(9)
2
这就是初速度为0的物体垂直下落时距离
s与时间t之间的函数关系．
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第六章 常微分方程
二、微分方程的定义
第一节 微分方程的基本概念
微分方程: 凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程.
例 y xy, y 2 y 3 y e x , (t 2 x)dt xdx 0,
分类1:按自变量的个数，分为常微分方程和偏微分方程.
如果其中的未知函数只与一个自变量有关，就 称为常微分方程。
如 y′= x2 , y′+ xy2 = 0 , 都是常微分方程；
y(4) 4 y ' 4 y xex
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第六章 常微分方程
第一节 微分方程的基本概念
如果未知函数是两个或两个以上自变量的函数， 并且在方程中出现偏导数
如
2u x2

2u y2

2u z2

0
就是偏微分方程；
本章我们只介绍常微分方程。
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第六章 常微分方程
第一节 微分方程的基本概念
第六章 常微分方程
第一节 微分方程的基本概念 第二节 一阶微分方程 第三节 可降阶的高阶微分方程 第四节 二阶线性微分方程解的结构 第五节 二阶常系数线性齐次微分方程
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由题意知 t = 0 时，
s 0, v ds 0 dt
(8)
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8
第六章 常微分方程
第一节 微分方程的基本概念
把(8)式分别代入(6)，(7)式，得
C1 = 0 , C2 = 0. 故(7)式为
s 1 gt 2
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第六章 常微分方程
一、问题引入
第一节 微分方程的基本概念
例1 一曲线过点(0, 0)，且曲线上各点处的切线斜率等 于该点横坐标的平方，求此曲线方程．
解 设所求曲线的方程为y=y(x)
(x,y)为曲线上的任意点，在该点曲线的切线的 斜率为y′,依题意有：
(3)
将(3)式代入(2)式，得C = 0，所以
y 1 x3 3
为所求的曲线方程．
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第六章 常微分方程
第一节 微分方程的基本概念
例2 一物体由静止开始从高处自由下落，已知物体 下落时的重力加速度是g ，求物体下落的位置与时间 之间的函数关系。
1
第六章 常微分方程
第一节 微分方程的基本概念
第一节 微分方程的基本概念
本节主要内容:
一.问题引入 二.微分方程的定义 三.求微分方程的解
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第六章 常微分方程
第一节 微分方程的基本概念
在力学、物理学及工程技术等领域中为 了对客观事物运动的规律性进行研究，往往 需要寻求变量间的函数关系，但根据问题的 性质，常常只能得到待求函数的导数或微分 的关系式，这种关系式在数学上称之为微分 方程。
y xy2 0, xdy ydx 0 y 2 y y 3x2 1
实质: 联系自变量,未知函数以及未知函数的某些导数(或 微分)之间的关系式.
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第六章 常微分方程
第一节 微分方程的基本概念
解 设物体的质量为m,由于下落过程中只受重力作用, 故物体所受之力为
F = mg，
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第六章 常微分方程
第一节 微分方程的基本概念
又根据牛顿第二定律， F = ma
及加速度
d2s a dt 2
,所以
d2s m dt 2 mg,
二阶及二阶以上的微分方程称为高阶微分方程.
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第六章 常微分方程
第一节 微分方程的基本概念
分类2:按方程中未知函数导数的最高阶数，分为一阶、 二阶和高阶微分方程
一阶微分方程 F ( x, y, y) 0,
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第六章 常微分方程
第一节 微分方程的基本概念
微分方程的阶: 微分方程中出现的未知函数的最 高阶导数的阶数.
如 y′= x2 , y′+ xy2 = 0 ,
xdy + ydx = 0
都是一阶微分方程；
d2s dt 2

g,
y ''
2 y '
y

3x2

1
都是二阶微分方程.
y(4) 4 y ' 4 y xex 是四阶微分方程；…等等．
即
d2sLeabharlann dt 2 g(5)
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第六章 常微分方程
第一节 微分方程的基本概念
现在来求s与t之间的函数关系，对(5)式
两端积分得
ds dt

gt

C1
(6)
再两端积分，得
s

1 2
gt 2

C1

C2
(7)
这里C1，C2都是任意的常数．
y f ( x, y);
高阶(n)微分方程
F ( x, y, y,, y(n) ) 0, y(n) f ( x, y, y,, y(n1) ).
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第六章 常微分方程
y' x2
(1)
两边积分，得
y 1 x3 C
(2)
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第六章 常微分方程
第一节 微分方程的基本概念
上式表示的是曲线上任意一点的切线的斜率为x2的所 有曲线．但要求的是过点(0,0)的曲线，即
x = 0时， y = 0