为全微分方程, 则称 (x,y)为原方程的积分因子.
在简单情况下, 可凭观察和经验根据微分倒推式得到
积分因子.
.
5
常用微分倒推公式:
1 )d x d y d (xy)
2 )x d y y d x d (xy )
3 ) x d x y d y d ( 12(x2 y2))
4) ydxy2xdyd(xy )
5) ydxx 2xdyd( x y )
6) ydxxdyd(ln x )
xy
y
积分因子不一定唯一 .
例如, 对 ydxxdy0
7) yd xx 2 y xd 2yd(arctan
x) y
可取
1 y2
,
1 x2
,
8) xdxydyd( x2y2
x2 y2 )
.
1 xy
,
1 x2 y2
6
例3. 求解 ( 1 x y ) y d x ( 1 x y ) x d y 0
为全微分方程 ( 又叫做恰当方程 ) .
判别: P, Q 在某单连通域D内有连续一阶偏导数, 则
① 为全微分方程 求解步骤:
P Q , (x,y)D y x
1. 求原函数 u (x, y)
方法1 凑微分法;
方法2 利用积分与路径无关的条件.
2. 由 d u = 0 知通解为 u (x, y) = C .
解: 分项组合得 (ydxxdy) x y (y d x x d y ) 0
即 d(xy)x2y2(dxdy)0 xy
选择积分因子 (x,y)x21y2,同乘方程两边 , 得
(dx(xy)y2)dxxdyy0
即 d1dl(nx)dl(ny)0
xy
1
因此通解为 1lnx lnC, 即 x C e x y
第二节 一阶微分方程
第十二章
一、可分离变量方程 二、齐次型微分方程 三、可化为齐次型的微分方程 四、一阶线性微分方程 五、全微分方程
.
1
五、全微分方程
若存 u(x在 ,y)使d u ( x , y ) P ( x , y ) d x Q ( x , y ) d y
则称
P ( x ,y ) d x Q ( x ,y ) d y 0①
x5 3 x2y2 xy3 1 y 3
2
3
因此方程的通解为
y (x, y)
x53x2y2xy31y3C o (x,0) x
2
3
.
3
例2. 求解 (xxy2)dx1 xdy0
解:
P y
1 x2
Q x
,
∴ 这是一个全微分方程 .
用凑微分法求通解. 将方程改写为
xdxxdyx2ydx0
即
d1x2dy0, 或 d1x2y 0
.
2
例1. 求解
( 5 x 4 3 x y 2 y 3 ) d x ( 3 x 2 y 3 x y 2 y 2 ) d y 0
解: 因为 P 6xy3y2 Q , 故这是全微分方程.
y
x
取 x 0 0 ,y 0 0 ,则有
u(x,y)0x5x4dx0 y(3x2y3xy2y2)dy
.
8
解法2 化为齐次方程. 原方程变形为
dy dx
y
y
x
1
y
x y
x
令yux,则 yuxu，
uxu u 1u
(1uu2)dudxx
积分得
1lnulnxC u
将 u y 代入 , 得通解 x ln y C
x
y
此外, y = 0 也是方程的解.
.
9
解法3 化为线性方程. 原方程变形为
dx 1 x 1 dy y
2
x
2x
故原方程的通解为 1x2 y C 2x
.
4
思考: 如何解方程 (x3y)d xxdy0?
这不是一个全微分方程
,
但若在方程两边同乘
1 x2
,
就化成例2 的方程 .
积分因子法
P ( x ,y ) d x Q ( x ,y ) d y 0
若存在连续可微函数 (x ,y) 0 ,使 ( x , y ) P ( x , y ) d x ( x , y ) Q ( x , y ) d y 0

xy y
y
因 x = 0 也是方程的解 , 故 C 为任意常数 .
.
7
练习题 解方程 y d x (y x )d y 0 .
解法1 积分因子法. 原方程变形为
( y d x x d y ) y d y 0
取积分因子
1 y2
ydxy2xdydyy0
故通解为 x ln y C y
此外, y = 0 也是方程的解.
P1, Q1 y
其通解为
x e 1yd y
(1)
e
1 y
d
ydyC
y C
1d y
y
yC ln y
即
x ln y C
此外, y =y0y也e是P方(x程)dx的解Q . (x)eP(x)dxdxC
.
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