例 3 求微分方程
解 原方程可改写为 分离变量，得 两边积分，得
xy ′ + y = 0
x dy + y=0 dx
的通解
dy 1 = − dx y x
ln y = − ln x + c
于是 ln y + ln x = c 即 xy = c ，这就是所求的微分方 程的通解。
8-2 可分离变量法
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例８ 求微分方程 y′′ − y′ + y = 0 的通解
解 特征方程为 共轭虚根为 原方程的通解
r2 − r +1 = 0
r1 = 1 3 1 3 + i , r2 = − i 2 2 2 2
x 2
y = e (C1 cos
3 3 x + C 2 sin x) 2 2
（共轭虚根时，由欧拉公式有
e
r1 x
−3 x 则通解为 y = ( C 1 + C 2 x ) e
重根时，得一个特解 y1 = e −3 x ，再用待定法令 y2 = xe −3 x 重根时 或 y2 = x 2e−3 x 等等，求得另一个特解 y 2 = xe − 3 x
8-4 二阶微分方程
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序 言 第1章 第2章 第3章 第4章 第5章 第6章 第7章 第8章 函 数 导 数 定积分 求导方法 导数应用 求积分方法 定积分应用 微分方程
序 言 第1章 第2章 第3章 第4章 第5章 第6章 第7章 第8章 函 数 导 数 定积分 求导方法 导数应用 求积分方法 定积分应用 微分方程
例4 求方程
y′ = 10 x + y 满足初始条件 y x =1 = 0
dy = 10 x10 y dx
的特解
解 原方程可改写为 分离变量，得 两边积分，得 化简，得
8-1 什么是微分方程
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引例1：曲线过点（1，2），且在该曲线上任意一点M (x , y) 处的切线的斜率为2x，求这曲线的方程? 解 设所求曲线y=f ( x ) ，根据导数的几何意义得 dy = 2（1） x
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相关概念
1、含有未知函数的导数(或微分)的方程叫做微分方程 微分方程 2、微分方程中所出现的未知函数最高阶导数的阶数，叫做 微分方程的阶 3、如果把某个函数代入微分方程，能使方程恒等，这个方程 称为微分方程的解 微分方程的解；求微分方程的解的过程，叫做解微分方 微分方程的解 解微分方 程 4、微分方程的解有不同的形式，常用的两种形式是：一种是 解中含有任意常数并且独立的任意常数的个数与微分方程的 阶数相同，这样的解称为微分方程的通解 通解；另一种是解不含 通解 任意常数，称为特解 特解 5、特解通常可以按照问题的条件从通解中确定任意常数的特 、 定值而得到，用来确定特解的条件，称为初始条件 初始条件
8-2 可分离变量法
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解简单微分方程常用的方法： 解简单微分方程常用的方法
将方程进行变形，然后等式两边进行积分 将方程进行变形，然后等式两边进行积分。 例：求解一阶微分方程 解 变形为
2 解 解特征方程 r − 5r + 6 = 0 得 r1 = 2 , r2 = 3
y = C 1e 2 x + C 2 e 3 x 于是微分方程的通解
（可以证明 可以证明，二阶常系数线性齐次微分方程的两个 可以证明 特解 y 1 , y 2 ，只要他们不成比例，则 y = C1 y1 + C 2 y 2 为该方程的通解） 例7 求方程 y′′ + 6 y′ + 9 y = 0 的通解 解 特征方程 r 2 + 6r + 9 = 0 r1 = r2 = − 3
8-4 二阶微分方程
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形如 y′′ + py′ + qy = 0 的二阶微分方程称为 二阶常系数线性齐次微分方程 。如 y′′ − 5 y′ + 6 y = 0 例６：求 y′′ − 5 y′ + 6 y = 0 的通解 分析： 解微分方程是求未知函数y，观察分析此题， 常见函数中什么函数的 y , y ′ , 是同 y ′′ 一类函数呢？联想到是ex类型， e 用待定法设 y=erx ，代入变形为
引例2：质量为M的物体，受重力作用自由下降，试求物体下 落的运动规律? 解 设所求运动规律为s=s (2 t ) ，根据导数的力学意义，未知 函数s=s ( t ) 应满足方程 d 2s = g (4)
dt
由于自由落体的初始位置和初始速度均为零，未知函数 s=s ( t )满足条件 s t =0 = 0, ds t =0 = 0
− 2k
于是温度函数为 H = 20 + 17 e −0.063t
8-3 微分方程应用（1）
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（2）作草图如下：
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H
H=20+17e-0.063tt H=20+17e 063 37
dH = − k ( H − 20) dt
k >0
分离变量求解，得
H − 20 = Be− kt
37 − 20 = Be − k *0 = B 代入初始值（t=0时，H=37）求B，
于是H − 20 = 17e− kt 为了求K的值，我们根据两小时后尸 体温度为350C这一事实，有 35 − 20 = 17e −2 k 15 化简，取对数得 ln 17 = ln(e ) ，k ≈ 0.063
= e
1 2 +
3 2
i x
= e
x 2
3
e
2
ix
= e (cos
x 2
3 x + sin 2
3 x) 2
再根据该方程 C1 y1 + C2 y2 = y 的线性组合仍是解而 消去i ）
8-4 二阶微分方程
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第八章 微分方程
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内容导航
什么是微分方程 分离变量法 微分方程的应用（ 微分方程的应用（1） 二阶常系数线性微分方程 数学建模：微分方程应用（ 数学建模：微分方程应用（2）
dx
此外还应满足条件 y x=1 = 2 把方程（1）两边积分，得 y = ∫ 2xdx 即 y = x 2 + C (C为任意常数） 把条件 y x=1 = 2 代入（2），得C=1 把 C=1代入（2）式，即得所求曲线方程
y = x2 +1
8-1 什么是微分方程
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20 0 t
t→ （3）“最终趋势”指 ∞
,取极限
H = 20 + 17 e − 0 .063 t → 20 ( t → ∞ )
（4）求多长时间尸体温度达到300C，即 令H=30，代入得 30 = 20 + 17e
−0.063 t
10 ， 17
= e
− 0 . 063
t
两边取自然对数得 − 0.531 = −0.063t 即t≈8.4 （小时） 于是，谋杀一定发生在下午4点这一尸体被发现时的前8.4小时 （即8小时24分），所以谋杀是在上午7点36分发生的。
1 dy = 2 xdx 2 y
dy = 2xy 2 dx
然后两边积分，得 ∫ 1 dy = ∫ 2 xdx y
2
于是 − 1 = x 2 + C y
即
y=−
1 ，其中C为任意常数， x2 + C
可以验证，函数 y = −
1 x2 + C
是方程的通解。
8-2 可分离变量法
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8-3 微分方程应用（1）
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解 （1）按冷却定律建立方程 温度变化率=a×温度差=a(H-20), 其中a为比例 常数，H 为尸体温度 dH 于是 dt = a( H − 20) 考虑a的正负号，如果温度差是 正的（即H>20）、则是H下降的，所以温度的变化 率就应是负的，因此a 应为负的，于是
dt
把方程（4）两边积分，得
ds = gt + C1 dt