第二节 数学模型
三、渗流中的几个概念（水文地质参数）
渗透系数K ➢ 水力坡度为1时的渗透流速。
导水系数T
当水力坡度为1时，通过整个含水层上 的单位宽度流量。即： T=K·M
第二节 数学模型
潜水给水度μ
Q/(HA)
意义：潜水位上升(下降)一个单位时,从单位面积 含水层增加(减少)的水量。
第二节 数学模型
dP dH gdH
➢ 此时水体积由于水压力减小而膨胀，从而释 放出一定的水量，同时因含水层骨架被压缩 而挤出一部分水量，合称弹性释水。
第二节 数学模型
对于含水层骨架有：
dVS VS
dPS
对于水有：
dVw—水的体积 Pw—水的压力 Ps—骨架的压力 α—水弹性压缩系数
第二节 渗流的基本微分方程和数学模型
1.几个概念 释水率μs
➢ 取一处于平衡状态的承压含水层土体，研究 其在水头变化时所引起的弹性释水或储存的
过程。抽水前含水层上覆岩层的总压力为P， 含水层内的水压力为Pw，岩层颗粒骨架的反 作用力为Ps，
第二节 数学模型
➢ 抽水后，水头降低ΔH，此时上覆岩层总压力 不变，为保持平衡，水头降低减少的压力与骨 架增加的压力相等，
第一节 达西定律
介质：地下水赋存于岩土的空隙中，并 在其中运动。我们将赋存地下水 的岩土称为介质。
渗透：地下水在岩土空隙中的运动称为 渗透。
第一节 达西定律
第一节 地下水运动的基本定律:达西定律
一、渗透水流
实际水流
渗透水流
第一节 达西定律
第一节 地下水运动的基本定律:达西定律
一、渗透水流
两个假设:
弹性释水系数μ*
*Q/ (HA)
意义：水平面为一个单位面积，高为含水层 全厚度M 的含水层柱体中，当水头降 低一个单位时弹性释放出来的水量。
第二节 数学模型
潜水给水度与弹性释水系数的区别
释水机理：潜水释水过程完全是重力释水； 而承压水是由于含水层骨架压缩和 地下水体膨状共同作用的释水。
第二节 数学模型
(nxyz)t
t
第二节 数学模型
根据达西定律，水流流速在X、Y、Z方向有
第一节 达西定律
用微分来表示，即： v K H L
此流速是假想水流的流速，实际水流的流 速，根据过水断面可得
vnu
第一节 达西定律
达西定律的实质是水流在流动过程中消耗的 能量与流速和渗流长度成正比，与含水层的 渗透系数成反比。
HH1H2
vL K
达西定律的适用范围
Re ud
第一节 达西定律
➢当雷诺数Re<100时，适用； ➢当雷诺数Re>100时，不适用； ➢在天然情况下，绝大多数地下水运动服从达西定律。
第二节 数学模型
释水系数μ*
释水率乘以该含水层的厚度，称为释水系数。
*s M
意义：水平面为一个单位面积，高为含水层全厚 度M 的含水层柱体中，当水头降低一个单 位时弹性释放出来的水量。
第二节 数学模型
潜水给水度μ
Q/(HA)
意义：潜水位上升(下降)一个单位时,从单位面积 含水层增加(减少)的水量。
在Δt时间内，沿X方向，流入单元的水量为：
ρQxΔt=ρuΔyΔzΔt
第二节 数学模型
第二节 数学模型 而沿X方向流出的水量为：
Q x x (Q x ) x tu y z t x (u y z ) x t
两者之差为X方向增加的水量，即：
(u)yzxt
x
第二节 数学模型 沿Y方向增加的水量
(v)yzxt
y
沿Z方向增加的水量
(w)yzxt
z
第二节 数学模型
因此，在Δt时间内，单元体增加的水量为：
( xu)( yv)( zw ) yzxt
单元体内水占的体积为nΔxΔyΔz，n为孔隙率，其水量 为ρnΔxΔyΔz。在Δt 内，单元体的水量变化为
水的状态方程
第二节 数学模型
颗粒骨架的状态方程 颗粒骨架在压力的作用下主要表现为垂直 方向的空隙变形，而颗粒本身体积基本不 变，因此，颗粒的体积为一常量：
Vs-nVs=常量 取全微分
dVs-ndVs-Vsdn=0
dVS VS
dPS
dVsVs (1dnn)dPS
第二节 数学模型 假定含水层骨架仅在垂直方向变形有：
第二节 数学模型
导水系数T
当水力坡度为1时，通过整个含水层上 的单位宽度流量。即：
T=K·M
第二节 数学模型
水的状态方程 对于给定质量的水体积，增加一个压力
dPw，水体积产生一定的压缩，根据质量守 恒定律：
ρVw=常数 取全微分有：
ρdVw+Vwdρ=0
由于dPw=dH
第二节 数学模型
dd V w w V dw P dH
Β—骨架压缩系数
第二节 数学模型
当水头降低总共可得到的弹性水量为：
dS V dw V V Sds P V w dwP
由于含水层中dPs=dPw=ρgdH，Vw=nVs，n为孔
隙率，有：
sdSV V Sdw V(n)gdH
定义：水头降低一个单位时，从单位体积含水层 中，因水体积膨胀和含水层骨架压缩挤出的弹性 释放水量，称释水率。
渗透水流，简称渗流
第一节 达西定律
思 考：
地下水流运动的驱动力是什么？ 其流动的速度与什么有关？
第一节 达西定律
二、达西定律
1856年法国水力学家达西(Dacy)开展了大量实验
第一节 达西定律
实验结果： 渗流量或渗流速度与水力坡降成正比
Q KFH 1H 2KF H
L
L
KIF 或vKJ
达西定律，又称线性渗透定律
dVs d(Z) dn Vs Z 1n
d(ΔZ)=α·(ΔZ) dPw dn=(1-n) αdPw
颗粒骨架的状态方程
第二节 数学模型
（2）渗流连续性方程 根据对渗流的假说，渗流场全部空间都被连续水
流充满。在渗流场中取任一微小单元体，其坐标为
（X、Y、Z），边长分别为Δx、Δy、Δz，地下水的密 度为ρ，在X、Y、Z方向上的渗流速度为u、v、w。
（1）不考虑渗流途径的迂回曲折，只考虑地下 水流的主要流向。
（2）不考虑岩土的颗粒存在，假想渗透水流充 满全部空间（包括骨架）。
第一节 达西定律
假设水流必须符合下列条件：
对于同一过水断面，假想水流的流量等于通 过该断面的真实水流流量；
作用于任一面积上的假想水流的压力等于真 实水流的压力；
假想水流在体积内所受的阻力和真实水流所 受的阻力相同。