《粘性流体力学》程序
平板边界层问题求解
1.1编程思路
平面边界层问题可以归结为在已知边界层条件下解一个高阶微分方程,即解0
f。

Matlab提供了解微分方程的方法，运用换+ff
'''=
5.0
''
元法将高阶微分方程降阶，然后运用“ode45”函数进行求解。

函数其难点在于如何将边界条件中1
η运用好，由四阶龙格-库塔方
→f
,→
'
∞
法知其核心是换元试算匹配，故在运用函数时通过二分法实现
η是可行的。

∞
→f
,→
'
1
1.2m函数
function dy = rigid(x,y)
dy = zeros(3,1);
dy(1) = y(2);
dy(2) = y(3);
dy(3) = -0.5*y(1)*y(3);
%main程序
[X, Y] = ode45('rigid',[0 5],[0 0 0]);
plot(X, Y(:,1),'-',X, Y(:,2),'*',X, Y(:,3),'+') %二分法试算f’’的初始值以满足f’趋向无穷时的边界条件，图像上可以清晰看出f’无穷时的结果
>> [X, Y] = ode45('rigid',[0 5],[0 0 1]);
plot(X, Y(:,1),'-',X, Y(:,2),'*',X, Y(:,3),'+')
>> [X, Y] = ode45('rigid',[0 5],[0 0 0.5]);
plot(X, Y(:,1),'-',X, Y(:,2),'*',X, Y(:,3),'+')
>> [X, Y] = ode45('rigid',[0 5],[0 0 0.25]);
plot(X, Y(:,1),'-',X, Y(:,2),'*',X, Y(:,3),'+')
>> [X, Y] = ode45('rigid',[0 5],[0 0 0.375]);
plot(X, Y(:,1),'-',X, Y(:,2),'*',X, Y(:,3),'+')
>> grid on
>> [X, Y] = ode45('rigid',[0 5],[0 0 0.3125]);
plot(X, Y(:,1),'-',X, Y(:,2),'*',X, Y(:,3),'+')
>> grid on
>> [X, Y] = ode45('rigid',[0 5],[0 0 0.34375]);
plot(X, Y(:,1),'-',X, Y(:,2),'*',X, Y(:,3),'+')
grid on
>> [X, Y] = ode45('rigid',[0 5],[0 0 0.328125]);
plot(X, Y(:,1),'-',X, Y(:,2),'*',X, Y(:,3),'+')
grid on
>> [X, Y] = ode45('rigid',[0 10],[0 0 0.328125]);%当f’’为0.328125时，逼近结果已经很好，在0到5的变化范围内已经非常接近精确解
plot(X, Y(:,1),'-',X, Y(:,2),'*',X, Y(:,3),'+')
grid on
>> [X, Y] = ode45('rigid',[0 5],[0 0 0.335975]);
plot(X, Y(:,1),'-',X, Y(:,2),'*',X, Y(:,3),'+')
grid on
1.3 数据展示
选取f’’=0.335975时的数据展示，X代表η的变化，Y的第一二三列代表''
f的值。

数据如下表：
f
,'
,f
ηf'f''f
0 0 0 0.3360
0.0001 0.0000 0.0001 0.3360
0.0003 0.0000 0.0001 0.3360
0.0004 0.0000 0.0002 0.3360
0.0006 0.0000 0.0002 0.3360
0.0013 0.0000 0.0005 0.3360
0.0021 0.0000 0.0007 0.3360
0.0028 0.0000 0.0010 0.3360
0.0036 0.0000 0.0012 0.3360
0.0073 0.0000 0.0025 0.3360
0.0111 0.0000 0.0037 0.3360
0.0148 0.0000 0.0050 0.3360
0.0185 0.0001 0.0062 0.3360
0.0372 0.0002 0.0125 0.3360
0.0559 0.0005 0.0188 0.3360
0.0746 0.0009 0.0251 0.3360
0.0933 0.0015 0.0313 0.3360
0.1868 0.0059 0.0627 0.3359
0.2802 0.0132 0.0941 0.3358
0.3737 0.0235 0.1255 0.3355
0.4671 0.0366 0.1568 0.3350
0.5921 0.0589 0.1987 0.3340
0.7171 0.0863 0.2403 0.3325
0.8421 0.1189 0.2818 0.3304
0.9671 0.1567 0.3229 0.3276
1.0921 0.1996 0.3636 0.3240
1.2171 0.2476 0.4038 0.3195
1.3421 0.3006 0.4434 0.3141
1.4671 0.3584 0.4823 0.3077
1.5921 0.4211 0.5203 0.3003
1.7171 0.4885 0.5573 0.2919
1.8421 0.5604 0.5932 0.2825
1.9671 0.6367 0.6279 0.2721
2.0921 0.7173 0.6612 0.2608
2.2171 0.8020 0.6931 0.2487
2.3421 0.8905 0.7234 0.2359
2.4671 0.9828 0.7520 0.2225
2.5921 1.0785 0.7790 0.2086
2.7171 1.1774 0.8042 0.1944
2.8421 1.2794 0.8276 0.1801
2.9671 1.3843 0.8492 0.1657
3.0921 1.4917 0.8690 0.1514
3.2171 1.6014 0.8871 0.1375
3.3421 1.7134 0.9034 0.1240
3.4671 1.8272 0.9181 0.1110
3.5921 1.9428 0.9312 0.0987
3.7171 2.0600 0.9428 0.0871
3.8421 2.1785 0.9530 0.0763
3.9671 2.2982 0.9619 0.0663
4.0921 2.4189 0.9696 0.0572
4.2171 2.5405 0.9762 0.0490
4.3421 2.6629 0.9819 0.0416
4.4671 2.7860 0.9867 0.0351
4.6003 2.9177 0.9909 0.0290
4.7336 3.0499 0.9945 0.0238
4.8668 3.1826 0.9973 0.0193
5 3.315
6 0.9996 0.0156 为形象展示所得结果，如图所示：。