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函数与导数历年高考真题

亦即证 在0≤x≤1上的最大值小于(或等于)|2a-b|﹢a,
∵ ,∴令 .
当b≤0时, <0在0≤x≤1上恒成立,
此时 的最大值为: =|2a-b|﹢a;
当b<0时, 在0≤x≤1上的正负性不能判断,
≤|2a-b|﹢a;
综上所述:函数 在0≤x≤1上的最大值小于(或等于)|2a-b|﹢a.
即 +|2a-b|﹢a≥0在0≤x≤1上恒成立.
30.【解析】解:(1)由 ,得 .
由 得 .……3分
因为 ,所以 , .
由 得 .……6分
(2)当x[1,2]时,2-x[0,1],因此
.……10分
由单调性可得 .
因为 ,所以所求反函数是 , .……14分
31.解:(1)由 ,得 。
∵1和 是函数 的两个极值点,
∴ , ,解得 。
(2)∵由(1)得, ,
解得: ,而 单调递增且大于等于0, ,选D。
13.B
【解析】本题考查导数知识的简单应用及函数、方程知识的综合应用。易求得 ,若函数在 上有大于零的极值点,即 有正根。当有 成立时,显然有 ,此时 ,由 我们马上就能得到参数 的范围为 。
14.D
【解析】本题主要考查了函数的奇偶性、单调性和不等式的解法。最好通过图象求解。
32.(Ⅰ)
(ⅰ) .
当b≤0时, >0在0≤x≤1上恒成立,
此时 的最大值为: =|2a-b|﹢a;
当b>0时, 在0≤x≤1上的正负性不能判断,
此时 的最大值为:
=|2a-b|﹢a;
综上所述:函数 在0≤x≤1上的最大值为|2a-b|﹢a;
(ⅱ)要证 +|2a-b|﹢a≥0,即证 =﹣ ≤|2a-b|﹢a.
(A)0(B)1(C)3(D)5
12.若函数 分别是 上的奇函数、偶函数,且满足 ,则有()
A. B.
C. D.
13.设 ,若函数 有大于零的极值点,则
A. B. C. D.
14.设奇函数 在 上为增函数,且 ,则不等式 的解集为()
A. B.
C. D.
15.函数f(x)= 的定义域为
A.(- ∞,-4)[∪2,+ ∞]B.(-4,0) ∪(0,1)
∴ ,∴ 故选C
5.A
6.B
【解析】:
7.【答案】C
【解析】定义域 ,当且仅当 即 上式取等号,故最大值为 ,最小值为 , 。
8.A
【解析】试题分析:因为 ,所以f(x)的增区间为 ,减区间为 ,所以f(x)的极大值为f(-1),极小值为f(1),因为函数y=x -3x+c的图像与x轴恰有两个公共点,所以只须满足 ,即 ,所以 .选A。
.
26.-8
【解析】因为定义在R上的奇函数,满足 ,所以 ,所以,由
为奇函数,所以函数图象关于直线 对称且 ,由 知 ,所以函数是以8为周期的周期函数,又因为 在区间[0,2]上是增函数,所以 在区间[-2,0]上也是增函数.如下图所示,那么方程f(x)=m(m>0)在区间 上有四个不同的根 ,
不妨设 ,由对称性知,
(A) (B) (C) (D)
75.已知函数 , 是 的反函数,若 ( ),则 的值为()
A. B.1C.4D.10
6.设正数a,b满足 ,则 ()
A.0 B. C. D.1
7.已知函数y= 的最大值为M,最小值为m,则 的值为
(A) (B) (C) (D)
8.已知函数y=x²-3x+c的图像与x恰有两个公共点,则c=
(A) (B) (C) (D)
18.设点 在曲线 上,点 在曲线 上,则 最小值为()
A. B. C. D.
19.将函数 的图象按向量 平移得到函数 的图象,则()
A. B. C. D.
20.函数 对于任意实数 满足条件 ,若 则 _______________。
21.已知t为常数,函数 在区间[0,3]上的最大值为2,则
由(1)知 。
①当 时, ,于是 是单调增函数,从而 。
此时 在 无实根。
②当 时. ,于是 是单调增函数。
又∵ , , 的图象不间断,
∴ 在(1 , 2)内有唯一实根。
同理, 在(一2,一I)内有唯一实根。
③当 时, ,于是 是单调减两数。
又∵ , , 的图象不间断,
∴ 在(一1,1)内有唯一实根。
(Ⅱ)由(Ⅰ)知:函数 在0≤x≤1上的最大值为|2a-b|﹢a,
且函数 在0≤x≤1上的最小值比﹣(|2a-b|﹢a)要大.
∵﹣1≤ ≤1对x [0,1]恒成立,
∴|2a-b|﹢a≤1.
取b为纵轴,a为横轴.
则可行域为: 和 ,目标函数为z=a+b.
作图如下:
由图易得:当目标函数为z=a+b过P(1,2)时,有 , .
【解析】试题分析:当m≤0时,显然不成立,当m=0时,因f(0)=1>0,
当m>0时,若 ,即 时结论显然成立;
若 时,只要△=4(4-m)2-8m=4(m-8)(m-2)<0即可,即4<m<8,
则0<m<8,故选B.
考点:一元二次函数,一元二次不等式,一元二次方程之间的关系,以及分析问题解决问题的能力.
因此,当 时, 有两个不同的根 满足 ;当 时
有三个不同的根 ,满足 。
现考虑函数 的零点:
( i)当 时, 有两个根 ,满足 。
而 有三个不同的根, 有两个不同的根,故 有5个零点。
( 11)当 时, 有三个不同的根 ,满足 。
而 有三个不同的根,故 有9个零点。
综上所述,当 时,函数 有5个零点;当 时,函数 有9个零点
点评:解本小题的突破口是因为g(x)=mx显然对任一实数x不可能恒为正数,所以应按 和 分类研究,g(x)的取值,进而判断出f(x)的取值,从而找到解决此问题的途径.
11.D
【解析】定义在R上的函数 是奇函数, ,又是周期函数, 是它的一个正周期,∴ , ,∴ ,则 可能为5,选D。
12.D
【解析】用 代换x得: ,
26.已知定义在R上的奇函数 满足 ,且在区间 上是增函数,若方程f(x)=m(m>0)在区间 上有四个不同的根,则
27.已知 , ,若同时满足条件:
① , 或 ,②
则m的取值范围是
28.已知函数 , 分别由下表给出
1
2
3
1
3
1
1
2
3
3
2
1
则 的值为;满足 的 的值是.
29.设函数 ,其中在 ,曲线 在点 处的切线垂直于 轴
28.1,2
【解析】 = ;
当x=1时, ,不满足条件,
当x=2时, ,满足条件,
当x=3时, ,不满足条件,
∴只有x=2时,符合条件。
29.(Ⅰ)因 ,故 由于曲线 在点 处的切线垂直于 轴,故该切线斜率为0,即 ,从而 ,解得
(Ⅱ)由(Ⅰ)知 ,
令 ,解得 (因 不在定义域内,舍去)当 时, 故 在 上为减函数;当 时, 故 在 上为增函数,故 在 处取得极小值
若在 时取到,则 ,得 或
, 时, ; , 时, (舍去)
所以
22.(1,
【解析】本小题主要考查函数的图像与性质、不等式的解法,着重考查了数形结合的数学思想.如图,在同一直角坐标系内画出直线 与曲线 ,由图可知,a的取值必须满足 解得 .
23.
【解析】 函数 过定点(0,-2),由数形结合:
24.
【解析】由已知得 ,单调递减,所以当 时,
∴所求a+b的取值范围为: .
∴ ,解得 。
∵当 时, ;当 时, ,
∴ 是 的极值点。
∵当 或 时, ,∴ 不是 的极值点。
∴ 的极值点是-2。
(3)令 ,则 。
先讨论关于 的方程 根的情况:
当 时,由(2)可知, 的两个不同的根为I和一2,注意到 是奇函数,∴ 的两个不同的根为一和2。
当 时,∵ , ,
∴一2 ,-1,1,2都不是 的根。
9.B
【解析】因为当 时,将函数化为方程 ,实质上为一个半椭圆,其图像如图所示,同时在坐标系中作出当 得图像,再根据周期性作出函数其它部分的图像,由图易知直线 与第二个椭圆 相交,而与第三个半椭圆 无公共点时,方程恰有5个实数解,将 代入 得
令 ,则有
知 。
10.B
, ,所以 .
【考点定位】本小题考查函数的基本性质,如奇偶性、周期性、对称性,同时考查了数形结合的思想方法.
27.(-4,0)
【解析】根据 可解得x<1,由于题目中第一个条件的限制,导致f(x)在 是必须是 ,当m=0时, 不能做到f(x)在 时 ,所以舍掉,因此,f(x)作为二次函数开口只能向下,故m<0,且此时2个根为 ,为保证条件成立,只需 ,和大前提m<0取交集结果为 ;又由于条件2的限制,可分析得出在 恒负,因此就需要在这个范围内g(x)有得正数的可能,即-4应该比 两个根中较小的来的大,当 时, ,解得交集为空,舍。当m=-1时,两个根同为 ,舍。当 时, ,解得 ,综上所述, 。
22.直线 与曲线 有四个交点,则 的取值范围是.
23.已知函数 的图象与函数 的图象恰有两个交点,则实数k的取值范围是_________.
24.设 ,若仅有一个常数c使得对于任意的 ,都有 满足方程 ,这时, 的取值的集合为.
25.方程x2+ x-1=0的解可视为函数y=x+ 的图像与函数y= 的图像交点的横坐标,若x4+ax-4=0的各个实根x1,x2,…,xk(k≤4)所对应的点(xi, )(i=1,2,…,k)均在直线y=x的同侧,则实数a的取值范围是.
由 为奇函数,则 ,所以 ,即 与x异号,可以画出两个特殊图像 和y=x,即答案为D。
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