解: 因为 P 6xy 3y2 Q , 故这是全微分方程.
y
x
取 x0 0, y0 0, 则有
u
(x,
y)

x
0 5
x4
dx

y
0
(3
x2
y

3xy2

y2
)
d
y
x5 3 x2 y2 xy3 1 y3
2
3
y (x, y)
因此方程的通解为
x5 3 x2 y2 xy3 1 y3 C
练习题 解方程
解法1 积分因子法. 原方程变形为
取积分因子


1 y2
故通解为 此外, y = 0 也是方程的解.
解法2 化为齐次方程. 原方程变形为
积分得
将 u y 代入 , 得通解 x
此外, y = 0 也是方程的解.
解法3 化为线性方程. 原方程变形为 其通解为
即
此外, y =y0也e是 P方(x程)dx的解 Q. (x) e P(x)dx dx C
2
3
o (x,0) x
例2. 求解
解:

P y

1 x2
Q , x
∴ 这是一个全微分方程 .
用凑微分法求通解. 将方程改写为
x
dx

x
d
y x2
y
dx

0
即
d 1 x2 d y 0, 或 d 1 x2 y 0
2
x
2x
故原方程的通解为 1 x2 y C 2x
思考: 如何解方程
这不是一个全微分方程
,
但若在方程两边同乘
1 x2
,
就化成例2 的方程 .
积分因子法
若存在连续可微函数 (x, y) 0, 使
为全微分方程, 则称 (x, y)为原方程的积分因子.
在简单情况下, 可凭观察和经验根据微分倒推式得到 积分因子.
常用微分倒推公式:
1) dx dy d ( x y )
7)
ydx x2
xd y2
y

d
(
arctan
x y
)
可取
8) xdx ydy d ( x2 y2
x2 y2 )
例3. 求解
解: 分项组合得 ( y dx x dy ) xy ( y dx x dy ) 0
即 d( xy) x2 y2 ( dx dy ) 0 xy
第二节 一阶微分方程
第十二章
一、可分离变量方程 二、齐次型微分方程 三、可化为齐次型的微分方程 四、一阶线性微分方程 五、全微分方程
五、全微分方程
若存在 u(x, y) 使 d u(x, y) P (x, y) dx Q (x, y) dy
则称
P (x, y) dx Q (x, y) dy 0 ①Leabharlann 选择积分因子(x,
y)

1 x2 y2
, 同乘方程两边
,
得
d( x y) (xy)2

dx x

dy y

0
即 d 1 d(ln x ) d(ln y ) 0
xy
1
因此通解为 1 ln x ln C , 即 x C e xy
xy y
y
因 x = 0 也是方程的解 , 故 C 为任意常数 .
为全微分方程 ( 又叫做恰当方程 ) .
判别: P, Q 在某单连通域D内有连续一阶偏导数, 则
① 为全微分方程 求解步骤:
1. 求原函数 u (x, y) 方法1 凑微分法; 方法2 利用积分与路径无关的条件.
2. 由 d u = 0 知通解为 u (x, y) = C .
例1. 求解
(5x4 3xy2 y3) dx (3x2 y 3xy2 y2 ) dy 0
2) xdy ydx d ( xy )
3)
xdx ydy d (
1 2
(x2

y2
)
)
4)
ydx xdy y2

d(
x y
)
5)
ydx xdy x2

d(
y x
)
6) ydx xdy d ( ln x )
xy
y
积分因子不一定唯一 .
例如, 对 ydx xdy 0