v ( f )
2
v3 3.5 v4
2013-6-23
[例]今有煤气站A，将给一居民区供应煤气，居民区各 用户所在位置如图所示，铺设各用户点的煤气管道所需 的费用（单位：万元）如图边上的数字所示。要求设计 一个最经济的煤气管道路线，并求所需的总费用。
A 2 E 3.5 I 2 4 3 2 H 3 5 K 1 S
C 5
2
A 4 D
2013-6-23
B 2
7
5
G
5
C 1 4 3
4
E 7 1 F
图1 光缆铺设费用图
案例分析：默登公司的联网问题
2 A
B
2
C 1 D 3 E 1 F
5
G
图 1 光缆铺设最小费用图
2013-6-23
应用例
已知有A、B、C、D、E、F六个城镇间的道路网络 如图，现要在六个城镇间架设通讯网络（均沿道路架 设），每段道路上的架设费用如图。求能保证各城镇均
2 D
2
G
4
2 F
5 2
B
6
J
2013-6-23
[例]今有煤气站A，将给一居民区供应煤气，居民区各 用户所在位置如图所示，铺设各用户点的煤气管道所需 的费用（单位：万元）如图边上的数字所示。要求设计 一个最经济的煤气管道路线，并求所需的总费用。
A 2 E 3.5 I 2 4 3 2 H 3 5 K 1 S
例 1 求如图网络的最小部分树。
v2 2 v1 3 5 1 v4 5 v3 2 7 5 3 v5 v6 1 7 5 v7
2013-6-23
1. 破圈法： 在图中找圈，并删除其中最大边。如此进行下去，直 至图中不存在圈。 v1
v2
5.5
5 7.5 4
3
v5
2
v3 3.5 v4
2013-6-23
1. 破圈法： 在图中找圈，并删除其中最大边。如此进行下去，直 至图中不存在圈。 v1
B
J
此即为最经济的煤气管道路线，所需的总费用为25万元
2013-6-23
案例分析：默登公司的联网问题
默登（Modern）公司的管理层决定铺设最先进 的光纤网络，为它的主要中心之间提供高速通信。图 1中的节点显示了该公司主要中心的分布图。虚线是 铺设光缆可能的位置。每条虚线旁边的数字表示成本 （单位：百万美元）。 问：需要铺设哪些光缆使得总成本最低？
如：在前面例举的网络流问题中，若已给定一个可行流 （如括号中后一个数字所示），请指出相应的弧的类型。
v2 （4，3） v4
（5，3） （1，1） （3，0） vs vt （1，1） （2，1） （5，1） v1 v3 （2，2）
2013-6-23
（3，3）
（2）可增值链（增广链）
：中的正向弧集 D中由v 至v 的链，记 ， ：中的反向弧集 中弧皆未饱 若 ，则称为D中关于可行流f 的 中弧皆非零 一条可增值链。
C
2
G
B
2013-6-23
[例]今有煤气站A，将给一居民区供应煤气，居民区各 用户所在位置如图所示，铺设各用户点的煤气管道所需 的费用（单位：万元）如图边上的数字所示。要求设计 一个最经济的煤气管道路线，并求所需的总费用。
A 2 E I 2 4 3 2 D 2 F 2 2 H 3 K 1 S
C
2
G
第五章 图与网络分析
第一节 图的基本概念 第二节 网络分析
2013-6-23
第一节